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北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线2 双曲线2.2 双曲线的简单几何性质课后测评
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这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线2 双曲线2.2 双曲线的简单几何性质课后测评，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，与的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（ ）
A．B．C．D．
3．已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知双曲线的左，右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于，且，当时，双曲线离心率的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
5．已知双曲线与双曲线的离心率相同，双曲线的顶点是双曲线的焦点，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．B．C．D．10
6．已知双曲线的离心率为2，左､右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的右焦点为，过且与一条渐近线平行的直线与的右支及另一条渐近线分别交于两点，若，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（ ）
①若曲线为椭圆，则且焦距为常数
②曲线不可能是焦点在轴的双曲线
③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、多选题
9．若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．若，则为椭圆
B．若为椭圆，且焦点在轴上，则
C．曲线可能是圆
D．若为双曲线，则
10．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交于，（点在点的上方）两点，且，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．存在点，使得四边形为正方形
C．四边形的面积为
D．四边形的周长最小值为
12．已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于点（在第二象限，在第一象限），下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为4
D．若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为8
三、填空题
13．已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 .
14．已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为 ．
15．设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于点，，则的离心率为 .
16．已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则 ， ．
四、解答题
17．已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.
18．已知双曲线经过点，直线与交于两点，直线分别与轴相交于点.
(1)证明：以线段为直径的圆恒过点；
(2)若，且，求.
19．平面上一动点满足．
(1)求P点轨迹的方程；
(2)已知，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并证明：为定值
20．已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
(3)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．
21．已知常数，向量，，经过点的直线以为方向向量，经过点的直线以为方向向量，其中．
(1)求点的轨迹方程，并指出轨迹．
(2)当时，点为轨迹与轴正半轴的交点，过点的直线与轨迹交于、两点，直线、分别与直线相交于，两点，试问：是存在定点在以、为直径的圆上？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】设出直线方程与渐近线方程联立，解出两点的横坐标，再利用已知列方程解出，最后求出离心率即可.
【详解】
设直线方程为，因为渐近线方程为，联立两方程解得，
因为，所以，即，
化简可得，
所以离心率，
故选：B.
2．B
【分析】根据双曲线的定义可得，根据，得的内切圆的半径为，再根据内切圆的性质可得，结合可求得，利用勾股定理可求得点到焦点的距离．
【详解】由题意知，，，所以，，，
又由双曲线的定义可知，
设的内切圆的半径为，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
设圆与的三边，，分别相切于，，三点，连接，，，如下图所示：
由内切圆的性质可得，，，
因为，所以，
即，由，
所以，，因为，，
所以，即点到焦点的距离是．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据双曲线定义及内切圆的性质求出内切圆圆心横坐标与左顶点横坐标相同，再由勾股定理即可求得结论.
3．D
【分析】不妨设渐近线的方程为，求出点的坐标，根据已知条件可得出关于的齐次等式，解方程求，由此可得双曲线的渐近线的方程.
【详解】设双曲线焦距为，则、，
不妨设渐近线的方程为，如图：
因为直线与直线垂直，则直线的方程为，
联立可得，即点，
所以，，
因为，所以，
又，故，
所以，
，
整理可得，
所以，又，
所以，
故该双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
4．D
【分析】根据渐近线方程求出直线的方程为，可求得，再由双曲线定义利用即可求得双曲线离心率的最大值为.
【详解】如下图所示：
不妨取渐近线方程为，又易知，
则直线的方程为，
联立直线与双曲线，可得，
所以；
且，由双曲线定义可得，
当时，可得，
所以，解得；
因此双曲线离心率的最大值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线定义结合，表示出的长度再利用建立不等式即可解得离心率的取值范围.
5．B
【分析】根据双曲线的方程求出焦点坐标与离心率，即可得到，，从而求出，即可得解.
【详解】双曲线，则，，所以，即离心率为，焦点坐标为，
依题意，，所以，则，
所以双曲线的虚轴长为.
故选：B
6．D
【分析】由题意，，余弦定理得，得，由，求，最后由求值即可.
