2023-2024学年江苏省无锡市江阴市科创实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市江阴市科创实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 2x+y=3B. 2x3−x=1C. y+1x=5D. 3x−x2=6
2.一元二次方程x2+4x−2=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
3.一元二次方程x2−4x−1=0配方后可化为( )
A. (x+2)2=3B. (x+2)2=5C. (x−2)2=3D. (x−2)2=5
4.某县2017年的GDP是250亿元，要使2019年的GDP达到360亿元，求这两年该县GDP年平均增长率．设年平均增长率为x，可列方程( )
A. 250(1+2x)2=360B. 250(1+2x)=360
C. 250(1+x)(1+2x)=360D. 250(1+x)2=360
5.下列四组线段中，是成比例线段的一组是( )
A. 3，4，6，7B. 5，6，7，8
C. 2，4，6，8D. 8，10，12，15
6.如图，在△ABC中，DE/​/BC，ADBD=13，则下列结论中正确的是( )
A. AEAC=13
B. DEBC=13
C. △ADE的周长△ABC的周长=13
D. S△ADES△ABC=116
7.如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，单独添加下列条件，不能使△ADE∽△ACB的是( )
A. ∠1=∠C
B. ∠2=∠B
C. ADAC=AEAB
D. ADAB=DEBC
8.下列语句中不正确的有( )
①长度相等的弧是等弧
②垂直于弦的直径平分弦
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
⑤半圆是圆中最长的弧
⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
9.在Rt△ABC中，∠B为直角，∠A的平分线为AD交BC于点D，BC边的中点为E，且BD：DE：EC=1：2：3，则sin∠BAC=( )
A. 2 65B. 4 39C. 2+ 34D. 1213
10.如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF.有下列四个结论：①∠CAF=∠DAE；②FC= 2DE；③当∠AEC=135°时，E为△AEC的外心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等.其中正确的结论为( )
A. ①②B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.计算cs60°=______．
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3，则csA= ______．
13.请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比1小，比−1大，则你构造的一元二次方程是______．
14.顶角为120°的等腰三角形腰长为4cm，则它的外接圆的直径______cm．
15.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺(10寸)，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为______寸.
16.已知s满足2s2−3s−1=0，t满足2t2−3t−1=0，且s≠t，则s+t= ______．
17.在半径为2的⊙O中，弦AB的长度2，点C为⊙O上异于A、B两点的一个动点，则∠BCA= ______°.
18.如图，半圆中AC为直径，AC=20，AB=16，D在半圆上，DB=12BC，则CD= ______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：
(1)(x−2)2=4；
(2)x2−4x−1=0．
20.(本小题8分)
计算：
(1)2cs30°⋅sin60°−tan45°⋅sin30°；
(2)2sin60°2−tan60∘+ cs230°−2cs30°+1．
21.(本小题10分)
求值：
(1)已知ba=34，求a−2ba+2b的值；
(2)已知a2=b4=c5，a+b+c=22，求3a−b+2c的值．
22.(本小题10分)
已知关于x的方程x2−2mx+m2−4=0．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1>x2，且x1=3x2，求m的值．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)、B(4,4)、C(6,2)．
(1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______；
(2)这个圆的半径为______；
(3)直接判断点D(5,−2)与⊙M的位置关系.点D(5,−2)在⊙M ______(填内、外、上)；
(4)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点.请你只用无刻度的直尺，分别画出图1和图2中∠P的平分线．
24.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．
(1)证明：△ABD∽△CBA；
(2)若AB=2 3，BC=6，求BD的长．
25.(本小题10分)
如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且sin∠ABC=45，BO=2OC．
(1)求⊙O的半径；
(2)求∠BAC的正切值．
26.(本小题10分)
如图，利用一面墙(墙长25米)，用总长度49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
(1)AB=______米(用含x的代数式表示)；
(2)若矩形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．
27.(本小题10分)
