中考数学复习指导：例谈进退互化策略在解题中的应用

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本文举例介绍“进退互化”的解题策略．所谓进，就是把所求的数学问题推进到一般情形下进行研究，所谓退，就是在求解一个一般问题时，先对它作特殊化处理，以期找到解题的方向和解题途径．解题中有时要以退求进，有时要先进后退．恰当运用进退的互化是解决数学问题的一条重要策略．下面举几例说明．
例1 计算：
．
分析 本题如果直接将分母有理化，明显缺少解题智慧，有违命题者的意图．因为直接将分母有理化往下不好进行，所以要另寻思路．仔细观察原式，可以发现每个分母都有相同的结构，并能统一写成的形式，故可将问题一般化，又由于
所以我们就找到了解题思路．
例2 计算：
．
分析 根据算式的特点，我们可以大胆猜测被开方数应是一个完全平方数，但由于数值较大，一时看不清楚．为此，我们可以作一般化处理，用字母表示数试试看，由于
再把n＝2011代入得20112＋3×2011＋1，这就是原式的结果，也验证了我们的猜测．
评注 我们在解决上述两个例子时，由于所求的问题形式较复杂，不容易看出解题的思路，于是把所求的问题先推进到一般的情形，体现了先进后退的策略．这样做不仅成功解决了问题，同时也看清了这两个问题的数学本质，例1是通过适当的拆项达到消项的目的；例2其实是一个数学结论：四个连续正整数的积与1的和是一个完全平方数．
例3 如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB＝10 cm，则MD的长为_______．
分析 这是一道“希望杯”邀请赛试题，难度较大．如何使用“∠B＝2∠C”与“M为BC的中点”这两个条件成为解题的关键，观察图形可知本题要添加辅助线，但怎样添加是要进行一番研究的．我们先退一步思考：本题的题型是填空题，能不能对原题作特殊化处理来寻求答案呢？为此，取∠B＝60°．
这样我们就得到了原题的答案．下面我们来研究一般的情形．本题的方法较多，我们选取“∠B＝2∠C”这个条件作为研究的方向．
例4 如图3，内接于⊙O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设⊙O的半径为R．求证：AK2＋BK2＋CK2＋DK2是定值．
分析 定值问题的求解策略是先把一般问题特殊化，找出定值，然后再给出一般性的证明．为了得出本题的定值，我们可以这样思考：若点K与点O重合，则AC与BD是两条互相垂直的直径，显然有AK2＋BK2＋CK2＋DK2＝4R2为定值．这一步不仅找到了定值，而且给我们指明了解题的方向——这个定值就是直径的平方．
例5 如图4，在正方形ABCD中，AC是它的一条对角线，点F、E分别是BC.CD的延长线上一点，且∠EAD＝∠F4C，求的值．
分析 为了找出这个比值，我们先作特殊化处理．若AF平分∠DAC，则有
到此我们找到了本题的结论：DE＋EF＝BF．本题告诉我们，证明两条线段的和等于第三条线段，常用的方法是截长补短．
解 如图4，在边BC上取点H，使BH＝DE，易证△ABH≌△ADE，
∴∠HAB＝∠EAD＝∠FAC，AH＝AE．
评注 我们在解决这三个例子时，先对一般问题作了特殊化处理，体现了以退求进的策略．这样做不仅帮助我们明确了解题方向，找到了解题途径，有的甚至直接得到了问题的答案．这里需要特别强调的是，取特殊值是求解选择题、填空题的一个重要方法．