2023-2024学年江苏省扬州中学高三（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州中学高三（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|x2−3x−4<0}，N={x|y=ln(x−1)}，则M∩N=( )
A. (1,4)B. [1,4)C. (−1,4)D. [−1,4)
2.已知等差数列{an}，则k=2是a1+a11=ak+a10成立的条件．( )
A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
3.已知向量a=(3,5)，b=(m−1,2m+1)，若a/​/b，则m=( )
A. −8B. 8C. −213D. −87
4.星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕佮斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式m2−m1=−2.5lgE2E1(E1>0,E2>0)，则( )
A. 3等星的亮度是0.5等星亮度的 10倍B. 0.5等星的亮度是3等星亮度的 10倍
C. 3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍D. 0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍
5.已知α∈(0,π)，若sin(α−π6)= 33，则sin(2α+π6)=( )
A. −13B. 23C. 13D. ±13
6.已知某圆台的体积为21π，其上、下底面圆的面积之比为1：4且周长之和为6π，则该圆台的高为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.已知一次函数y=f(x)在坐标轴上的截距相等且不为零，其图象经过点P(1,−2)，令an=f(n)f(n+1)，n∈N*，记数列{1an}的前n项和为Sn，当Sn=511时，n的值等于( )
A. 19B. 20C. 21D. 22
8.已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且|FA|=2|FB|，FA⋅FB=3a2，则C的离心率是( )
A. 52B. 72C. 142D. 262
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2，则下列结论中正确的是( )
A. 若z1z2∈R，则z2=z1−B. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
C. 若z1z2=z1z3且z1≠0，则z2=z3D. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0
10.已知A，B是随机事件，若P(A+B)=1且P(AB−)=P(A−B)=14，则( )
A. P(A)=P(B)B. A，B相互独立C. P(A)=34D. P(B|A)=23
11.已知函数f(x)的定义域为R，函数f(x2+x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=f(x2−14)，则必有( )
A. g(12)=0B. f(2)=0
C. f(4)=0D. g(x+1)=−g(x)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(x−1 x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为 ．
13.在△ABC中，E为AC的中点，D是线段BE上的动点，若AD=xAB+yAC，则
的最小值为______．
14.已知实数λ，k分别满足λeλ=e2，k(lnk−1)=e3，其中e是自然对数的底数，则λk= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且c(acsB−bsinA)=a2−b2．
(1)求A；
(2)若a=2，△ABC的面积为2，求b+c．
16.(本小题15分)
如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，其中AD//BC，AA1=BC=4，AB=AD=2，MB1=3MB，N为DD1中点．
(1)若平面CMN交侧棱AA1于点P，求证：MC//PN，并求出AP的长度；
(2)求平面CMN与底面ABCD所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，抛物线C2：y2=4x在第一象限与椭圆C1交于点A，点F为抛物线C2的焦点，且满足|AF|=53．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线x=my+1与椭圆C1交于P，Q两点，过P，Q分别作直线l：x=t(t>2)的垂线，垂足为M、N，l与x轴的交点为T.若△PMT、△PQT、△QNT的面积成等差数列，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
某城市的青少年网络协会为了调查该城市中学生的手机成瘾情况，对该城市中学生中随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题．
问题1：你的学号是不是奇数？
问题2：你是否沉迷手机？