【详解】设双曲线的焦距为，左焦点为，离心率，
则，
由余弦定理得，所以，
又，所以，
设，则，，
所以，所以，
，
故选：D．
【点睛】思路点睛：
双曲线与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理余弦定理和，中利用余弦定理得，可求得，点坐标满足双曲线方程，可得，可求，利用计算即可．
7．C
【分析】设直线，，由得到，再根据条件得出，代入方程，即可求出结果.
【详解】易知的渐近线方程为，不妨设直线，，
联立方程得，解得，，所以，
又，而，，得到，
解得，故，代入中，
得，得到，又，得到，解得，
故所求的渐近线方程为，
故选：C.
8．D
【分析】根据椭圆、双曲线的方程的特征逐一求出参数范围判断①②；对于③，满足条件的点在以为直径的圆上，即，联立方程求解即可判断.
【详解】对于①，曲线是椭圆等价于，解得，
且，，则焦距为常数，故①正确；
对于②，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故②正确.
对于③，若，则曲线为，则，
若曲线上存在点，使，
则点在以为直径的圆上，即，
由，解得或，
所以有4个符合条件的点，故③正确,
所以正确的命题有3个.
故选：D
9．BC
【分析】根据椭圆标准方程的特征列不等式求解即可判断AB；根据方程为圆列式求解判断C；根据双曲线的特征判断D.
【详解】当时，方程为，此时表示圆，故A错；C对；
若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故B对；
若为双曲线，则，解得，或，故D错；
故选：BC
10．ACD
【分析】由题意可设，从而表示出，由此要分类讨论的位置情况，结合双曲线定义，求出之间的关系，再结合勾股定理即可求出的关系式，即可求得答案.
【详解】设，由于，
则，
当均在双曲线的右支上时，如图，
则，则，
又，故，
故，
故在中，，
则；
当分别在双曲线的左、右支上时，如图，
此时，，
又，则，则，
故在中，，
则；
当分别在双曲线的右、左支上时，如图，
此时，，
又，则，则，
故在中，，
则；
由题意可知的位置情况仅有以上3种可能，故的离心率可能为，
故选：ACD
【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率的求解，解答时根据已知条件求出之间的关系式，即可求得答案，但要考虑的不同的位置情况，因此要采用分类讨论，以及数形结合的方法，进行求解.
11．BC
【分析】由双曲线的离心率公式可判断；当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，从而可判断B；设 ，则，根据点到直线的距离公式可得，从而可判断C；利用基本不等式求出的最小值，从而可判断D．
【详解】A选项，由题意得，故，故，A错误；
B选项，由双曲线的方程可得渐近线方程为，两渐近线夹角为直角，
由对称性可知，若四边形为正方形，则到两条渐近线的距离相等，
所以当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，故B正确；
C选项，设，则 ，
因为渐近线方程为 ，
所以，
所以，
则四边形的面积为，故C正确；
D选项，由C选项及基本不等式得，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
四边形的周长为，故D错误．
故选：BC
12．AC
【分析】根据即可判断A,根据两直线的斜率即可判断B，根据面积关系，结合不等式即可求解CD.
【详解】由于双曲线的渐近线方程为，所以，,
故，点在以为圆心，为半径的圆上，所以，A正确.
，直线的斜率为，直线的斜率为
由于与不一定相等，所以直线与直线不一定平行，B错误.
的面积为，双曲线的焦距为
，当且仅当时，等号成立，
所以双曲线的焦距的最小值为正确，错误.
故选：AC
13．
【分析】求出渐近线方程，结合直线与双曲线左右两支各交一点，比较斜率即可得结果.
【详解】因为双曲线方程为（），
所以双曲线的渐近线方程为，
因为直线与双曲线左右两支各交一点，
所以，解得，
即实数的取值范围为，
故答案为：
14．
【分析】根据点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】所求的双曲线方程为，则渐近线方程为，
设点，则，
点到的两条浙近线的距离之积为，
解得：，故双曲线方程为：，
故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为．
故答案为：．
15．
【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与、有关齐次式即可得离心率.
【详解】由双曲线的对称性可得，
有四边形为平行四边形，令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，
，
则，即，故，
则有，
即，即，则，由，故.
故答案为：.
