中考数学复习指导：例谈构造辅助圆解几何题

这是一份中考数学复习指导：例谈构造辅助圆解几何题，共4页。试卷主要包含了通过辅助圆确定等腰三角形个数，通过辅助圆确定直角三角形个数，通过辅助圆求线段的取值范围等内容，欢迎下载使用。
一、通过辅助圆确定等腰三角形个数
例1 如图1，在平面直角坐标系中，已知A点坐标是（2，－2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有_______个．
解析 在平面直角坐标系中，因为O、A两点固定不动，相
当于已知等腰三角形一边OA，OA既可作底，又可作腰，因为等
腰三角形中有两边相等，所以我们可以利用同圆中半径相等这一
性质，通过构造圆来解决．此题应分三种情况考虑：
①当OA为腰、∠A为等腰三角形顶角时，可以以点A为圆
心、OA为半径的作圆，交y轴于P1点，则点P1就是所求；
②当OA为腰、∠O为等腰三角形顶角时，可以以点D为圆
心、OA为半径的作圆，交y轴于P2和P4点，则点P2和P4亦是所求；
③当OA为底时，作OA的中垂线交y轴于P3点，则点P3亦是所求作的点．
综上，符合条件的点P共有4个．
二、通过辅助圆确定直角三角形个数
例2 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B
的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直
角三角形，则满足条件的点C有____个．
解析 如图2所示，在第一象限内，以AB为直角边时，存在C1.C2两点；以AB为斜边时，作以AB为直径的圆，交直线y＝5于C3.C4两点，由直径所对的圆周角是直角可知，C3.C4两点亦满足条件；由对称性可知，第四象限内存在四个点．故满足条件的点C共有8个．
说明 在平面直角坐标系中确定等腰三角形和直角三角形个数时，均可通过作辅助圆来解决，这样在求满足条件的点时可以做到不重不漏，是一种较好的解题方法．
三、通过辅助圆解决两个直角三角形共斜边问题
例3 已知：如图3，△ABC中，点E,F分别是AB,AC上的点．DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥EF．求证：AD平分∠BAC．
解析 设AD的中点为D，连结OE，OF．
∵OE⊥AB，DF⊥AC．
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线，
∴OE＝AD，OF＝AD，
即点O到的距离相等，由此知，四点在以点O为圆心，AD为半径的圆上，AD是直径．
于是EF是⊙O的弦，而EF⊥AD，
∴AD平分，即，
故∠DAE＝∠DAF，即AD平分∠BAC．
说明 当两个直角三角形共斜边时，意味着存在四点共圆．通过构圆，利用垂径定理来解决平分角的问题．
四、通过辅助圆解决共端点的等线段问题
例4 如图4，已知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC ＝b，且2a>b，求cs∠DBA的值．
解析 既然已知AB＝AC＝AD，自然想到作以点A
为圆心、AB为半径的辅助圆，以点A为圆心，a为半径
作圆，延长BA交⊙A于E点，连接ED．
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA，∠DAE=∠CDA．
∵AC=AD，∴∠DCA=∠CDA，
∴∠DAE=∠CAB
∴△CAB≌△DAE，
∴ED＝BC＝b．
∵BE是直径，∴∠EDB＝90°．
在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，
由勾股定理得ED2＋BD2＝BE2．
说明 当题目中有多条线段共端点时，常作以公共端点为圆心，等长线段为半径作圆，则易沟通题设和结论的联系，使问题迅速获解．
五、利用同弧所对的圆心角和圆周角的关系求角的度数
例5 已知：如图5，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－2，0）、B(8，0)，与y轴交于点C(0，－4)．直线y＝x＋m与抛物线交于点D.E（D在E的左侧），与抛物线的对称轴交于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当m＝2时，求∠DCF的大小；
解析(1)y＝；；
(2) 由(1)可得抛物线的对称轴为x＝3．
∵m＝2．
∴直线的解析式为y＝x＋2．
∵直线y＝x＋2与抛物线交于点D.E，与抛物线的对称轴交于点F，
∴F、D两点的坐标分别为F(3，5)，D（－2，0）．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为M．可得CM＝FM＝MD＝5．
∴F、D.C三点在以M为圆心，半径为5的圆上，
∴∠DCF＝∠DMF＝45°．
六、通过辅助圆求线段的取值范围
例6 如图6，梯形ABCD中，BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝18，BC＝24，AB＝m，在线段BC上任取一点P，连结DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．
(1)当CP＝6时，试确定点E的位置；
(2)若设CP＝x，PE＝y，写出y关于x的函数关系式；
(3)在线段BC上能否存在不同的两点P1.P2，使得按上述作法
得到的点E都分别与点A重合，若能，试求出此时m的取值范围；
若不能，请说明理由．
解析 (1)，(2)略；
(3)能找到这样的P点，当点E与点A重合时，
∵∠APD＝90°．
∴点P在以AD为直径的圆上，设圆心为点Q，则点Q为AD的中点．要使在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，只要使线段BC与OQ相交，即圆心Q到BC的距离d满足0