调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取1个球(摸出的球再放问袋中)，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，问答“否”的人什么都不要做.由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．
(1)如果在200名学生中，共有80名回答了“是”，请你估计该城市沉迷手机的中学生所占的百分比．
(2)某学生进入高中后沉迷手机，学习成绩一落千丈，经过班主任老师和家长的劝说后，该学生开始不玩手机.已知该学生第一天没有玩手机，若该学生前一天没有玩手机，后面天继续不玩手机的概率是0.8；若该学生前一天玩手机，后面一天继续玩手机的概率是0.5．
(i)求该学生第三天不玩手机的概率P；
(ii)设该学生第n天不玩手机的概率为Pn，求Pn．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(lnx)2−a(x−1)2，a∈R．
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；
(2)若x=1是f(x)的极小值点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：M={x|x2−3x−4<0}={x|−11}，
故M∩N=(1,4)．
故选：A．
先求出集合M，N，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：等差数列{an}，
当公差d=0时，k可取任意值，
当公差d≠0时，由等差数列通项公式得a1+a11=a2+a10，
则k=2⇔a1+a11=ak+a10，
∴k=2是a1+a11=ak+a10成立的充分不必要条件．
故选：B．
当公差d=0时，k可取任意值，当公差d≠0时，由等差数列通项公式得a1+a11=a2+a10，从而得到k=2是a1+a11=ak+a10成立的充要条件．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为向量a=(3,5)，b=(m−1,2m+1)，a/​/b，
所以3(2m+1)=5(m−1)，所以m=−8．
故选：A．
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：当m2=3，m1=0.5时，3−0.5=−2.5lgE2E1，则E2E1=110，
则E1=10E2，所以0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍．
故选：D．
由已知结合对数的运算性质即可求解．
本题考查对数运算的实际应用，考查应用意识与逻辑推理的核心素养．
5.【答案】C
【解析】解：因为sin(α−π6)= 33，
所以sin(2α+π6)=sin(π2+2α−π3)=cs(2α−π3)=1−2sin2(α−π6)=1−23=13．
故选：C．
根据诱导公式及二倍角余弦公式求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，设上、下底面圆的半径分别为r，R，圆台的高为h，
则由题意可得πr2πR2=142π(r+R)=6π，解得r=1R=2，
则V=13πh(12+1×2+22)=21π，解得h=9．
故选：D．
根据题意，设上、下底面圆的半径分别为r，R，圆台的高为h，根据上、下底面圆的面积比、周长比求出r，R，再由圆台的体积可得答案．
本题考查圆台的体积计算，涉及圆台的结构特征，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由一次函数y=f(x)在坐标轴上的截距相等且不为零，可设x+y=a(a≠0)，
又因为其图象经过点P(1,−2)，则1+(−2)=a，解得a=−1，
所以x+y=−1，即f(x)=−x−1，
可得an=f(n)f(n+1)=(n+1)(n+2)，则1an=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
则Sn=12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2，
Sn=12−1n+2=511，解得n=20．
故选：B．
根据题意求得f(x)=−x−1，进而可得1an=1n+1−1n+2，利用裂项相消法求Sn，即可得结果．
本题考查了裂项相消求和，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设双曲线的另一焦点为F1，
根据双曲线的对称性以及A，B关于原点对称，可得F1A//BF，且|F1A|=|BF|，
即|FA|=2|FB|=2|F1A|，
又|FA|−|F1A|=2a，
可得|FA|=4a，|F1A|=2a，
所以FA⋅FB=4a×2a×cs∠BFA=3a2，
可得cs∠BFA=38=−cs∠FAF1=−(4a)2+(2a)2−(2c)22×4a×2a，可得13a2=2c2，
故离心率e=ca= 132= 262．
故选：D．
根据双曲线的对称性以及A，B关于原点对称，可得F1A//BF，且|F1A|=|BF|，求出|FA|=4a，|F1A|=2a，再结合余弦定理即可求解结论．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化思想和计算能力，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A，若z1z2∈R，例如：z1=1，z2=2，则z2≠z1−，故A错误；
