选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题课时练习

这是一份选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题课时练习，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知定义在上的函数，满足：；（其中是的导函数，是自然对数的底数），则的范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则当该圆柱的体积取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的部分图象可能为（ ）
A． B． C． D．
4．已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（ ）
A．B．C．D．
5．对一个质地均匀的实心圆锥体工件进行加工，已知该工件底面半径为12cm，高为8cm，加工方法为挖掉一个与该圆锥体工件同底面共圆心的内接圆柱.若要使加工后工件的质量最轻，则圆柱的半径应设计为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正方形的中心与正方形的中心重合，正方形的面积为2，截去如图所示的阴影部分后，将剩下的部分翻折得到正四棱锥(A，B，C，D四点重合于点M)，当四棱锥体积达到最大值时，图中阴影部分面积为（ ）

A．B．C．D．
7．在函数的图象与x轴围成的封闭图形内作一内接矩形ABCD，则可作矩形的最大面积为（ ）

A．B．C．D．27
8．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，建设高水平､现代化､开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ）

A．2B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，关于的方程，下列正确的是（ ）
A．存在使得方程恰有2个不相等的实根
B．存在使得方程恰有3个不相等的实根
C．存在使得方程恰有4个不相等的实根
D．存在使得方程恰有5个不相等的实根
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有两个不同的零点
B．存在实数，使得函数的图象与轴没有交点
C．函数的图象关于直线对称
D．若函数有四个不同的零点，则
11．非零实数满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
12．你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（ ）（注：；利润可为负数）
A．利润随着瓶子半径的增大而增大B．半径为6cm时，利润最大
C．半径为2cm时，利润最小D．半径为3cm时，制造商不获利
三、填空题
13．在边长为2的等边三角形中，点（与不重合）在边上，于点，将沿折起，连接，得到四棱锥，则四棱锥的体积的最大值为 ．
14．若函数在上单调递减，则的取值范围为 ．
15．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为.现已知相距18km的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.若，且时，取得最小值，则的值为 .
16．如图所示，某小区有一半径为，圆心角为的扇形空地.现欲对该地块进行改造，从弧上一点向引垂线段，从点向引垂线段.在三角形三边修建步行道，则步行道长度的最大值是 .在三角形内修建花圃，则花圃面积的最大值是 .

四、解答题
17．已知函数 ， ， ．
(1)当 时，讨论函数在区间 上的单调性．
(2)设是函数的最大值．求出的表达式并比较 与的大小．
18．已知函数.
(1)若为奇函数，求此时在点处的切线方程；
(2)设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点.
（i）求函数的极值；
（ii）若，且，求实数的取值范围.
19．已知函数．
(1)若对于任意恒成立，求a的取值范围；
(2)若函数的零点按照从大到小的顺序构成数列，，证明：；
(3)对于任意正实数，证明：．
20．某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中．
(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长；
(2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大．
21．学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元.
(1)设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式；
(2)由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）.
参考答案：
1．B
【分析】合理利用，恰当地构造函数和，并分别求导，利用导数判断其单调性，得到，，进而得到 .
【详解】令，则，
则在上单调递增，则，
即，即；令，
则，则在上单调递减，
则，即，即；
故，即.
故选：B
【点睛】关键点睛：解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察条件，联想到函数，，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.
2．D
【分析】由题意画出截面图，设相应的变量，建立函数，利用函数导数求解最值即可求解.
【详解】作经过球心的截面，如图所示，
设为球心，矩形为圆柱的轴截面，
为圆柱底面圆的直径，为球的半径，
设，则，
则圆柱的体积为：，
所以，令，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以当该圆柱的体积取最大值时，的值为，
所以.
故选：D.
3．A
【分析】根据、在的单调性可判断出答案.
【详解】由，排除B，C；
由可得，
当时，，即，故在上单调递减，排除D，
故选：A．
4．A
【分析】由该六棱锥为正六棱锥时，其体积最大结合体积公式得出，利用导数得出体积最大值，进而得出侧棱长.
【详解】由题意知，六棱锥的底面六边形的顶点在同一个截面圆上．
易知当六边形为正六边形时，其面积最大．要使六棱锥的体积最大，则该六棱锥为正六棱锥．
不妨设正六边形的边长为，六棱锥的高为，
则正六边形的外接圆的半径为．
由球的性质可知，，则，
所以正六棱锥的体积．
设，则．
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，取得最大值，即时，取得最大值，此时，
所以正六棱锥的侧棱长．
故选：A．
【点睛】关键点睛：当圆内接多边形为正多边形时，多边形的面积最大；当球的内接多棱锥为正多棱锥（如上题）时，该多棱锥的体积最大．
5．A
【分析】设挖去的圆柱的底面半径为，高为，再设圆柱的轴截面为矩形，底面圆心为，连接，根据，求得，得到圆柱的体积为，求得，得到函数的单调性和最大值，进而得到结论.
【详解】设挖去的圆柱的底面半径为，高为，取圆锥的轴截面，如图所示，
设圆柱的轴截面为矩形，底面圆的圆心为，连接，交于点，
因为，则，即，解得，其中，
则圆柱的体积为，其中，
可得，
令，解得或（舍去），
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取的最大值，最大值为，
所以，当时，工件的质量最轻.
故选：A.

