北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 简单复合函数的求导法则课时练习

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 简单复合函数的求导法则课时练习，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设是定义在R上的奇函数，其导函数为，且也是奇函数，当，，若，则（ ）
A．B．C．1D．
2．函数及其导数的定义域均为，记，若和都是偶函数，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是奇函数D．是偶函数
3．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．设定义在上的奇函数满足当时，，则函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，若过点可作两条直线与曲线相切，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．
C．的最大值为2D．
6．设 ，若函数，关于 的方程 有且仅有1个实根，则 的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知动点分别是曲线和曲线上的任意一点，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，曲线与交于点，曲线和在点处的切线分别为，直线和与轴分别交于点．若，则的值为（ ）
A．eB．C．D．
二、多选题
9．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．
C．D．为偶函数
11．设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．的图象关于对称D．函数为周期函数，且周期为4
12．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足，的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．是奇函数B．
C．D．
三、填空题
13．若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角范围为 .
14．定义在上的偶函数满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为 .
15．函数在处的导数 ．
16．已知定义在上的可导函数和满足：，，且为奇函数，则导函数的图象关于 对称（写出一种对称即可，不必考虑所有情况）；若，，则 .
四、解答题
17．已知函数，求：
(1)求
(2)求函数图象在点处的切线方程及切线与坐标轴围成的三角形的面积.
18．已知一罐汽水放入冰箱后的温度x（单位：）与时间t（单位：h）满足函数关系．
(1)求，并解释其实际意义；
(2)已知摄氏度x与华氏度y（单位：）满足函数关系，求y关于t的导数，并解释其实际意义．
19．吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大．
(1)写出气球半径关于气球内空气容量的函数表达式；
(2)求时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）．
20．已知函数
(1)求的导数．
(2)求曲线在点处的切线方程．
21．某质点位移随时间变化的函数为，其中的单位为，位移单位为，若的图象为一条连续曲线.
(1)求的值；
(2)求质点在时的瞬时速度.
参考答案：
1．B
【分析】由是奇函数推导的图象关于轴对称，进而推出函数的周期为4，进一步求出a值即可求解.
【详解】因为是定义域为R的奇函数，
所以，，．
因为当，，所以，从而．
因为是奇函数，则
则，
令，则，得，即，
故的图象关于轴对称，因此有，
且，从而有，
所以，故是周期为4的周期函数，
又因为，所以，
所以，
故选：B．
2．D
【分析】根据函数的奇偶性可知函数、的图象分别关于直线、对称，结合导数的几何意义可知函数图象关于与对称，且的图象关于点对称，进而证得函数的周期为4，则，即可求解.
【详解】由是偶函数，得，
所以函数的图象关于直线对称；
由是偶函数，得，
所以函数的图象关于直线对称，又，
则关于对称，所以是函数图象的对称中心，
由于不确定的值，所以无法判断函数的奇偶性，故排除选项A、B；
又，由，得，
即，得，
所以函数的图象关于点对称；
由，得，即，
所以，即，
所以函数的周期为4，所以，
所以函数为偶函数，故排除C，选择D.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题通过函数的奇偶性、对称性和周期性，结合导数的几何意义、运算和合理赋值，寻找函数图象的对称性是解题的关键，原函数与导函数图象的关系、奇偶性的联系都是解题的思路.
3．C
【分析】求出，计算出，结合已知条件即可得解.
【详解】因为，则，
则，
所以，，
所以，，故.
故选：C.
4．D
【分析】结合奇函数的特点求出时的解析式，然后利用导数的几何意义求解切线的方程.
【详解】由题意，，解得，即当时，．
当时，，所以，
此时，故所求切线的斜率为，又，
故函数在点处的切线方程为，即．
故选：D．
5．A
【分析】由导数几何意义切线斜率可得（），进而将问题转化为方程有两个不等的正实根，即可得范围可判断A项、B项，，，可判断C项、D项.
【详解】由可得，设切点为（），则，
又因为，即，
整理得（），
因为过点可作两条直线与函数相切，
所以方程有两个不等的正实根，
所以，解得，所以，
故A项正确，B项错误；
对于C项、D项，取，，满足，此时，，故C项、D项错误；
故选：A.