对于B，令z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|=1，z12=1，z22=−1，此时z12≠z22，B错误；
对于C，由z1z2=z1z3，则z1(z2−z3)=0，∵z1≠0，∴z2=z3，故C正确；
对于D，若z1z2=0，则|z1z2|=|z1||z2|=0，所以|z1|=0或|z2|=0至少有一个成立，即z1=0或z2=0，故D正确．
故选：CD．
根据复数的特征、几何意义以及复数运算判断各选项即可．
本题主要考查复数的特征、几何意义以及复数运算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：A，B是随机事件，P(A+B)=1且P(AB−)=P(A−B)=14，
对于A，∵P(A)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)，
P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)，
P(AB)=P(AB)，
∴P(A)=P(B)，故A正确；
对于BC，∵P(A+B)=P(AB+AB+AB)=P(AB)+P(AB−)+P(AB−)=P(AB)+12=1，
∴P(AB)=12,P(A)=P(B)=P(AB)+P(AB−)=34，
P(AB)≠P(A)P(B)，故B错误，C正确；
对于D，P(B|A)=P(AB)P(A)=23，故D正确．
故选：ACD．
P(A)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)，P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)，由P(AB)=P(AB)，得P(A)=P(B)，可判断A；由P(A+B)=P(AB+AB+AB)=P(AB)+P(AB−)+P(AB−)=P(AB)+12=1，得P(AB)=12,P(A)=P(B)=P(AB)+P(AB−)=34，从而P(AB)≠P(A)P(B)，可判断BC；利用条件概率公式判断D．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，函数f(x)的定义域为R，函数f(x2+x)是定义在R上的奇函数，
则有f(x2+x)=−f(x2−x)，
又由g(x)=f(x2−14)，则g(x+12)=−g(x−12)，且g(−x)=g(x)，
令x=0，可得g(12)=−g(−12)，同时有g(12)=g(−12)，
故g(12)=0，A正确；
由g(x+12)=−g(x−12)，变形可得g(x+1)=−g(x)，D正确；
g(x)=f(x2−14)，令x=32可得：g(32)=f(94−14)=f(2)，
又由g(32)=−g(12)=0，故f(2)=0，B正确；
取f(x)=cs( |x+14|π)，
有f(x2+x)=cs( |x2+x+14|π)=cs(πx+π2)=−sinπx，
满足f(x2+x)是定义在R上的奇函数，但f(4)=cs 17π2≠0，C错误．
故选：ABD．
根据题意，由奇函数的性质可得f(x2+x)=−f(x2−x)，进而可得g(x+12)=−g(x−12)，且g(−x)=g(x)，利用特殊值分析A、B、D正确，举出反例可得C错误，综合可得答案．
本题考查抽查函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性，属于中档题．
12.【答案】70
【解析】解：由只有第5项的二项式系数最大可得：n=8，
∴通项公式Tr+1=C8rx8−r(−1 x)r=(−1)rC8rx8−32r，
令8−32r=2，解得r=4，
∴展开式中含x2项的系数为(−1)4C84=70．
故答案为：70．
先由二项式系数最大确定n，再由通项公式求含x2项的系数即可．
本题主要考查了二项式系数的性质，属于基础题．
13.【答案】9
【解析】解：因为E为AC的中点，D是线段BE上的动点，
AD=xAB+yAC=xAB+2yAE，
由B，E，D三点共线可得x+2y=1，x>0，y>0，
则==5+=9，
已经修改，谢谢当且仅当x=y=时取等号．
故答案为：9．
由已知结合向量共线定理可求得x+2y=1，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了向量共线定理及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14.【答案】e3
【解析】解：λeλ=e2，两边取对数得，ln(λeλ)=lne2，
∴lnλ+λ=2，即2−λ−lnλ=0，
k(lnk−1)=e3，两边取对数得，ln[k(lnk−1)]=lne3，
∴lnk+ln(lnk−1)=3，
∴2−(lnk−1)−ln(lnk−1)=0，
设f(x)=2−x−lnx，x∈(0,+∞)，
则f(λ)=f(lnk−1)=0，
∵f′(x)=−1−1x<0恒成立，
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，
∴λ=lnk−1，
即λ+1=lnk，
∵2−λ=lnλ，
∴λ+1+2−λ=lnk+lnλ=ln(kλ)=3，
∴kλ=e3．
故答案为：e3．
对已知的两个式子两边取对数，结合对数的运算性质可得2−λ−lnλ=0，2−(lnk−1)−ln(lnk−1)=0，设f(x)=2−x−lnx，x∈(0,+∞)，求导可知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以λ=lnk−1，再结合2−λ=lnλ求解即可．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由余弦定理及c(acsB−bsinA)=a2−b2，得c(a⋅a2+c2−b22ac−bsinA)=a2−b2，
