北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质当堂达标检测题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质当堂达标检测题，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．1D．2
2．已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
5．已知圆的直径长为8，与相离的直线垂直于直线，垂足为，且，圆上的两点，到的距离分别为，，且．若，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．抛物线上的点到其焦点的距离是M到y轴距离的2倍，过双曲线C：的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
7．已知抛物线，过点且斜率为的直线l交C于M，N两点，且，则C的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，点，动点，记到轴的距离为.将满足的的轨迹记为，且直线：与交于相异的两点，，则下列结论正确的为（ ）
A．曲线的方程为
B．直线过定点
C．的取值范围是
D．的取值范围是
10．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（ ）
A．若，则中点到轴的距离为4
B．弦的中点的轨迹为抛物线
C．若，则直线的斜率
D．的最小值等于9
11．设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（ ）
A．
B．若，则点的坐标为
C．的最小值为
D．满足面积为的点有2个
12．已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．若以线段AB为直径的圆过点F，则
C．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则
D．若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切
三、填空题
13．已知抛物线的焦点为为坐标原点，M为抛物线上异于点O的动点，则的最小值是 ．
14．已知抛物线的焦点为点，过点的直线交抛物线于点，两点，交抛物线的准线于点，且，，则
15．已知点是抛物线的焦点，为坐标原点，若以为圆心，为半径的圆与直线相切，则抛物线的方程为 ．
16．如图所示，抛物线的焦点为，过点的直线与分别相交于和，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为 ；设直线的倾斜角分别为，则的最大值为 .
四、解答题
17．已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点．
(1)若，求点的坐标；
(2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求.
18．已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．

(1)如图1所示，已知|，求线段中点到轴的距离；
(2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值；
(3)如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段MN与线段的交点为，求直线斜率的取值范围．
19．已知点F为抛物线C：的焦点，点在抛物线C上，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点.
20．已知点，动点P到y轴的距离为d，且，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)若，是C上不同的两点，点A在第一象限，直线的斜率为k，且，求.
21．已知为抛物线上的两点，是边长为的等边三角形，其中为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)已知圆的两条切线，且与分别交于点和.
（i）证明：为定值.
（ii）求的最小值.
参考答案：
1．A
【分析】根据条件列方程组求出，然后利用点到直线的距离求解即可.
【详解】由已知得，解得，
则双曲线的左焦点，一条渐近线，
故双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为.
故选：A.
2．A
【分析】求出抛物线的准线为，焦点为,．根据对称性可得是等腰直角三角形，从而算出、的坐标，将其代入双曲线方程，解关于的等式即可得到实数的值．
【详解】抛物线的方程为，
抛物线的准线为，焦点为,．
又直线交双曲线于、两点，为直角三角形．
故是等腰直角三角形，边上的高为，
由此可得,、,，如图所示．
将点或点的坐标代入双曲线方程，得，解得（负值舍去）．
故选：A．
3．C
【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的标准方程为，设小球大圆圆周方程，联立方程组求出，或，分析，可得最大值.
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得的坐标为，
设抛物线的标准方程为，则，解得，
故该抛物线的标准方程为，
设小球大圆圆周方程，
联立方程组，解得或，
要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则小球与杯子有且只有一个交点，
就是抛物线的顶点，所以或无效，
考虑到抛物线不可能在轴下方，所以不成立，即，
所以，解得，
所以最大值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解小球能触及杯盏的底部所满足的条件，从而得解.
4．D
【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识确定正确答案.
【详解】由于动圆经过定点，且与轴相切，
所以到定点的距离，等于到轴的距离，
根据抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线.
故选：D
5．D
【分析】方法一，由题意找到点满足的关系式，，由韦达定理可解；
方法二：由题意可知点，在抛物线上运动，利用抛物线定义可解.
【详解】方法一：如图建系，，

圆，，，
，，
同理，，是的两根，
，．
方法二：以所在直线为轴，以中垂线所在直线为轴建系，

设，，在上的射影分别为，，
，，，在抛物线上运动，
两根为，，.
故选：D．
【点睛】思路点睛：解决本题的关键在于由距离公式得出点所在曲线的方程，进而结合韦达定理求解.
6．A
【分析】由抛物线定义及点在抛物线上求得，进而可得A、B坐标，结合双曲线渐近线性质及列方程求双曲线参数c，即可得离心率.
【详解】由题设得，解得，故C：，
所以，渐近线为，设P、Q在上，
设直线的倾斜角为，则，
又，解得，
所以，故，
即，所以，
故选：A.
7．D
【分析】设，，求出直线的方程与抛物线方程联立，利用计算即可.
【详解】设，，直线，
联立得，
则，，又l经过C的焦点，
则，解得，故的准线方程为．
故选：D．
8．D
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出直线方程，与抛物线方程联立求出点的坐标即得.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则，
直线方程为：，即，
由，消去得，解得或，由，得，
于是，，
而，
所以的周长为.
故选：D

