中考数学复习指导：解等腰三角形问题时常用的辅助线

这是一份中考数学复习指导：解等腰三角形问题时常用的辅助线，共4页。试卷主要包含了作腰或底的平行线，作以底或腰为边的等边三角形等内容，欢迎下载使用。

一、作底边上的中线或高或顶角的平分线
例1 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D是BC的中点，点E,F分别在AB.AC上，且AE＝CF．求证：△DEF是等腰直角三角形．
分析 由点D是等腰三角形底边BC的中点，容易联想作底边上的中线，利用等腰三角形的“三线合一”的性质证明．
证明 如图1，连接AD．
∵AB＝AC，∠A＝900，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∠BAD＝∠CAD＝∠A＝45°．
∴∠EAD＝∠C，∠CAD＝∠C．
∴AD＝CD．
又AE＝CF，
∴△AED≌△CFD，
∴DE＝DF，∠1＝∠2．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠2＋∠3＝90°．
∴∠1＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°．
∴△DEF是等腰直角三角形．
二、作腰或底的平行线
例2 如图2，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于点E，判断△ADE的形状，并证明你的结论．
分析 猜想△ADE是等边三角形．由∠CDE＋∠ADE＝∠ADC
＝∠BAD＋∠B可得∠CDE＝∠BAD．要证DE＝AD，可先证DE所
在的△DEC与AD所在的△ABD全等，而由已知可知，∠DCE＝120°，
∠ADB<120°，显然两个三角形不全等，而且△ABD比△DEC大，
所以可以尝试在大△ABD中截出一个三角形和△DEC全等．过点D
作DG∥AC，则可达到目的．
解 △ADE是等边三角形．如图2，过点D作DG∥AC交AB于点G，则
∠BGD＝∠BAC．∠BDG＝∠BCA．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC．
∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．
∴∠BCD＝∠BDG＝60°，∴BG＝BD．
∴△ADE是等边三角形．
三、作以底或腰为边的等边三角形
例3 如图3，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，点P为三角形内一点，且∠PCA＝∠PAB＝20°．求∠PBC的度数．
分析 由图中的40°＋20°＝60°，联想到等边三角形．
于是以某一边为边作等边三角形．

如图3，以等腰△CAP的底AP为边在点C一侧作等边△APD，连接CD，则
AP＝AD＝PD．∠DAP＝∠DPA＝60°
∴∠DAC=∠DPC＝180°－60°＝20°＝∠PAB．
注：例3还有以下作等边三角形的方法．
①以底BC为边在点A一侧作等边△BCD，连接AD；
②以腰AC为边在点B－侧作等边△ACD，连接BD．
以等腰三角形的底或腰为边作等边三角形是常用的辅助线，练习中的第3题也可以用这两种方法求解．
四、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转
例4 如图4，在△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC．求证：PC>PB．
分析 要证PC>PB，自然想到证∠PBC>∠PCB．但是“∠APB>
∠APC”这个条件用不上，所以将∠APB所在的△ABP绕点A逆时针
旋转，使AB与AC重合．
证明 设∠BAC＝n°．如图4，将△ABP绕点A逆时针旋转n°，
得△ACQ，连接PQ．则