整理得sinA=b2+c2−a22bc=csA，
因为A∈(0,π)，
所以sinA>0，
所以csA>0，
所以tanA=1，即A=π4．
(2)因为a=2，A=π4，△ABC的面积为2=12bcsinA= 24bc，
所以bc=4 2，
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA，
所以4=b2+c2− 2bc=(b+c)2−2bc− 2bc=(b+c)2−8 2−8，
所以(b+c)2=12+8 2，解得b+c=2 2+2．
【解析】(1)由余弦定理化角为边，再结合余弦定理与同角三角函数的商数关系，得解；
(2)利用三角形的面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理即可求解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形面积公式，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)证明：直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，
AD//BC，AA1=BC=4，AB=AD=2，MB1=3MB，N为DD1中点，
∵AD/​/BC，AD⊄面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD/​/面BCC1B1，
∵AA1/​/BB1，AA1⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴AA1/​/面BCC1B1，
∵AD∩AA1=A，AD，AA1⊂面ADD1A1，∴平面ADD1A1/​/平面BCC1B1，

∵平面CMN交侧棱AA1于点P，N为DD1中点，∴P，N∈面ADD1A1，
∴面CMN∩面ADD1A1=PN，∵面CMN∩面BCC1B1=MC，∴MC//PN．
过N作NE//AD//BC，则E为AA1的中点，
由题意知△BCM～△ENP，即ENBC=EPBM，∴24=EP1，∴EP=12，
∴AP=AE+EP=52．
(2)将PM，AB延长交于F，连接FC，AC，则平面CMN∩底面ABCD=FC，
由AD//BC，AA1=BC=4，AB=AD=2，
故在等腰梯形ABCD中∠BAD=∠CDA=120°，且∠CAD=30°，
所以∠BAC=90°，且AC=2 3，
由Rt△FBM～Rt△FAP，则FBFN=FBFB+AB=BMAP=25，∴FB=43，∴AF=103，
在Rt△FAC中tan∠AFC=ACAF=3 35，则sin∠AFC=3 32 13，
过A作AG⊥FC于G，则AG=AFsin∠AFC=103×3 32 13=5 3 13，
连接PG，又PA⊥面ABCD，FC⊂面ABCD，则PA⊥FC，
AG∩PA=A，AG，PA⊂面PAG，则FC⊥面PAG，PG⊂面PAG，
所以PG⊥FC，AG⊂面ABCD，故∠PGA为平面CMN与底面ABCD所成角平面角，
所以tan∠PGA=APAG=52× 135 3= 132 3，则cs∠PGA=2 3 12+13=2 35．
综上，平面CMN与底面ABCD所成角的余弦值为2 35．
【解析】(1)由AD//BC，得AD/​/面BCC1B1，由AA1/​/BB1，得AA1/​/面BCC1B1，从而面ADD1A1/​/面BCC1B1，由此能证明MC//PN.过N作NE//AD//BC，则E为AA1的中点，推导出△BCM～△ENP，由此能求出结果．
(2)将PM，AB延长交于F，连接FC，AC，由Rt△FBM～Rt△FAP，求出FB=43，AF=103，过A作AG⊥FC于G，连接PG，推导出∠PGA为平面CMN与底面ABCD所成角平面角，由此能求出平面CMN与底面ABCD所成角的余弦值．
本题考查线线平行的证明，线段长、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)由题意，|AF|=xM+1=53，则点A(23,2 63) 在椭圆上，
得49a2+83b2=1①，e2=a2−b2a2=14，即3a2=4b2 ②，
联立①②，解得a2=4，b2=3，
∴椭圆C1的方程为x24+y23=1．
(2)依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x=my+1．
联立x24+y23=1x=my+1，消去x：(3m2+4)y2+6my−9=0．
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则有Δ>0，且y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4．
设△PMT，△PQT，△QNT的面积分别为S1，S2，S3，
∵S1，S2，S3成等差数列，∴2S2=S1+S3，即3S2=S1+S2+S3，
则3×12(t−1)×|y1−y2|=12[(t−x1)+(t−x2)]×|y1−y2|；
即3(t−1)=2t−(x1+x2)，得t=3−(x1+x2)，
又x1=my1+1，x2=my2+2，
于是，t=3−(my1+my2+2)=1−m(y1+y2)，
∴t=1+6m23m2+4>2，解得m2>43，即m>2 33或m<−2 33．
所以实数m的取值范围为{m|m>2 33或m<−2 33}.