16． 2 8
【分析】利用内切圆性质结合双曲线定义，可推出内切圆圆心的横坐标即为a，再结合向量数量积的运算推出P点在角平分线上，从而确定内切圆圆心即为P，从而求得内切圆半径，根据三角形面积公式结合双曲线定义，即可求得的值.
【详解】设内切圆与三边的切点分别为，如图，
则，，
Q在双曲线右支上，由双曲线定义得，
则，
又，故，
即E点横坐标为a，即内切圆的圆心横坐标为a，
由，得，
即，即为的角平分线，
由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为，
则P即为内切圆的圆心，E为切点，则内切圆半径为；
，
故答案为：2；8
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线定义的应用以及焦点三角形内切圆半径的求解，综合了向量数量积的应用，解答的关键是利用内切圆性质结合双曲线定义，推出内切圆圆心的横坐标即为a，再结合向量数量积的运算推出P点在角平分线上，从而确定内切圆圆心.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，表示出，再由的面积，并结合双曲线中的关系求解；
（2）法一：设出直线的点斜式方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理和中点坐标公式求解；法二：利用点差法求解.
【详解】（1）由题设双曲线，直线的方程为
联立方程解得
，又，
，则
而
所以双曲线的标准方程为.
（2）法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，
可知，直线的方程不是，
设直线的方程为即
联立方程
得①
解得
将代入①，得
故直线的方程为.
法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点，
可知，直线的方程不是，
设
得，
,
直线的方程为，即，
联立方程
得，
故直线的方程为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据双曲线经过点得到双曲线的方程，然后通过证明来说明以线段为直径的圆恒过点；
（2）根据列方程得到，再结合求即可.
【详解】（1）
将代入，得，所以，
所以的方程为.
要证明以线段为直径的圆恒过点，即证.
设，根据题意知直线的斜率存在，则，
故直线，令，得，
用替换，得.
所以，
所以.
因为，所以，所以，
故原命题得证.
（2）因为，所以.
由可得，记的斜率为，
则
用替换，可得.
所以，
化简可得，又，
所以，解得或（舍去）.
所以.
19．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支；
（2）先得到特殊情况时的值，再证明其对一般情况也适用.
【详解】（1）由题意可得，动点P到定点的距离比到定点的距离大2，
由双曲线的定义，P点轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
设，则，，，
所以的方程为．
（2）如图，不妨设点P在第二象限，
①当的斜率不存在时，
，令，解得，则，此时，
在中，，，即，
②当的斜率存在时，令的倾斜角为，的倾斜角为，则，，
假设成立，即，则有，即．
又，，又点P的坐标满足，即，
，
，假设成立，
综上，当时，有成立．
此时，由对称性知，，而，
为定值．
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是采用由特殊到一般，先猜后证的思想，先得到直线斜率不存在时，然后通过二倍角得正切公式证明一般情况即可.
20．(1)；
(2)证明见解析；；
(3).
【分析】（1）由渐近线方程和虚轴长列方程即可得到双曲线的方程；
（2）设，利用点到直线距离公式即可求解；
（3）根据题意求出的表达式，进而利用二次函数的单调性求最小值即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，
因此，双曲线的方程为
（2）证明：设，则，渐近线为，
P到两条渐近线的距离之积
.
所以P到两条渐近线的距离之积为定值，即定值为.
（3）由已知，得，设或，
在双曲线上，所以，，
因此
或，
函数对称轴为，
于是在上单调递减，在上单调递增，
，，
所以当时，取得最小值为.
21．(1)详见解析；
(2)定点的坐标为，，理由见解析.
【分析】（1）设，根据直线以为方向向量、直线以为方向向量可得、，消参后可得轨迹方程.
（2）设，，则可得、为直径的圆的方程为：，可证，故可求圆所过的定点.
【详解】（1）由题设有，.
设，则，
因为直线以为方向向量，故，
因为直线以为方向向量，故，
当时，，故点的轨迹过，
当时， 由可得，故，
整理得到.
综上，点的轨迹的方程，
轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线.
（2）
当时，点的轨迹方程，故，
由题设可得的斜率不为零，设，，
又，，
故，
故以、为直径的圆的方程为：，
.
由可得，
，
而，
故，
故以、为直径的圆的方程可化简为：，
其中，
令可得或，
故以、为直径的圆过定点，其坐标为，.