图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm．
(1)身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
(2)身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图3)，此时小若能被识别吗？请计算说明．
(精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36)
28.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，作∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，BM交AD于点N．
(1)求证：MF=NF；
(2)若AB=6，BC=10时，求MF的长；
(3)若NF=12(AN+FD)时，求ABBC的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该方程是二元一次方程，故本选项不合题意；
B.该方程是一元三次方程，故本选项不合题意；
C.该方程是二元一次方程分式方程，故本选项不合题意；
D.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
一元二次方程的定义，含有一个未知数，未知数的指数最高次是2的整式方程．
本题考查一元二次方程的判定，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：Δ=42−4×1×(−2)=24>0，
∴有两个不相等的实数根，
故选：A．
根据判别式的值确定根的情况即可．
本题主要考查判别式与根的关系，能够熟练计算判别式并判断根的情况是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：x2−4x−1=0，
x2−4x=1，
x2−4x+4=1+4，
(x−2)2=5，
故选：D．
移项，配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：2018年的GDP为250×(1+x)，
2019年的GDP为250×(1+x)(1+x)=250×(1+x)2，
即所列的方程为250(1+x)2=360，
故选：D．
2019年的GDP360=2017年的GDP250×(1+年平均增长率)2，把相关数值代入即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程；得到2019年GDP的等量关系是解决本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵3×7≠4×6，∴四条线段不成比例；
B、∵5×8≠6×7，∴四条线段不成比例；
C、∵2×8≠4×6，∴四条线段不成比例；
D、∵15×8=10×12，∴四条线段成比例；
故选：D．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
6.【答案】C
【解析】解：∵DE//BC,ADAB=13，
∴△ADE∽△ABC，
∵相似比为13，
∴AEEC=−12,DEBC=13，
故A、B错误；
∵相似三角形的周长之比等于相似比，
∴△ADE△ABC的周长3，
故C正确；
∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方，
∴△ADE△ABC的面积的面积=19，
故D错误．
故选：C．
根据相似三角形逐项判断即可．
本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边的比不要搞错．
7.【答案】D
【解析】解：A、∵∠1=∠C，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故A选项不符合题意；
B、∵∠2=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故B选项不符合题意；
C、∵ADAC=AEAB，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故C选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，ADAB=DEBC，
∴不能判定△ADE∽△ACB，
故D选项符合题意；
故选：D．
根据相似三角形的判定进行解答即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形判定方法是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：①能够互相重合的弧是等弧，故长度相等的弧是等弧不正确，本小题说法不正确；
②垂直于弦的直径平分弦，本小题说法正确；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故本小题说法不正确；
④平分弦(不是直径)的直径也必平分弦所对的两条弧，故本小题说法不正确；
⑤半圆不是圆中最长的弧，故本小题说法不正确；
⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，本小题说法正确；
故选：B．
根据等弧的概念、垂径定理、轴对称图形、确定圆的条件判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，掌握等弧的概念、垂径定理、轴对称图形、确定圆的条件是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∴∠DFC=90°，
∴∠C+∠FDC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠FDC，
∵BD：DE：EC=1：2：3，
∴设BD=a，则DE=2a，CE=3a，
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DF⊥AC，
∴BD=DF=a，
在Rt△DFC中，CD=DE+CE=5a，
∴CF= CD2−DF2= (5a)2−a2=2 6a，
∴sin∠FDC=CFCD=2 6a5a=2 65，
∴sin∠BAC=sin∠FDC=2 65，
故选：A．