9．BCD
【分析】求出抛物线方程判断A；求出直线所过的定点判断B；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，先求出k的范围判断C；利用数量积的坐标表示判断D.
【详解】依题意，点到直线的距离等于到点的距离，
因此点的轨迹是抛物线，其方程为，A错误；
直线：恒过定点，B正确；
由消去y得：，
则，解得，，
，C正确；
，
，D正确.
故选：BCD
10．BCD
【分析】根据焦半径公式及中点坐标公式判断A，设直线方程为并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去可得轨迹判断B，结合向量的坐标运算求出点的坐标，然后利用两点式斜率公式求解判断C，由题可得，然后根据基本不等式求解判断D.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设，
对于A，依题意，，解得，
线段中点的横坐标，该点到轴的距离为，A错误；
对于B，显然直线不垂直于y轴，设直线：，
由消去x得，，
则，，，
设线段中点坐标为，则，消去可得，
因此弦中点的轨迹为抛物线，B正确；
对于C，显然，由，得，，
由选项B知，有，又，则，，
因此直线的斜率，C正确；
对于D，由选项B知，，
则，
因此，
当且仅当，即时取得等号，D正确.
故选：BCD
11．AB
【分析】对于A，直接由抛物线方程即可判断；对于B，直接由焦半径先求得点横坐标，代入抛物线方程验算其纵坐标即可判断；对于C，由B选项启发，观察图象，令即可举出反例；对于D，由点到直线距离公式将原问题转换为方程的或的正根的个数和即可判断.
【详解】
对于A，抛物线弧的焦点为，故A正确；
对于B，若，解得，所以，即点的坐标为，故B正确；
对于C，取，则，
因为，所以，即，
所以，即，故C错误；
对于D，直线的斜率为，所以它的方程为，
点到它的距离为，
注意到，若面积为，
则，又，
所以或，解得或，
所以满足面积为的点有3个，故D错误.
故选：AB.
12．ABC
【分析】联立直线l与抛物线消去x得y2﹣4my+4＝0，由可判断A；利用韦达定理和FA⊥FB列式可解得m2＝2，再用弦长公式可得弦长可判断B；若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则解出，再用弦长公式可得弦长可判断C；由，可得无解可判断D.
【详解】设，直线的方程为，，的中点为，
由消去并整理得：，得，
由题意，，所以，即，
所以，则，故A正确；
以线段为直径的圆过点，所以，所以，
又，
所以，
，解得满足题意.
由，得，所以B正确；
若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则，
又，所以，
解得：，所以，故C正确；
若以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，则，即，
又，所以无解，所以D错误.

故选：ABC.
13．/
【分析】设，则，故，再利用换元法结合二次函数的性质即可得解.
【详解】，设，则，
则，
故，
令，则，
则，
当，即时，，
所以的最小值是.