一、单选题
1．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，与的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（ ）
A．B．C．D．
3．已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知双曲线的左，右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于，且，当时，双曲线离心率的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
5．已知双曲线与双曲线的离心率相同，双曲线的顶点是双曲线的焦点，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．B．C．D．10
6．已知双曲线的离心率为2，左､右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的右焦点为，过且与一条渐近线平行的直线与的右支及另一条渐近线分别交于两点，若，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（ ）
①若曲线为椭圆，则且焦距为常数
②曲线不可能是焦点在轴的双曲线
③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、多选题
9．若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．若，则为椭圆
B．若为椭圆，且焦点在轴上，则
C．曲线可能是圆
D．若为双曲线，则
10．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交于，（点在点的上方）两点，且，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．存在点，使得四边形为正方形
C．四边形的面积为
D．四边形的周长最小值为
12．已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于点（在第二象限，在第一象限），下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为4
D．若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为8
三、填空题
13．已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 .
14．已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为 ．
15．设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于点，，则的离心率为 .
16．已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则 ， ．
四、解答题
17．已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.
18．已知双曲线经过点，直线与交于两点，直线分别与轴相交于点.
(1)证明：以线段为直径的圆恒过点；
(2)若，且，求.
19．平面上一动点满足．
(1)求P点轨迹的方程；
(2)已知，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并证明：为定值
20．已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
(3)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．
21．已知常数，向量，，经过点的直线以为方向向量，经过点的直线以为方向向量，其中．
(1)求点的轨迹方程，并指出轨迹．
(2)当时，点为轨迹与轴正半轴的交点，过点的直线与轨迹交于、两点，直线、分别与直线相交于，两点，试问：是存在定点在以、为直径的圆上？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】设出直线方程与渐近线方程联立，解出两点的横坐标，再利用已知列方程解出，最后求出离心率即可.
【详解】
设直线方程为，因为渐近线方程为，联立两方程解得，
因为，所以，即，
化简可得，
所以离心率，
故选：B.
2．B
【分析】根据双曲线的定义可得，根据，得的内切圆的半径为，再根据内切圆的性质可得，结合可求得，利用勾股定理可求得点到焦点的距离．
【详解】由题意知，，，所以，，，
又由双曲线的定义可知，
设的内切圆的半径为，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
设圆与的三边，，分别相切于，，三点，连接，，，如下图所示：
由内切圆的性质可得，，，
因为，所以，
即，由，
所以，，因为，，
所以，即点到焦点的距离是．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据双曲线定义及内切圆的性质求出内切圆圆心横坐标与左顶点横坐标相同，再由勾股定理即可求得结论.
3．D
【分析】不妨设渐近线的方程为，求出点的坐标，根据已知条件可得出关于的齐次等式，解方程求，由此可得双曲线的渐近线的方程.
【详解】设双曲线焦距为，则、，
不妨设渐近线的方程为，如图：
因为直线与直线垂直，则直线的方程为，
联立可得，即点，
所以，，
因为，所以，
又，故，
所以，
，
整理可得，
所以，又，
所以，
故该双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
4．D
【分析】根据渐近线方程求出直线的方程为，可求得，再由双曲线定义利用即可求得双曲线离心率的最大值为.
【详解】如下图所示：
不妨取渐近线方程为，又易知，
则直线的方程为，
联立直线与双曲线，可得，
所以；
且，由双曲线定义可得，
当时，可得，
所以，解得；
因此双曲线离心率的最大值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线定义结合，表示出的长度再利用建立不等式即可解得离心率的取值范围.
5．B
【分析】根据双曲线的方程求出焦点坐标与离心率，即可得到，，从而求出，即可得解.
【详解】双曲线，则，，所以，即离心率为，焦点坐标为，
依题意，，所以，则，
所以双曲线的虚轴长为.
故选：B
6．D
【分析】由题意，，余弦定理得，得，由，求，最后由求值即可.