过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据垂直定义可得∠DFC=90°，从而可得∠C+∠FDC=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余可得∠C+∠BAC=90°，从而可得∠BAC=∠FDC，然后根据已知可设BD=a，则DE=2a，CE=3a，再利用角平分线的性质可得BD=DF=a，从而在Rt△DFC中，利用勾股定理求出CF的长，最后利用锐角三角函数的定义求出sin∠FDC的值，即可解答．
本题考查了勾股定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=45°，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=∠DAC=45°，
∴∠EAF−∠CAE=∠DAC−∠CAE，
∴∠CAF=∠DAE，故①正确；
∵△DEF，△ADC是等腰直角三角形，
∴AC= 2AD，AF= 2AE，
∴AFAE=ACAD= 2，
∵∠CAF=∠DAE，
∴△CAF∽△DAE，
∴FCDE=ACAD= 2，
∴FC= 2DE，故②正确；
∵△CAF∽△DAE，
∴∠ACF=∠ADE=45°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
在△ADE和△CDE中，
AD=CD∠ADE=∠CDEDE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠AEC=135°，
∴∠EAC=∠ECA=22.5°，
∵∠DAC=∠DCA=45°=2∠EAC=2∠ECA，
∴CE，AE分别平分∠DCA，∠CAD，
∵∠ADE=∠CDE=45°，
∴DE平分∠ADC，
∴点E是△ADC角平分线的交点，
∴E为△ADC的内心，故③错误；
如图，连接BD交AC于点O，
∵∠ADE=∠CDE=45°，
当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，
∴点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC，
∵BC=CD= 2OD，且点F与点E的运动时间相同，
∴vF= 2vE，
∴点F与点E的运动速度不相同，故④错误．
综上所述：正确的结论是①②，共2个．
故选：A．
根据等腰直角三角形的性质可以判断①；根据△DEF，△ADC是等腰直角三角形，可得AC= 2AD，AF= 2AE，所以AFAE=ACAD= 2，因为∠CAF=∠DAE，所以△CAF∽△DAE，进而可以判断②；证明△ADE≌△CDE(SAS)，进而可得∠EAC=∠ECA=22.5°，可得CE，AE分别平分∠DCA，∠CAD，DE平分∠ADC，得点E是△ADC角平分线的交点，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC，BC=CD= 2OD，且点F与点E的运动时间相同，进而可以判断④．
本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，勾股定理，点的运动轨迹，解决本题的关键是确定点E的运动轨迹．
11.【答案】12
【解析】解：cs60°=12．
故答案为: 12 ．
根据cs60°=12即可得出答案．
本题考查了特殊角的三角函数值．
12.【答案】3 1010
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，得
AB为斜边．
由tanA=BCAC=3，得
BC=3AC．
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得
AB= AC2+BC2= 10AC．
csB=BCAB=3AC 10AC=3 1010，
故答案为：3 1010．
根据正切函数，可用AC表示BC，根据勾股定理，可得AC表示AB，再根据余弦定理，可得答案．
本题考查了互为余角三角函数关系，利用正切函数、勾股定理得出AC表示BC，AC表示AB是解题关键．
13.【答案】x(x−2)=0(答案不唯一)
【解析】解：∵一元二次方程的一个根为2，另一根比1小，比−1大，
∴当另一根为0时，该一元二次方程为x(x−2)=0．
故答案为：x(x−2)=0(答案不唯一)．
取方程的另一根为0，利用一元二次方程的解可构造出一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：如图；△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC=4cm；
易知∠OCA=12∠ACB=60°；
又∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形；
∴OA=OC=AC=4cm；
故等腰三角形的外接圆直径是8cm．
由于等腰三角形的顶角为120°，则每条腰都与三角形外接圆的半径构成一个等边三角形，由此可求出其外接圆的半径和直径．
此题主要考查了等腰三角形的性质，以及三角形外接圆半径的求法．
15.【答案】26
【解析】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：
由题意知：CE过点O，且OC⊥AB，
则AD=BD=12AB=5，
设圆形木材半径为r寸，
则OD=(r−1)寸，OA=r寸，
∵OA2=OD2+AD2，
∴r2=(r−1)2+52，
解得：r=13，
即⊙O的半径为13寸，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，AD=BD=5，设圆形木材半径为r，可知OD=(r−1)寸，OA=r寸，根据OA2=OD2+AD2列方程求解可得．
本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
16.【答案】32
【解析】解：∵实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，
∴实数s、t是关于x的方程2x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，
∴s+t=32．
故答案为：32．