故答案为：.
14．
【分析】联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，再利用平行线分线段成比例，将长度比转换为坐标关系，从而得解.
【详解】依题意，抛物线的焦点坐标为，
易知直线斜率存在，设直线方程为：，，
联立，消去，得
易知，则，即，
过作垂直于轴，过作平行于轴，两者交于，
过作垂直于轴，交轴于，根据对称性，示意图如下，
因为，所以，
因为，所以，
则.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
15．
【分析】根据题意知抛物线方程：的焦点，利用点到直线的距离为列出方程，解得，从而求解.
【详解】由题意知抛物线：的焦点，
又因为点到直线的距离为，
所以：，又因为：，解得：，
则抛物线的方程为：.
故答案为：.
16． ；
【分析】根据抛物线焦半径公式，由即可求得，从而得到抛物线方程；设出方程，根据直线过的定点，从而求得的关系，以及的关系，对分类讨论，即可求得的最大值.
【详解】当垂直于轴时，，此时，可得，
故的方程为：；
对抛物线上的任意两点，
若直线斜率存在，则，
故直线方程为：，即
也即，又，
故方程为：；
若直线斜率不存在，，，
显然此时，直线方程亦可表示为：；
综上所述，方程可表示为：；
又直线过点，则；
设两点坐标为，
同理可得直线方程为：，
直线方程为：，
又直线过点，则；
又直线过点，则；
综上可得：，
若直线斜率存在，设斜率为，
则，
显然，
当时，不满足题意；
当时，由，，
则，
当且仅当，也即时取得等号；
当时，易知，故此时，
；
当时，，
则.
综上所述：的最大值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：解决第二空的关键是能够准确寻求到的关系，以及的关系，特别的，抛物线上任意两点构成直线的方程亦可表示为：，可大大提高计算效率.
17．(1)或
(2)或
【分析】（1）利用点是曲线上一点，结合抛物线的定义整理计算即可;
（2）结合题意转化为，借助韦达定理得或，再借助弦长公式计算即可.
【详解】（1）由抛物线，可得焦点为，
由抛物线的定义可得，
而，所以，解得或.
当时，;当时，.
所以点的坐标为或.
（2）设，联立方程，得，
所以，即,
且
由题知，，
整理得，
即，解得或，
当时，；
当时，.
综上所述：弦长的值为或.
18．(1)3
(2)4
(3)
【分析】（1）根据抛物线的性质求解即可；
（2）由题意可知四边形的面积等于，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理和求解即可；
（3）设点坐标为，将抛物线方程与直线，联立，利用韦达定理将点和点坐标用表示，进而可得到直线的方程，证明直线过定点即可求解.
【详解】（1）因为过焦点的直线交抛物线于，两点，且，
设，，
由抛物线的性质可得，
所以，
所以线段中点的横坐标，即为线段中点到轴的距离为.
（2）由点与原点关于点对称，可知是线段的中点，

所以点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于，
设直线的方程为，联立，消去可得，
设，，由韦达定理可得，，
所以，
当时，四边形的面积取最小值为4．
（3）设点坐标为，点坐标为，点坐标为，

由题意可知直线的斜率存在，且不为，
则直线的方程为，
与抛物线联立，消去得，
由韦达定理可得，解得，
直线的方程为，
与抛物线联立，消去得，
由韦达定理可得，解得，
显然直线斜率不为零，
当直线斜率存在时，直线的方程为，
整理得：，
将，代入得：
，
所以直线过定点，即点坐标为，直线的斜率为，
当时，，当且仅当，即时，等号成立，
当时，，当且仅当，即时，等号成立，
当时，，
当直线的斜率不存在时，设点坐标为，点的坐标为，
则，，且根据题意，
所以，解得，
所以直线的方程为过点，
综上所述，直线斜率的取值范围为.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为，形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义与点在抛物线C上列式求解即可；
（2）方法一：分直线斜率存在于不存在两种情况，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，进而表达再化简即可；
方法二：设，，代入化简，结合直线l的方程为即可.
【详解】（1）由题意得：，解得，或（舍去），
所以抛物线C的方程为.
（2）方法一：①当直线l斜率存时，
设直线l：，，，
则，消去x，整理得，
则，，，
而，
整理得，所以，
所以直线l：，所以直线l过定点.
②当直线l斜率不存在时，设直线l：，
则，，则，得，
所以直线l：，则点在直线l上.
综上：直线l过定点.
方法二：设，，
则，
则，直线l的方程为，
则，
所以直线l过定点.
20．(1)或
(2)或
【分析】（1）设，由可得C的方程；
（2）求出坐标，当B在曲线上时，设直线的方程为，联立直线与抛物线求出坐标，根据求得；当B在曲线上时，根据求得.
【详解】（1）设，则，.
由，可得，整理得.
当时，；
当时，.
所以C的方程为或.
（2）因为A在第一象限，所以.
设B在曲线上，则直线的方程为，即，代入，得.
由韦达定理得，
则，.
因为，所以，解得或4.
当时，B与A重合，不符合题意，所以，.
设B在曲线上，，
因为，所以，解得（正根已舍去）.
综上，或.
21．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由对称性可知当为等边三角形时，、两点关于轴对称，可得点在上，代入解得，即得的标准方程；
（2）（i）依题意可得，可以看作方程的两根，利用韦达定理即可证明；
（ii）联立，的方程与抛物线的方程，利用弦长公式求出，，代入中即可求解．
【详解】（1）由对称性可知当为等边三角形时，、两点关于轴对称，
当为边长为的等边三角形时，则的高为，由题意知点在上，
代入，得，解得，
所以的标准方程为；
（2）（i）因为，与圆相切，
所以，得，
同理可得，
则，可以看作方程的两根，又，
所以，
由韦达定理可得，即为定值；
（ii）由（i）知，由，得，所以，，
设，，，，
由，得，易得，则，
所以，
同理可得，
所以
，
当，即时，取得最小值，且最小值为．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.