【详解】设双曲线的焦距为，左焦点为，离心率，
则，
由余弦定理得，所以，
又，所以，
设，则，，
所以，所以，
，
故选：D．
【点睛】思路点睛：
双曲线与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理余弦定理和，中利用余弦定理得，可求得，点坐标满足双曲线方程，可得，可求，利用计算即可．
7．C
【分析】设直线，，由得到，再根据条件得出，代入方程，即可求出结果.
【详解】易知的渐近线方程为，不妨设直线，，
联立方程得，解得，，所以，
又，而，，得到，
解得，故，代入中，
得，得到，又，得到，解得，
故所求的渐近线方程为，
故选：C.
8．D
【分析】根据椭圆、双曲线的方程的特征逐一求出参数范围判断①②；对于③，满足条件的点在以为直径的圆上，即，联立方程求解即可判断.
【详解】对于①，曲线是椭圆等价于，解得，
且，，则焦距为常数，故①正确；
对于②，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故②正确.
对于③，若，则曲线为，则，
若曲线上存在点，使，
则点在以为直径的圆上，即，
由，解得或，
所以有4个符合条件的点，故③正确,
所以正确的命题有3个.
故选：D
9．BC
【分析】根据椭圆标准方程的特征列不等式求解即可判断AB；根据方程为圆列式求解判断C；根据双曲线的特征判断D.
【详解】当时，方程为，此时表示圆，故A错；C对；
若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故B对；
若为双曲线，则，解得，或，故D错；
故选：BC
10．ACD
【分析】由题意可设，从而表示出，由此要分类讨论的位置情况，结合双曲线定义，求出之间的关系，再结合勾股定理即可求出的关系式，即可求得答案.
【详解】设，由于，
则，
当均在双曲线的右支上时，如图，
则，则，
又，故，
故，
故在中，，
则；
当分别在双曲线的左、右支上时，如图，
此时，，
又，则，则，
故在中，，
则；
当分别在双曲线的右、左支上时，如图，
此时，，
又，则，则，
故在中，，
则；
由题意可知的位置情况仅有以上3种可能，故的离心率可能为，
故选：ACD
【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率的求解，解答时根据已知条件求出之间的关系式，即可求得答案，但要考虑的不同的位置情况，因此要采用分类讨论，以及数形结合的方法，进行求解.
11．BC
【分析】由双曲线的离心率公式可判断；当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，从而可判断B；设 ，则，根据点到直线的距离公式可得，从而可判断C；利用基本不等式求出的最小值，从而可判断D．
【详解】A选项，由题意得，故，故，A错误；
B选项，由双曲线的方程可得渐近线方程为，两渐近线夹角为直角，
由对称性可知，若四边形为正方形，则到两条渐近线的距离相等，
所以当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，故B正确；
C选项，设，则 ，
因为渐近线方程为 ，
所以，
所以，
则四边形的面积为，故C正确；
D选项，由C选项及基本不等式得，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
四边形的周长为，故D错误．
故选：BC
12．AC
【分析】根据即可判断A,根据两直线的斜率即可判断B，根据面积关系，结合不等式即可求解CD.
【详解】由于双曲线的渐近线方程为，所以，,
故，点在以为圆心，为半径的圆上，所以，A正确.
，直线的斜率为，直线的斜率为
由于与不一定相等，所以直线与直线不一定平行，B错误.
的面积为，双曲线的焦距为
，当且仅当时，等号成立，
所以双曲线的焦距的最小值为正确，错误.
故选：AC
13．
【分析】求出渐近线方程，结合直线与双曲线左右两支各交一点，比较斜率即可得结果.
【详解】因为双曲线方程为（），
所以双曲线的渐近线方程为，
因为直线与双曲线左右两支各交一点，
所以，解得，
即实数的取值范围为，
故答案为：
14．
【分析】根据点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】所求的双曲线方程为，则渐近线方程为，
设点，则，
点到的两条浙近线的距离之积为，
解得：，故双曲线方程为：，
故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为．
故答案为：．
15．
【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与、有关齐次式即可得离心率.
【详解】由双曲线的对称性可得，
有四边形为平行四边形，令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，
，
则，即，故，
则有，
即，即，则，由，故.
故答案为：.
16． 2 8
【分析】利用内切圆性质结合双曲线定义，可推出内切圆圆心的横坐标即为a，再结合向量数量积的运算推出P点在角平分线上，从而确定内切圆圆心即为P，从而求得内切圆半径，根据三角形面积公式结合双曲线定义，即可求得的值.