6．A
【分析】设，表达出棱锥侧面的高，进而表达出棱锥的高，表示出棱锥体积，利用导函数求出棱锥体积的最大值，求出阴影部分面积.
【详解】取正方形中心为，连接交于点，
正方形的面积为2，故正方形的边长为，，
设，则，所得的棱锥侧面的高，

故棱锥的高为，
四棱锥体积为，
令，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，体积最大，
此时，，由勾股定理可得，
点到边长的距离，，
∴阴影部分面积.
故选：A．
7．B
【分析】设A，B在抛物线上，由矩形的性质可得出A，B坐标的关系，表示出矩形面积的表达式，通过求导得出单调性从而得出最值.
【详解】设A，B在抛物线上，若，则点B的坐标为，
所以矩形ABCD的面积可表示为，，
则，
令，解得或（舍去），
可得在上单调递增，在上单调递减，
所以矩形的最大面积为：．
故选：B.
8．D
【分析】先根据，求出，直线的方程，然后设后得到，点坐标进而得，再利用导数求最值.
【详解】因，故，由题意
直线的方程为：，即，
将代入得，得，
所以，
因在直线上，可设，
因在上，故，,
所以，，，
直角梯形的面积，
即，
，
令得，又，所以在区间上单调递增，
令得或，又，所以在区间上单调递减，
故当时，取得最大值为，
故选：D
9．AC
【分析】求导得到的单调性，然后根据图象的变换得到的图象，然后分、、、和五种情况讨论即可.
【详解】令，则，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，上单调递增，
，令，则，
所以的图象如下：

令，则，
①当没有实数根时，，即，此时方程无实数根；
②当只有一个根时，，解得，此时，有两个根，所有此时方程有两个根，故A正确；
③当有两个根时，，即，函数的对称轴为，所以，，
由图可知，时只有一个根，
若，则，即，此时有三个实数根，所以此时方程有四个实数根，故C正确；
若，则，此时只有一个实数根，所以此时方程有两个实数根；
若，则，即，此时无实数根，所以此时方程有一个实数根，
综上可得，不存在使得方程恰有3个或5个不相等的实数根，故BD错.
故选：AC.
10．AD
【分析】对于选项A，当时，作出函数和的图象，利用数形结合进行判断即可；对于选项B，利用当时，即可得出判断；对于选项C，函数的定义域为，关于直线不对称，从而得出判断；对于选项D，利用函数与方程的关系，转化为当时，函数有两个不同的零点，构造函数，利用导数研究函数的极值进行求解即可.
【详解】函数的定义域为，定义域关于直线不对称，所以函数的图象不可能关于直线对称，故选项C错误；
当时，对任意实数都有，即函数的图象与轴有交点，故选项B错误；
对于选项A，由得.
设，当且时，；当时，，作出函数的图象如图所示.
设，当时，，作出函数的图象如图所示.
由图象知，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，即函数有两个不同的零点，故选项A正确；

对于选项D，由上述分析知，当时，函数的图象与函数的图象不可能有4个交点，故不满足函数有四个不同的零点.
当时，如图所示，当时，函数的图象与函数的图象没有交点，当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，故要使函数有四个不同的零点，只需要满足当时，函数有2个不同的零点.

