北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何1 空间直角坐标系1.2 空间两点间的距离公式同步练习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何1 空间直角坐标系1.2 空间两点间的距离公式同步练习题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ）
A．B．C．D．
2．在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ）
A．2B．3C．D．
3．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则（ ）
A．B．C．D．4
4．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ）
A．B．C．D．
5．在空间直角坐标系中，点到平面的距离与其到平面的距离的比值等于（ ）
A．B．C．2D．4
6．在轴上且与点和点距离相等的点是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．若在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线的长是（ ）
A．B．2C．D．3
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为 ，，，则第四个顶点的坐标可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．如果且，那么直线不经过第三象限
B．空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为
C．若构成空间的一个基底，则，，不共面
D．点为圆上任意一点，则的取值范围是
11．在空间直角坐标系中，点P的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．点P关于原点对称的点是B．点P关于x轴对称的点是
C．点P关于平面对称的点是D．点P关于点对称的点是
12．如图，棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A．直线平面
B．
C．过，，三点的平面截正方体的截面面积为
D．三棱锥的外接球半径为
三、填空题
13．在如图所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为 .

14．如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为 .

15．正方形的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边，的距离分别为3和1，点Q到边，AB的距离也分别为3和1．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和重合（如图），则此时P，Q两点间的距离为 ．
16．在空间直角坐标系中，为坐标原点，动点同时满足下列两个条件：①；②.设所有动点构成的几何体的表面积为，体积为，则 ， .
四、解答题
17．已知棱长为1的正方体中，E是的中点，F是的中点．以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．求以下各点的坐标：A，B，，E，F．

18．如图所示，直三棱柱中，， ，分别是棱的中点，是的中点，求的长度．

19．如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.

20．如图，四棱锥的底面为直角梯形，平面平面，，，，，．

(1)若三棱锥的外接球的球心恰为中点，求与平面所成角的正弦值；
(2)求四棱锥体积的最大值．
21．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．

(1)试建立空间直角坐标系，并写出点，的坐标；
(2)求的余弦值．
参考答案：
1．B
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性可得结果.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为.
故选：B.
2．D
【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点到x轴的距离.
【详解】
在空间直角坐标系中，
过作平面，垂足为，则轴，
在坐标平面内，过作轴，与轴交于，
由，则，，
由，平面，平面，
则轴平面，平面，
则轴，故即点到x轴的距离，
则.
故选：D.
3．A
【分析】根据条件求得点的坐标，利用空间中两点间的距离公式计算即可.
【详解】因为点关于轴的对称点,
所以，
故选：A.
4．C
【分析】根据点关于平面对称时，横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数即可得到答案.
【详解】根据点关于平面对称时，
横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知，
点关于平面的对称点为，
故选：C.
5．B
【分析】由题意点到平面的距离与其到平面的距离的比值等于其纵坐标与横坐标的比的绝对值.
【详解】由题意点到平面的距离与其到平面的距离的比值等于.
故选：B.
6．C
【分析】设该点坐标为，利用距离相等列方程求解即可.
【详解】设该点坐标为，
因为该点与两点和距离相等，
所以解得
故该点为，
故选:C．
7．A
【分析】证明线面垂直，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，推出点在上时，取得最小值，作出点的对称点，由几何关系得到最小值，求出答案.
【详解】因为⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，
又四边形是正方形，所以⊥，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
过点分别为⊥，⊥于点，
则⊥平面，⊥平面，
过点作⊥于点，连接，
则，，
，其中，
故要想取得最小值，则，即只需点在上，
其中关于直线的对称点为，
连接，此时取得最小值，最小值为，
其中.
故选：A
8．C
【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线长.
【详解】由图可知：，，，
由中点坐标公式可得的中点坐标为，
根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.
故选：C
9．ABD
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分列式计算即可.
【详解】设第四个顶点的坐标为，
①，与，的中点重合，
则，解得，
②，与，的中点重合，
则，解得，
②，与，的中点重合，
则，解得，
所以第四个顶点的坐标为或或.
故选：ABD.
10．ABC
【分析】根据一般式直线方程，得到直线的斜率和截距，即可判断A；根据空间点关于平面的对称关系，即可判断B；根据共面向量公式，即可判断C；设，根据直线与圆的位置关系，即可判断D.
【详解】A.由且，可知，直线的斜率，纵截距，则直线不经过第三象限，故A正确；
B. 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为，故B正确；
C. 若构成空间的一个基底，则向量不共面，
设，
则，无解，
所以向量，，不共面，故C正确；
D.设，则，因为点为圆上任意一点，
所以圆心到直线的距离，解得：，故D错误.
故选：ABC
11．ACD
【分析】利用点关于原点对称点的特点可判断A；根据点关于坐标轴的对称点的特点可判断B；利用点关于坐标平面的对称点的特点可判断C；利用点关于点的对称点的特点可判断D.
【详解】点关于原点对称的点是，A正确；
点关于轴对称的点是，B错误；
点关于平面对称的点是，C正确；
点关于点对称的点是，D正确．
故选：ACD．
12．ABD
【分析】对于A，根据，利用线面平行的判定定理即可证明；对于B，通过平面，得到，同理得到，进而可得平面，再根据锥体得体积公式即可判断；对于C，首先得到截面图象，求出面积即可；对于D，由B选项可知，平面，且过外接圆的圆心，则三棱锥的外接球的球心在上，设球心为点，以点为原点建立空间直角坐标系，求出圆心坐标，即可得出半径.
【详解】对于A，如下图，连接,