由题意可知实数s、t是关于x的方程2x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，由此可得答案．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到s+t=32,st=−12是解题的关键．
17.【答案】30或150
【解析】解：如图：
由题意得：AB=OA=OB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
分两种情况：
当点C在优弧ADB上时，∠ACB=12∠AOB=30°；
当点C在劣弧AB上时，
∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，
∴∠AC′B+∠ACB=180°，
∴∠AC′B=180°−∠ACB=150°；
综上所述：∠BCA=30°或150°，
故答案为：30或150．
根据题意可得：AB=OA=OB=2，从而可得△AOB是等边三角形，进而可得∠AOB=60°，然后分两种情况：当点C在优弧ADB上时；当点C在劣弧AB上时；最后分别进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，分两种情况讨论是解题的关键．
18.【答案】2 10或26 105
【解析】解：由于D在半圆上，DB=12BC，
如图1，当点D是BC的中点时，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，
在Rt△ABC中，AB=16，AC=20，
∴BC= AC2−AB2=12，
∴CE=BE=12BC=6，
Rt△COE中，OC=12AC=10，EC=6，
∴OE= OC2−EC2=8，
在Rt△CDE中，CE=6，DE=10−8=2，
∴CD= EC2+DE2=2 10；
如图2，当点D在AB上时，取BC的中点F，连接DB、BF、FC，过点BF分别作BM⊥CD，FN⊥CD，垂足分别为M、N，
∵BD=BF=FC，
∴∠FBC=∠BCD，DB=BF=FC，
∴BF//CD，
∴四边形CDBF是等腰梯形，
∴DM=CN，MN=BF=2 10，
∵∠BAC=∠FCN，∠ABC=∠FNC=90°，
∴△ABC∽△CNF，
∴ACFC=ABCN，即202 10=16CN，
解得CN=8 105，
∴CD=2CN+MN=26 105，
综上所述CD=2 10或CD=26 105．
故答案为：2 10或26 105．
分两种情况，即点D在BC和点D在AB上，利用圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
本题考查圆周角定理、垂径定理以及解直角三角形，掌握圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
19.【答案】解：(1)(x−2)2=4，
x−2=±2，
∴x1=4，x2=0；
(2)x2−4x−1=0，
x2−4x=1，
x2−4x+4=1+4，
(x−2)2=5，
x−2=± 5，
∴x1=2+ 5，x2=2− 5．
【解析】(1)方程利用直接开方法法求解即可；
(2)根据配方法的一般步骤先把常数项−1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的平方，即可得出答案．
此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
20.【答案】解：(1)原式=2× 32× 32−1×12
=32−12
=1；
(2)原式=2× 322− 3+ (cs30°−1)2
=2× 322− 3+ ( 32−1)2
= 32− 3+| 32−1|
= 3(2+ 3)+1− 32
=2 3+3+1− 32
=3 32+4．
【解析】(1)先根据特殊角的三角函数值得到原式=2× 32× 32−1×12，然后进行二次根式的混合运算；
(2)先根据特殊角的三角函数值得到原式原式==2× 322− 3+ ( 32−1)2，再进行分母有理化，再利用二次根式的性质化简，然后合并即可．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)设a=4k，b=3k，
则a−2ba+2b=4k−2×3k4k+2×3k=−2k10k=−15；
(2)设a2=b4=c5=k，
则a=2k，b=4k，c=5k，
∵a+b+c=22，
∴2k+4k+5k=22，
解得：k=2，
∴a=4，b=8，c=10，
∴3a−b+2c=3×4−8+2×10=24．
【解析】(1)设a=4k，b=3k，代入a−2ba+2b即可求出答案；
(2)设a2=b4=c5=k，根据比例的性质得出a=2k，b=4k，c=5k，代入a+b+c=22得出2k+4k+5k=22，求出k，求出a、b、c，再代入3a−b+2c求出即可．
本题考查了求代数式的值和比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果ab=cd，那么ad=bc．
22.【答案】(1)证明：根据题意得：
Δ=(−2m)2−4(m2−4)
=4m2−4m2+16
=16>0，
∴此方程有两个不等的实数根，
(2)解：方程的两个根分别为x1，x2，其中x1>x2，若x1=3x2，
由(1)知，Δ=16，
∴x=2m±42=m±2，
∴x1=m+2，x2=m−2，
m+2=3(m−2)，
解得：m=4，
即m的值为4．
【解析】(1)根据一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac，求出此方程的判别式得：Δ>0，即可得到答案，
(2)利用公式法求得方程的两个根，利用“方程的两个根分别为x1，x2，其中x1>x2，若x1=3x2”，得到关于m的一元一次方程，解之即可
本题考查了根与系数的关系和根的判别式，解题的关键：(1)正确掌握一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac，(2)正确找出等量关系，列出一元一次方程．
23.【答案】(2,0) 2 5 内
【解析】解：(1)∵A(0,4)、B(4,4)，
∴AB的垂直平分线所在直线为x=2，
∴圆心M在直线x=2上，
设M(2,m)，
∴MA=MC，
∴4+(m−4)2=16+(m−2)2，
解得m=0，
∴M(2,0)，
故答案为：(2,0)；
(2)∵M(2,0)，
∴MA=2 5，
故答案为：2 5；
(3)∵D(5,−2)，M(2,0)，
∴MD= 13