中考数学复习指导：利用方程思想求解几何计算问题

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近年各地中考中的几何计算问题，融几何推理与代数运算于一体，赋予了几何图形丰富的动态背景（或点、线、面的运动元素，或图形的变换），融进了几何核心知识（全等、相似、锐角三角函数、勾股定理等）．而相似图形中边与边的比例关系式，锐角三角函数中边与角的关系表达式，面积与边的关系表达式，勾股定理中边与边之间的关系式，以及几何量之间存在的等量关系式等，都具备了方程的特性，它们是运用方程解决几何计算问题的基础．
试题 如图1，在矩形ABCD中，把∠B,∠D分别翻折，使点B,D恰好落在对角线AC上的点E.F处，折痕分别为CM,AN．
(1)求证：△ADN≌△CBM；
(2)请连结MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；
(3)点P,Q是矩形的边CD,AB上的两点，连结PQ,CQ,MN，如图2所示．若PQ＝CQ，PQ∥MN，且AB＝4 cm，BC＝3 cm，求PC的长度．
分析 本题第(3)问关于几何量的计算问题，包含两个对称翻折变换的模型，应充分借助图形翻折变换的背景挖掘翻折变换性质，根据解题需要，利用几何知识如全等、相似、锐角三角函数、勾股定理、面积的几何意义等建立已知与未知之间的边与边、边与角之间关系方程．要求PC，须先求出与之关联密切AM与BM(或CN与DN)，再过渡到相关的图形中求PC．因此，求解的思路应分两步，
第一步：求AM与BM(或CN与DN)．
评注 本解法的关键是，找到两个三角形相似的元素，和通过三角形相似转化建立边与边之间的比例关系式方程．
解法二 由矩形性质和翻折变换性质可知，
评注 本解法的关键是，将两个关联的直角三角形的锐角三角函数（即边与角的关系）转化为两个直角三角形边之间的比例关系．
解法三 如图3，设AC与MN的交点为O，EF＝x．
评注 本解法的关键是，并利用直线AC上相关线段间的和差关系建立方程，并求得AE(或CF)．这样，为在Rt△AEM中运用勾股定理建立方程求AM(或CN)创造了条件．
解法四 设BM＝x，则ME＝x，
评注 本解法关键是，利用两个关联三角形的面积之和是矩形面积一半的关系列方程．
解法五 由折叠可知，AN是∠DAC的角平分线，则．
设DN＝x，则CN＝4－x，
评注 本解法运用角平分线的性质巧妙地将关联的两个三角形的边联系起来，构造出线段之间的比例式方程．
解法六 如图3，设AC与MN的交点为O，EF＝x．
评注 本解法关键是，利用线段AC上存在的等量关系构造方程求出CF，再将两个有相等锐角的直角三角形边与角之间的关系转化为比例式，由此求出DN和CN．
第二步：求PC．
解法一 如图4，过点Q作QG⊥CD于点G．

评注 本解法关键是通过作等腰△PCQ底边上的高，利用等腰三角形和平行四边形性质，用代数式表示出几个有关联的线段，进而利用关联的等腰△PCQ的底PC和平行四边形PNMQ的底PN与CN之间存在的等量关系列方程．
解法二 如图4，过点Q作QG⊥CD于点G，设CG＝x，
评注 本解法关键是，通过几何图形的割补，并用未知量表示图中各部分面积，并建立起相关图形面积之间的等量关系，
解法三 如图4，过点Q作QG⊥CD于点G．
评注 通过(1)和(2)的推理计算可知，S梯形BCNM＝S矩形ABCD，由此建立关于图形中边与边之间的方程式．
由上可见，方程在解决几何计算问题的过程中，起着牵线搭桥、沟通数量关系的作用，利用线段之间蕴含的等量关系、图形的性质定理、面积的几何意义，建立起已知量与未知量之间的关系式，即方程，因此，几何计算的方法实质上就是方程的思想方法，关键是怎样利用几何图形的度量性质建立方程．