因为点，分别是棱，的中点，则,
又，所以，
又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，如下图：连接交平面于点，连接，

正方体中易知，平面，平面,
则，
又正方形中，平面，
所以平面，又平面，
所以，
同理可证：，又平面，
所以平面，
易得,
故四面体为正四面体，为的重心，
又棱长为1，所以，
则
则，故B正确；
对于C，如图所示，由A选项可知等腰梯形即为所求截面，

又，则高为,
所以，故C错误；
对于D，由B选项可知，平面，且过外接圆的圆心，
则三棱锥的外接球的球心在上，设球心为点，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，设，
则，所以，
由，
得，解得，
所以三棱锥的外接球半径为，
故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
13．
【分析】根据给定的空间直角坐标系，求出的坐标即可得解.
【详解】依题意，，则，
则点，而点，
所以PD的中点M的坐标为.
故答案为：
14．/
【分析】找到点关于底面对称点，可得，结合不等式可得为的最小值，建立适当空间直角坐标系后借助两点间的距离公式计算即可得.
【详解】设的中心为，则底面，延长至，
使得，则，
由三条侧棱两两垂直且相等，
故可以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
由，则、，,
有，
由对称性可设，则有，
解得，故，
，
的最小值为.

故答案为：.
15．
【分析】利用，两点所在截面的圆心，将P，Q两点间的距离转化为的模计算即可.
【详解】如图，
设过点且平行底面的截面圆心为，
过点且平行底面的截面圆心为，
设圆柱底面半径为，则，所以.
，因为,
所以
.
所以.
故答案为：.
16．
【分析】由题意，几何体是棱长为1的正方体挖掉一个1为半径的球的，由此可以计算体积和表面积
【详解】所有动点构成的几何体为一个棱长为1的正方体挖掉一个以正方体顶点为球心，1为半径的球的.
几何体的体积为.
几何体的表面积为.
故答案为：.
17．，．
【分析】根据题中条件直接观察图象即可得到答案.
【详解】注意到正方体的棱长为1，
因此．
又因为E，F分别是的中点，
所以．
18．
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用中点坐标公式与两点间距离公式求解.
【详解】以点为坐标原点， 所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

，
，
由中点坐标公式可得，
，
.
19．，
【分析】侧面，而与不垂直，此时在平面上过点作垂直的直线，与相交于点，
则三线两两垂直，可建立空间直角坐标系得各个点的坐标.
【详解】在平面上过点作垂直的直线，与相交于点，
如图所示，侧面，侧面，侧面，,
又,所以两两垂直，以为原点，
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．
，，，则，
所以，，，，，，
为棱的中点，则有.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由几何体外接球的性质推出，再利用线面垂直的判定及性质定理结合勾股定理求出，，应用等体积法求到面的距离为，即可求与平面所成角的正弦值；
（2）构建空间直角坐标系确定，令，结合及两点距离公式求点轨迹，进而确定到面的最大距离，利用棱锥体积公式求最大体积.
【详解】（1）如下图，若为中点，则，即，
所以，即，

由，，，面，
则面，由面，则，
又面，则面，
面，则，
因为，，设，
易知，，，，
所以，故，，，
在中，由等面积法可知到的距离为，
由上知面，即面面，
又面面，所以到的距离即到面的距离，
因为，所以到面的距离为，
由，而，，
若到面的距离为，所以，
所以与平面所成角的正弦值为.
（2）
由，面面，构建如上图示的空间直角坐标系，
则，令，根据，
则，整理得，
所以，故点轨迹是在面上以为圆心，为半径的圆上，
要使四棱锥体积的最大，即到面的距离最大，
综上，到面的最大距离为，又，
所以最大体积为.
21．(1)，；坐标系见解析
(2)．
【分析】（1）根据已知条件得到三条线两两垂直建系写出坐标即可;
（2）根据空间两点间距离公式求出距离,再在三角形中应用余弦定理即得.
【详解】（1）因为，平面，所以平面．

又平面，平面，所以，．
又，所以，所以直线，，两两垂直，
以E为坐标原点，以，，为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
易得，，，
所以点D、G的坐标分别为， ．
（2）因为，所以，
，，
在中，，
即的余弦值为．