6．A
【分析】转化为的图象交点问题，数形结合求解即可.
【详解】问题化为的图象交点有且仅有一个，
由解析式知：的图象都经过点，
所以，只需在处与两个分段上的图象都相切为临界情况，如下图，
对于，有，故；
对于，有，故；
如上图，中，当或时，的图象仅有一个交点.
所以.
故选：A
7．B
【分析】由两曲线关于直线对称，求的最小值可转化为求P到直线的最小距离的2倍，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线对应的切点坐标，从而得此距离.
【详解】因为与互为反函数，所以其图象关于直线对称，
先求出曲线上的点到直线的最小距离，该距离的2倍即为所求.
设与直线平行且与曲线相切的直线切点为，
因为，所以，解得，
所以，即切点为，
点P到直线的距离，
所以线段的最小值为.
故选：B
8．D
【分析】设，由导数的几何意义表示出直线和的方程，分别令，用表示出的坐标，再由可得．，分类讨论和，解方程即可得出答案.
【详解】设，则．
直线的方程为，令，得．
直线的方程为，令，得．
因为，所以．
当时，，
即，解得；
当时，，即，无解．
所以．所以．
故选：D．
9．BC
【分析】由为奇函数，可知，可得函数图像关于直线对称，再由，可得，函数图像关于点对称，再代入特值，可判断各选项.
【详解】由为奇函数可得，即，
，即，即，
所以函数的图像关于直线对称，
由是偶函数可得为奇函数，
，
即，
所以函数的图像关于点对称；
将代入，得，
将代入，得，B选项正确；
将代入得，得，A选项错误；
，C选项正确；
将代入，得，故，，D选项错误.
故选：BC.
10．ACD
【分析】根据函数奇偶性判断AD；利用赋值法结合导数运算、函数性质判断BC．
【详解】因为为奇函数，则，
可得，所以为奇函数，故A正确；
又因为，可得，
则，可得，
所以是以为周期的周期函数，
可得，但没有足够条件推出，故B错误；
因为，则，
令，则，故C正确；
因为，则，可得，
又因为，则，
所以为偶函数，故D正确，
故选：ACD．
11．AC
【分析】对于A，根据为偶函数求出的表达式，然后给的表达式两边求导，然后取特值求解；对于D，根据和为偶函数找到的关系，求出周期；B：根据的性质，取特值求解；C：根据已知推导出.
【详解】A：因为为偶函数，所以，所以，
令，则，所以，故A正确；
D：因为，所以，
用代替原来的得，①
又为偶函数，所以，
用代替原来的得：，②
由①②得，③
又，用代替原来的得：，④
由③④联立得：，⑤
用代替原来的得：，⑥
⑥减去⑤得：，故为周期函数，且周期为，
用代替原来的得：，⑦
因为，用代替原来的得：，⑧
因为，用代替原来的得：，⑨
由⑦⑧⑨得：，
用代替原来的得：，
所以为周期函数，且周期为，故D错误；
B：因为常函数为满足题意得一组解，但，故B错误；
C：由，则，即，
又，则，即，故C正确；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数可任意赋值（符合已知条件）得到函数的周期，再根据周期性和奇偶性取特值代入求解.
12．BCD
【分析】推导出函数的奇偶性，设，利用导数推导出为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断A选项；推导出，令代值计算可判断B选项；由、推导可判断C选项；求出的值，结合函数的周期性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为函数的图象关于直线对称，
则，
即，所以，函数为偶函数，
又因为，则，
令，则，所以，为常值函数，
设，其中为常数，
当时，，此时，函数不是奇函数，A错；
对于B选项，因为，令，可得，
即，
等式两边求导得，即，
所以，函数的图象关于点对称，
在等式中，令可得，可得，B对；
对于C选项，因为，则，
可得，
所以，，C对；
对于D选项，在等式两边同时求导得，即，
所以，函数是以为周期的周期函数，
因为，所以，，，
，可得，
，，
由中令，可得，则，
，
所以，
，
因为，则，D对.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性的应用，可利用以下结论来转化：
①函数的图象关于点对称，则；
②函数的图象关于直线对称，则.