【解析】(1)由题意，|AF|=xM+1=53，则点A(23,2 63) 在椭圆上，代入椭圆方程可得49a2+83b2=1，根据离心率可得3a2=4b2，解方程组即可求出a2=4，b2=3，即可求出椭圆的方程；
(2)联立直线l与椭圆方程，消元，利用韦达定理求出y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4.根据△PMT、△PQT、△QNT的面积成等差数列，可得
3×12(t−1)×|y1−y2|=12[(t−x1)+(t−x2)]×|y1−y2|，即3(t−1)=2t−(x1+x2)，化简可得t=1+6m23m2+4>2，解此不等式即可求出结果．
本题考查椭圆的定义和方程，直线与椭圆的位置关系，属中档题．
18.【答案】解：(1)设“回答问题1”记为事件A1，“回答问题2”记为事件A2，回答“是”记为事件B，则P(A1)=P(A2)=12,P(B∣A1)=12,P(B)=25，
因为P(B)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)，
所以P(B∣A2)=310，
即该城市沉迷手机的中学生所占30%；
(2)(i)P=0.8×0.8+(1−0.8)×0.5=0.74，
(ii)由题意知P1=1，第n−1天不玩手机的概率是Pn−1，第n−1天玩手机的概率是1−Pn−1，
所以Pn=45Pn−1+12(1−Pn−1)(n≥2)，即Pn=310Pn−1+12(n≥2)，
所以Pn−57=310(Pn−1−57)(n≥2)，
所以数列{Pn−57}是以P1−57=27为首项，310为公比的等比数列，
所以Pn=27(310)n−1+57．
【解析】(1)“回答问题1”记为事件A1，“回答问题2”记为事件A2，回答“是”记为事件B，则P(A1)=P(A2)=12,P(B∣A1)=12,P(B)=25，由P(B)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)即可求解；
(2)(i)直接可计算；
(ii)由题找到Pn和Pn−1的关系，再利用数列的知识即可求解．
本题考查了条件概率的计算，数列与概率的综合运用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当a=1时，f′(x)=2lnxx−2(x−1)=2x(lnx−x2+x)，
设g(x)=lnx−x2+x，则g′(x)=1x−2x+1=−(2x+1)(x−1)x，
所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x=1时，g(x)取得极大值g(1)=0，所以g(x)≤g(1)=0，
所以f′(x)≤0，f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(2)f′(x)=2lnxx−2a(x−1)=2x(lnx−ax2+ax)，
设h(x)=lnx−ax2+ax，则h′(x)=1x−2ax+a=−2ax2+ax+1x，
(i)当a<0时，二次函数F(x)=−2ax2+ax+1开口向上，对称轴为x=14,Δ=a2+8a，
当−8≤a<0时，Δ=a2+8a≤0，F(x)≥0，h(x)单调递增，
因为h(1)=0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以x=1是f(x)的极小值点．
当a<−8时，Δ=a2+8a>0，又F(14)<0,F(1)=1−a>0，
所以存在x0∈(14,1)，使得F(x0)=0，所以当x∈(x0,+∞)时，F(x)>0，h(x)单调递增，
又h(1)=0，所以当x∈(x0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以x=1是f(x)的极小值点；
(ii)当a=0时，f′(x)=2lnxx，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以x=1是f(x)的极小值点；
(iii)当00，
此时F(1)=1−a>0，故∃x0∈(1,+∞)，使F(x0)=0，
当x∈(14,x0)时，F(x)>0，h′(x)>0，因此h(x)在(14,x0)上单调递增，
又h(1)=0，当x∈(14,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1,x0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以x=1为f(x)的极小值点；
(iv)当a>1时，F(1)=1−a<0,∃x0∈(14,1)，使F(x0)=0，
当x∈(x0,+∞)时，F(x)<0，h′(x)<0，因此h(x)在(x0,+∞)上单调递减，
又h(1)=0，当x∈(x0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x=1为f(x)的极大值点；
(v)当a=1时，由(1)知x=1非极小值点．
综上所述，a∈(−∞,1)．
【解析】(1)求导，构造函数g(x)=lnx−x2+x，利用导数求解单调性即可求解，
(2)求导，结合分类讨论求解函数的单调性，即可结合极值点的定义求解．
本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性．