高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册4.2 导数的乘法与除法法则一课一练

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册4.2 导数的乘法与除法法则一课一练，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则＝ （ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．函数的周期为2D．
4．某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中为常数．若当时，该质点的瞬时速度为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
5．已知某物体的运动方程是（的单位为），该物体在时的瞬时加速度是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则（ ）．
A．B．0C．1D．2
7．已知倾斜角为的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．的最小正周期为
C．的最小值为D．直线是曲线的切线
11．下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度是
12．已知函数，则所有正确的结论是（ ）
A．函数是增函数
B．函数的值域为
C．曲线关于点对称
D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
三、填空题
13．函数的图象在处切线的斜率为 .
14．写出一个同时具有下列性质①②的函数： .
①；②.
15．已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
16．已知函数，则 ，曲线在处的切线方程为 .
四、解答题
17．已知函数．
(1)当时，求出函数在点处的切线方程．
(2)如图所示，函数图像上一点处的切线与函数图像交于点，过的切线（为切点）与处的切线交于点．问：三角形是否可能是等边三角形？若是，求此时的值；若不是，说明理由．
18．已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．
(1)求的值；
(2)设抛物线上一动点到直线的距离为，求的最小值．
19．已知函数，直线l：与x轴交于点A．
(1)求过点A的的切线方程；
(2)若点B在函数图象上，且在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．
20．已知函数.
(1)若曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积，试判断与之间的关系；
(2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由.
21．记、分别为函数，的导函数.若存在满足且，则称为函数与的一个“S点”.
(1)证明:函数与不存在“S点”;
(2)若函数与存在“S点”，求实数的值
(3)已知函数，对任意，判断是否存在，使得函数与在区间内存在“S点”，并说明理由.
参考答案：
1．B
【分析】求出点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数，由，得，则点，
由，求导得，则，于是，
所以该曲线在点处的切线方程为.
故选：B
2．C
【分析】由导数的运算法则验算即可.
【详解】由题意.
故选：C.
3．C
【分析】选项A，偶函数的导函数是奇函数，可得到函数是奇函数，过原点，可做出判断；选项B，构造函数，判断其奇偶性，进而得到的图象特征；选项C，两个对称性得到周期性，因为为偶函数，得，因为为奇函数，可得：，自变量代换后化简可得，即可做出判断；选项D，先求出，并归纳出，由，归纳出，再利用周期性，将表示为，求值即可.
【详解】对于选项A，因为为偶函数，
其导函数为奇函数，
将代入，得，得，选项A正确；
对于选项B，因为为偶函数，
所以为奇函数，且，
则的图象关于点对称，选项B正确；
对于选项C，因为为偶函数，可得：，
即，
因为为奇函数，可得：，
即，得，
所以，即，
则，
可知的周期为4，选项C错误；
对于选项D，因为为偶函数，可得：关于对称，
由且关于对称，知，
又的周期为4，可得和，
合并后，可得：.
选项C中有等式，即，
则有成立，
有：
选项D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题CD的关键是利用其奇偶性和对称性得到其周期性，再计算出，结合其周期进行求和从而判断D选项.
4．C
【分析】质点在某时刻的瞬时速度即为该函数在该时刻的导数值，先将代入导函数，求出的值，再将代入导函数求值即可.
【详解】由函数关系式，
得其导函数为：，
由于当时，该质点的瞬时速度为，
将代入导函数，得，
所以，
则由函数关系式，其导函数为：，
将代入导函数，得，
所以当时，该质点的瞬时速度为，
故选：C.
5．C
【分析】由题意依次求导代入即可得解.
【详解】由题意，，
所以.
故选：C.
6．D
【分析】根据导数的定义及导数的运算求解即可.
【详解】由题意，，故.
故选：D
7．C
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】设点的横坐标为为，
，
由题意可得，解得（舍去），
即点的横坐标为.
故选：C.
8．B
【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由函数，可得，
令，可得，
因为，可得，则，
即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
故选：B.
9．BC
【分析】根据函数的导数公式，结合导数的运算法则和复合函数求导法则，分别进行判断即可.
【详解】，所以A错误；
，所以B正确；
，所以C正确；
，所以D错误.
故选：BC
10．ABD
【分析】根据奇函数定义判断A，根据周期定义判断B，结合特殊值即可判断C，根据导数判断切线斜率结合点斜式判断D.
【详解】对于A，的定义域为，
又，A正确；
对于B，因为，
所以是的一个周期，当时，
，
所以的最小正周期为，B正确；
对于C，当时，，C错误；
对于D，，，
则，则，
则曲线过点，
曲线的切线在处的切线为，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：分段讨论化简解析式，得出解析式分别讨论周期，最值即可.
11．AD
【分析】利用求导公式可判断ABC选项；求导代入求出可判断D选项.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，，，
故该质点在时的瞬时速度是，故D正确.
故选：AD.
12．ABC
【分析】由函数的单调性能判断复合函数的单调性，可判断A；由指数函数的值域易得函数的值域，可判断B；验证是否成立，可判断C；利用导数的几何意义判断是否有解，可判断D.
【详解】对于：函数，
函数在上为增函数，则复合函数在上为增函数，
所以函数是增函数，故A正确；
对于：函数，
函数在上为增函数且，则，
于是，即，
所以，即函数的值域为，故B正确；
对于C：，，
则有，曲线关于点对称，故C正确；
对于D：，其导数，
若，变形可得，
令，则，
因为，所以，又，
于是 ，即关于的一元二次方程无实数根，
所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，故D错误.
