中考数学复习指导：利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题

这是一份中考数学复习指导：利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题，共3页。试卷主要包含了计算距离，找等腰三角形顶点，利用对称性，求平行四边形的顶点，借助平移，分析图形特征求顶点等内容，欢迎下载使用。
一、计算距离，找等腰三角形顶点
例1 如图1，抛物线y＝－x2＋2x＋m与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0，3)，顶点为D，抛物线对称轴交x轴于点E．问：直线DE右侧的抛物线上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？
分析 易求得抛物线的解析式为
y＝－x2＋2x＋3．
由配方，得抛物线顶点为D(1，4)．
当点P在直线DE右侧的抛物线上时，PC≠CD．
若PD＝CD．
则点P与点C关于直线DE对称，点P1坐标为(2，3)；
若PC＝PD，设点P为(x，－x2＋2x＋3)．
由PC2＝PD2，得x2＋3x＋1＝0．

代入抛物线解析式求得点P2坐标为(，)．
二、逆用勾股定理，找直角三角形的顶点
例2 如图2，直角坐标系中，已知点A(－1，0)，P(1，4)，如果点Q为x轴上一点，△APQ是直角三角形，求点Q的坐标．
分析 ∠PAQ≠90°，而∠APQ、∠AQP都可能是直角．
若∠APQ1＝90°，则PQ12＋AP2＝AQ12．
设点Q2为(x，0)，则AQ1＝．
PQ12＝(x－1)2＋16．
又∴AP2＝22＋42＝20，
∴(x－1)2＋16＋20＝(x＋1)2．
∴x＝9，则点Q1坐标为(9，0)；
若∠AQ2P＝90°，则点Q2坐标为(1，0)．
三、利用对称性，求平行四边形的顶点
例3 如图3，在直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径画圆，点P在⊙O上，且在第一象限内，过点P作⊙O的切线，与x,y轴分别交于点A,B，P为AB中点．问：在⊙O上是否存在点Q，使得以Q,O,A,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出点Q的坐标．
分析 作PC⊥OA，垂足为C，连结OP．
则OP＝AP＝BP＝2．
且∠AOP＝∠OAP＝45°．
∴OC＝PC＝，点P坐标为(，)．
如果OP是对角线，则作OQ1∥AP，交⊙O于点Q1，连结PQ1(图3(1))．
由OQ1＝2，可知OQ1 AP．
∴四边形Q1OAP是平行四边形．
这时PQ1⊥OB，则点Q1与点P关于y轴对称，坐标为Q1(－，)；
如果OA是对角线，则作OQ2 PA，交⊙O于点Q2，连结AQ2(图3(2))．
由OQ2＝2，可知OQ2 PA．
∴四边OQ2AP是平行四边形．
这时∠AOP＝∠OAP＝∠AOQ2，因此点Q2与点P关于x轴对称，坐标为
Q2(，－)．
四、借助平移，分析图形特征求顶点
例4 如图4，直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A(4，0)、C(0，－2)，直线y＝－x交边BC于点D．
(1)二次函数图象经过点A,D,O，求它的解析式；
(2)在这个二次函数图象上是否存在点M，使以O,D,A,M为顶点的四边形为梯形？
分析 (1)点D坐标为(3，－2)．
所求的二次函数为；
(2)如果DO为底边，则平移直线DO，使其经过点A，得直线
AM1的解析式为：y＝
代入二次函数，解出x1＝4(舍去)，x2＝－1．
∴点M1坐标为(－1，)．
这时，AD与M1O不平行，四边形ODAM1为梯形；
如果AO为底边，则平移直线AO，使其经过点D，得直线DM2为：y＝－2(即直线BC)．
同理求出点M2坐标为(1，－2)；
如果AD为底边，则平移直线AD，使其经过点O，得直线OM3为y＝2x．
同理求出点M3坐标为(7，14)．
(图略．)