13．
【分析】对函数求导，求出，由此即可判断切线的倾斜角范围.
【详解】，
，
,,,，
故函数图象在点处的切线的倾斜角范围为.
故答案为：
14．
【分析】明确函数的周期性，结合导数的几何意义求函数在某点出的切线方程.
【详解】因为是上的偶函数，且，
所以，
所以，即为周期函数，且周期为4.
设，则，由；
设，则，由.
当时，.
所以：，.
所以曲线在点处的切线方程为：.
故答案为：
【点睛】方法点睛：该问题的解决方法可以有两种思路：
（1）求出函数在区间上的解析式，可得和，进而求出所求的切线方程；
（2）利用函数的对称性和周期性，先求得到切点，再根据的图象关于点对称，则关于轴对称，所以得切线斜率，可得所求切线方程.
15．
【分析】求导，再令即可得解.
【详解】，
则.
故答案为：.
16． ，（或）
【分析】根据导数运算结合已知得出，即的图象关于对称，根据奇函数定义结合导数运算得出，即的图象关于对称，根据对称与周期的关系得出周期为4的周期函数，即可得出关于对称，还关于对称，根据导数运算结合已知得出（为常数），再结合，给赋特值得出，即可结合为奇函数，得出是周期为4的周期函数，即可根据与式子反应的图象平移关系得出也是周期为4的周期函数，即可结合已知计算得出答案.
【详解】由得，
则，即，
则的图象关于对称，
为奇函数，
，
则，即，
则的图象关于对称，
，，
，即，
则，
是周期函数，周期为4，
的图象关于对称，还关于对称，
的图象关于对称，关于对称，
在一个周期里有与两个对称点，则关于对称，
在一个周期里有与两个对称轴，则关于对称，
，
，
（为常数），
，
，
取，则，解得，
，
，
，
，即，
，
函数是周期为4的周期函数，
，即，
的图象是的图象平移得出的，
也是周期为4的周期函数，
则，，
为奇函数，
，
令，得
，
，
由得，
由得，，，
，
故答案为：，（或）；.
【点睛】关键点睛：本题考查了导数的综合运用，以及抽象函数的奇偶性，周期性和对称性的性质的灵活转换运用，注意抽象函数的导数运算要结合复合函数的导数运算，注意符号的改变，抽象函数的奇偶性，周期性和对称性的联系怎么体现到算式中，将导数还原回原函数时注意要加常数项.
17．(1)
(2).
【分析】（1）直接由导数的运算法则及基本初等函数的导函数，可得原函数的导数；
（2）求出及的值，求出函数的图象在点处的切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．
【详解】（1）由，
得，
（2），，
函数的图象在点处的切线方程，
整理得．
令，得，令，得，
切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
18．(1)，实际意义见解析；
(2)，实际意义见解析.
【分析】（1）求出给定函数的导数，再求出对应函数值，并说明意义作答.
（2）求出y关于t的函数，再求出导数及说明意义作答.
【详解】（1）由，求导得，
所以，在第1时，汽水温度的瞬时变化率为，
说明在第1附近，汽水温度大约以的速率下降.
（2）依题意，，求导得，
所以y关于t的导数为，在第时，汽水温度的瞬时变化率为，
说明在第附近，汽水温度大约以的速率下降.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）根据球的体积公式化简即可写出函数表达式；
（2）求出半径关于容量的导函数，再利用导数的几何意义即可得出时，气球的瞬时膨胀率.
【详解】（1）利用球的体积公式直接可得，即，
所以气球半径关于气球内空气容量的函数表达式为
（2）由（1）知，所以，
当时，，
即时，气球的瞬时膨胀率.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则对原函数求导；
（2）由导数几何意义求处的切线方程.
【详解】（1）
.
（2），而，
所以切线方程为，即.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知两个函数在时的函数值相等，从而可求出的值；
（2）对求导，然后求即可得答案.
【详解】（1）因为的图象为一条连续曲线，
所以，
化简得，解得；
（2）当时，，
所以，
所以.