故选：ABC.
13．/
【分析】首先求函数的导数，再根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意可知，，，
根据导数的几何意义可知，函数的图象在处切线的斜率为.
故答案为：
14．（答案不唯一，）
【分析】由条件①设出函数并确定一个参数值，再由条件②确定另一参数即可.
【详解】由①，设，
则，，
由，得，解得，于是，
求导得，由②，得，取，.
故答案为：
15．
【分析】先得到圆心在上，半径为，故的最小值等于的最小值减去半径，由反函数可知，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，求导得到在点处的切线与平行，求出到的距离最小值，得到答案.
【详解】由题意得，即圆心在上，半径为，
故的最小值等于的最小值减去半径，
设，由于与关于对称，
的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，
由，可得，令，解得，
故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，
最小值为，
故的最小值为，
则的最小值等于.
故答案为：
【点睛】方法点睛：两曲线上点的距离最值问题，处理思路如下：
①设出两点的坐标，利用两点间距离公式表达出距离，结合基本不等式或求导，得到函数最值；
②利用几何关系，找到取最小距离的位置或点的坐标，进行求解.
16．
【分析】求出函数的导数，将代入即可求得，根据导数的几何意义即可求得函数在处的切线方程.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
因为，所以所求切线方程为，
即，
故答案为：1；
17．(1)
(2)能，
【分析】（1）求导，求出斜率，进而可得切线方程；
（2）设点，求出过点的切线方程，与联立求出点的坐标，进而可求出过点的切线方程，然后求出过点的切线方程，与过点的切线方程联立求出点坐标，进而可根据列方程求出的值.
【详解】（1）当a＝1时， ，
则，所以，又，
所以函数在点（1，f（1））处的切线方程为，
即；
（2）设点，又，
所以，
过点的切线方程为，
整理得，
联立，
消去得，变形得，
所以点，又，
所以过点的切线方程为，
整理得，
设点，又，
过点的切线方程为，
整理得，将点代入得，
整理得，变形得，得或
所以点，
即过点的切线方程为，
联立，解得
即点，
假设三角形是等边三角形，则，
所以，
由②解得，代入①得，
所以当时，三角形是等边三角形.
【点睛】方法点睛：在知道切点的情况下，可直接求出切线方程，若不知道切点，可设出切点，然后列方程求解.
18．(1)，，
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可得关于的方程，解方程，即可求得答案；
（2）利用导数的几何意义求出点M的坐标，再根据点到直线的距离公式，即可求得答案.
【详解】（1）根据题意可知，将分别代入两曲线方程得到，．
两个函数的导函数分别是，，
又，，则，
解得，，．
（2）要使抛物线上的点M到直线的距离最短，
则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线相同，则，
解得，又因为点M在抛物线上，解得．
所以最短距离即的最小值为点M到直线的距离，
代入点到直线的距离公式得．
即最短距离为
19．(1)或；
(2)或.
【分析】（1）设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解.
（2）根据给定条件，利用导数的几何意义求出点的横坐标即可.
【详解】（1）设过点A的直线与函数的图象相切的切点为，
函数，求导得，则切线斜率，
因此切线方程为，直线与x轴交于点，
依题意，，整理得，解得或，
当时切线方程为；当时切线方程为，
所以所求切线方程为或.
（2）设点，由（1）知，，即，解得，显然，
而点或都不在直线上，
所以B点坐标为或.
20．(1)或
(2)存在，或.
【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线的斜率，进而得到两切线方程，求出直线与坐标轴的两交点，分别表达两切线与坐标轴围成三角形的面积，由面积相等得的关系；
（2）假设存在，设出直线与曲线和相切的切点坐标，根据切点利用导数几何意义求出切线方程，由公切线知两切线为同一直线，可建立坐标满足的方程组，求解可得切点坐标，进而可得切线方程.
【详解】（1），
曲线在点处的切线斜率为，
曲线在点处的切线斜率为，
又，
曲线在点处的切线方程为，即
令，得；令，得，则切线与坐标轴的交点分别为，
切线与坐标轴围成的三角形的面积为；
曲线在点处的切线方程为，即，
令，得；令，得，则切线与坐标轴的交点分别为，
切线与坐标轴围成的三角形的面积为；
由题意，，所以或.
（2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，
，
曲线在点处的切线为，即，
曲线在点处的切线为，即，
则则
所以，解得或
当时，直线
当时，直线
故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或.
21．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）求导，假设存在“S点”，解方程组可得结论；
（2）求导，设“S点”为，解方程组得结论．
（3）求出函数的导函数，由，假设，得，求出，再由，得，令，结合零点存在性定理说明在上有零点，即可得证.
【详解】（1）因为，，则，，
假设存在函数与存在“S点”
即存在满足，方程组无解，
所以函数与不存在“S点”.
（2）因为与，则与，
设“S点”为，满足，解得，
所以.
（3）因为，，
所以，，
由，，显然，
假设，得，解得，
由，得，得，
令，
设，
则，，得，又的图象在上不间断，则在上有零点，
则在上有零点，则存在，使与在区间内存在“S”点.
【点睛】思路点睛：本题考查导数的定义，解题关键是掌握新定义“S点”的含义，对函数的“好点”，实质就是解方程组，因此凡是出现“S点”，解题时就是由此方程组求解．这样就把新定义转化一般的函数及其导数问题．