【详解】设内切圆与三边的切点分别为，如图，
则，，
Q在双曲线右支上，由双曲线定义得，
则，
又，故，
即E点横坐标为a，即内切圆的圆心横坐标为a，
由，得，
即，即为的角平分线，
由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为，
则P即为内切圆的圆心，E为切点，则内切圆半径为；
，
故答案为：2；8
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线定义的应用以及焦点三角形内切圆半径的求解，综合了向量数量积的应用，解答的关键是利用内切圆性质结合双曲线定义，推出内切圆圆心的横坐标即为a，再结合向量数量积的运算推出P点在角平分线上，从而确定内切圆圆心.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，表示出，再由的面积，并结合双曲线中的关系求解；
（2）法一：设出直线的点斜式方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理和中点坐标公式求解；法二：利用点差法求解.
【详解】（1）由题设双曲线，直线的方程为
联立方程解得
，又，
，则
而
所以双曲线的标准方程为.
（2）法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，
可知，直线的方程不是，
设直线的方程为即
联立方程
得①
解得
将代入①，得
故直线的方程为.
法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点，
可知，直线的方程不是，
设
得，
,
直线的方程为，即，
联立方程
得，
故直线的方程为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据双曲线经过点得到双曲线的方程，然后通过证明来说明以线段为直径的圆恒过点；
（2）根据列方程得到，再结合求即可.
【详解】（1）
将代入，得，所以，
所以的方程为.
要证明以线段为直径的圆恒过点，即证.
设，根据题意知直线的斜率存在，则，
故直线，令，得，
用替换，得.
所以，
所以.
因为，所以，所以，
故原命题得证.
（2）因为，所以.
由可得，记的斜率为，
则
用替换，可得.
所以，
化简可得，又，
所以，解得或（舍去）.
所以.
19．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支；
（2）先得到特殊情况时的值，再证明其对一般情况也适用.
【详解】（1）由题意可得，动点P到定点的距离比到定点的距离大2，
由双曲线的定义，P点轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
设，则，，，
所以的方程为．
（2）如图，不妨设点P在第二象限，
①当的斜率不存在时，
，令，解得，则，此时，
在中，，，即，
②当的斜率存在时，令的倾斜角为，的倾斜角为，则，，
假设成立，即，则有，即．
又，，又点P的坐标满足，即，
，
，假设成立，
综上，当时，有成立．
此时，由对称性知，，而，
为定值．
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是采用由特殊到一般，先猜后证的思想，先得到直线斜率不存在时，然后通过二倍角得正切公式证明一般情况即可.
20．(1)；
(2)证明见解析；；
(3).
【分析】（1）由渐近线方程和虚轴长列方程即可得到双曲线的方程；
（2）设，利用点到直线距离公式即可求解；
（3）根据题意求出的表达式，进而利用二次函数的单调性求最小值即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，
因此，双曲线的方程为
（2）证明：设，则，渐近线为，
P到两条渐近线的距离之积
.
所以P到两条渐近线的距离之积为定值，即定值为.
（3）由已知，得，设或，
在双曲线上，所以，，
因此
或，
函数对称轴为，
于是在上单调递减，在上单调递增，
，，
所以当时，取得最小值为.
21．(1)详见解析；
(2)定点的坐标为，，理由见解析.
【分析】（1）设，根据直线以为方向向量、直线以为方向向量可得、，消参后可得轨迹方程.
（2）设，，则可得、为直径的圆的方程为：，可证，故可求圆所过的定点.
【详解】（1）由题设有，.
设，则，
因为直线以为方向向量，故，
因为直线以为方向向量，故，
当时，，故点的轨迹过，
当时， 由可得，故，
整理得到.
综上，点的轨迹的方程，
轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线.
（2）
当时，点的轨迹方程，故，
由题设可得的斜率不为零，设，，
又，，
故，
故以、为直径的圆的方程为：，
.
由可得，
，
而，
故，
故以、为直径的圆的方程可化简为：，
其中，
令可得或，
故以、为直径的圆过定点，其坐标为，.
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