当时，，得.
令，，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，故当时，函数取得极大值，极大值为；当趋向于时，趋向于；当趋向于2时，趋向于，故当时，与在上有两个不同的交点.
综上所述，要使函数有四个不同的零点，则，故选项D正确.
故选：AD.
【点睛】本题主要考查函数的零点个数，解决策略是利用函数与方程思想，将原函数转化为两个简单函数，通过考查两个简单函数的图象的交点个数问题进行解决.
11．AB
【分析】首先研究曲线的对称性，这样只需要研究，的情况，进而可以直接脱去绝对值符号；把曲线转化为函数，利用函数的方法解决取值的范围问题.
【详解】将带入方程，显然成立，所以方程的曲线关于原点对称，只需研究，的情况.
当，时，原方程可化为，变形得，显然，
又，当且仅当，即时等号成立.
所以，据对称性可知，当时，，A，B都正确；
当时，，令，
求导可得，令，解得，
所以，，
所以，C，D都错.
故选：AB.
12．BCD
【分析】先根据条件及球的体积公式求出每瓶液体材料的利润的解析式，再利用导数的性质即可逐一判断．
【详解】由已知，每个瓶子的利润为，，
则，
所以当时，，此时函数单调递减，故A错误；
又当时，，函数单调递增，
又，则当时，函数取得最大值，故B正确；
当时，函数取得最小值，故C正确；
又，故D正确．
故选：BCD．
13．/
【分析】设，，计算，求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算最值得到答案.
【详解】如图所示：设，，则，，
则，，
对于确定的点，当平面时，四棱锥的体积最大，
，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，.
故答案为：.
14．
【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求即可.
【详解】由题可知恒成立，
则，令，
．
令，得，即在上单调递增；
令，得，即在上单调递减．
，所以．
故答案为：.
15．
【分析】根据，得，分别求出两个污染指数即可得出函数关系，求出函数的导函数，依题意可得，即可求出的值，再检验即可.
【详解】依题意点受污染源污染程度为，点受污染源污染程度为，其中为比例常数，且，
从而点处受污染程度，；
因为，所以，则，
当时，取得最小值，必是极小值，所以，
解得，
此时
，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以在时，取得极小值，也是的最小值，
所以污染源的污染强度的值为．
故答案为：
16．
【分析】设，利用锐角三角函数表示出，再利用辅助角公式求解即得；求出的面积函数式，利用导数求出最大值即得.
【详解】依题意，设，则，
因此的周长，
显然，于是当，即时，取等号，
所以步行道长度的最大值是；
由于，得，
因此的面积，
令，求导得，
而，则当时，，函数递增，当时，，函数递减，
于是当，即时，，
所以花圃面积的最大值.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.
17．(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)，.
【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间；
（2）利用导数求出函数的单调区间，得到的最大值，通过构造函数根据单调性比较与的大小.
【详解】（1）当时，则，
令得，令得，
∴在上单调递增，在上单调递减；
（2），
令得，令得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值，
∵，，
构造函数，，
令得，令得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，即，
∴，
∴.
18．(1)
(2)（i）答案见解析；（ii）.
【分析】（1）根据奇函数的定义, 求出 的值, 然后利用导数求切线方程.
（2）( i )对 进行求导, 将 既存在极大值, 又存在极小值转化成 必有两个不等的实数根, 利用导数得到 的单调性和极值, 进而即可求解;
(ii) 对 进行求导, 利用导数分析 的极值, 将 恒成立转化成 , 构造函数, 利用导数分类讨论求解即可.
【详解】（1）为奇函数，有，则，经检验知满足题意，
所以所以，，
所以在点处的切线方程为.
（2）（i），
因为函数既存在极大值，又存在极小值，
则必有两个不等的实根，则，
令可得或，
所以，解得且.
当时，.则有：
极大值，极小值
当时，.则有：
极大值，极小值.
（ii）由，所以，
由题意可得对恒成立，
即
令，其中，
令，则
①当，即时，在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
②当，即或时，
设方程的两根分别为且，
当时，则，
则在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
当时，则，
则，则当时，，
则在上单调递减，，即不合题意.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究曲线的切线、极值与最值等知识与方法，其中第 (2) 问的 (ii ) 小问, 关键是将 恒成立转化成 , 构造函数,利用导数分类讨论求解即可, 属于难题.
19．(1)
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【分析】（1）构造函数，利用导数考查其单调性，继而可求得的范围，证明即可；
（2）考查函数在上的单调性，可判定存在，，为函数的零点，结合函数的单调性可得，继而进行计算即可；
（3）不等式可化为，构造函数，考查单调性，继而可证明；
【详解】（1）根据题意可知，
不等式在上恒成立，
设，
则，，
设，
则，，
则，
若，存在区间，使在区间上单调递减；
则，则在区间上单调递减，
则，不满足题意，
故，即.
下证明：当时，不等式成立，
因为，
，
设，
则，
设，
则，
所以在上单调递增，
则，
则成立，
故在上单调递增，
则，
所以恒成立，得证，
综上知，.
（2）当时，
，设，
则，
则函数单调递增，
，
单调递增，
，，
在上单调递减，上单调递增，
又，，
，，
，.
由于，，，
，
由于在上单调递增，
.
累加得.
（3）要证
即证.
即证.
，设
，时，在上单调递增，
即在上单调递增，
设，
，
由于在上单调递增，
，，在单调递增.
又，
时
因此恒成立，
原不等式恒成立，得证.
【点睛】关键点点睛：证明本题的关键是构造函数：第一问构造函数：；第三问构造函数，能通过题意，构造新的函数，通过新函数的单调性是解决本题的关键.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题设用表示出、、，应用倍角余弦公式、换元法及二次函数性质求参观路线的最大长度对应的取值；
（2）利用扇形、三角形面积公式用表示出扇形、、的面积，再应用导数求种植总面积最大对应的取值.
【详解】（1）解：如下图，连接，则，
在中，，即，
同理可得，且，
所以参观路线的长度，
令，即.
当时取得最大值，此时，即时，参观路线最长.
（2）解：由题知：扇形的面积，
的面积，
的面积，
所以杜鹃花的种植总面积，
，
令得或（舍），因为，所以，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以时，杜鹃花的种植总面积最大.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，求出塑胶跑道面积表达式，并确定定义域；
（2）根据已知条件写出运动场造价的表达式，判断函数的单调性，求最小值即可.
【详解】（1）塑胶跑道面积
因为所以，故定义域为
（2）设运动场造价为元；
，令，
，当时，解得，
所以在上恒成立，所以在上为减函数，
所以函数在上为减函数，因为，
所以当时，运动场造价最低为626510元.
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极小值
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