中考数学复习指导：逆用性质妙解题

这是一份中考数学复习指导：逆用性质妙解题，共4页。试卷主要包含了逆用数学公式巧解题，运用性质，逆用定义妙解题等内容，欢迎下载使用。

我们在解数学题的过程中，通常遵循的是由已知到结论的途径，然而有些数学题，若按照这种常规思维方式则比较困难，有时甚至无法解答，在这种情况下，我们可以考虑定
义、定理、公式的逆用，往往可以使问题简化．实践表明：加强逆向思维训练，可改变我们的思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向性，提高分析问题和解决问题的能力．
一、逆用数学公式巧解题
数学中的许多公式、法则和定律一般用等式表示，既可以从左到右顺用，也可以从右到左逆用，比如较复杂的多项式相乘，应注意观察其特点，抓住题目的结构特征，根据其具体的特点，巧逆用公式计算，往往能起到化繁为简的目的．
例1 已知am＝2，an＝5，求am＋n的值．
分析 本题如果先求出m、n的值，再代入am＋n中求值，是很难办到的．但若将同底数幂乘法的性质反过来用，就得到am＋n＝an·an，这样，问题就迎刃而解了．
例2 已知xm＝4，xn＝8（m，n为自然数），求x3m－2n的值．
分析 该题可先将同底数幂除法性质反过来运用，得到x3m－2n＝x3m÷x2n；这时再将幂的乘方性质逆用一次，得到x3m－2n＝x3m÷x2n＝（xm）3÷(xn)2；最后代入已知条件就可求出所求代数式的值．
解答此类问题的关键是寻找求值式与已知的关系，能熟练地逆向运用幂的相关运算性质解答，这对于培养学生的观察、分析问题的能力有着积极的意义．
例3 计算：
(x－y)2(x＋y)2(x2＋y2)2．
分析 先逆用积的乘方运算法则变形，再利用平方差公式计算．
解法二 直接利用完全平方公式计算
评注 显然，解法一逆用公式比解法二直接运用公式容易得多．
例4 计算：
(2a－b＋3c)2－(2a＋b－3c)2．
分析 本题考虑逆用平方差公式计算，把（2a－b＋3c）2和(2a＋b－3c)2各看成一项，就构成a2－b2的形式，问题可解．
＝－8ab＋24ac．
二、运用性质、法则的可逆性解题
数学性质、法则记忆非常重要．但只是去记忆性质、法则，不能使学生全面掌握并灵活运用性质、法则，记忆了性质、法则以后，应力求将关系式进行变式训练，把顺用和逆用公式联系起来，从而使问题层层深入，思维不断变化，这样可以培养学生思维的敏捷性，使学生熟练掌握解题技巧，提高解题速度．
例5 当m为何值时，关于x的一元二次方程x2－4x＋m－＝0有两个相等的实数根？此时，这两个实数根是多少？
分析 已知方程有两个相等的实数根，就意味着判别式的值为零．本题应算出“△”的值，再进行判别．
例6 试写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是x1＝－3，x2＝2．
分析 利用以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1x2＝0确定方程．先设所求方程x2＋px＋q＝0，再根据根与系数关系确定p和g的值．
解 设所求方程为
所求方程为
三、逆用定义妙解题
在数学解题中逆用是一种比较常见的方法，但定义的逆用容易被人们忽视，只要我们重视定义的逆用，进行逆向思维，就能使有些问题解答简捷．
例7 m为何实数时，x的任何值都不满足不等式x2＋4x＋2m<0．
分析 本题是求解不等式与二次函数相结合的综合题目类型．直接利用不等式定义很难求出m的取值范围，可以从不等式的定义出发，利用问题的反面：x的任何值都不满足不等式x2＋4x＋2m<0，那么不等式x2＋4x＋2m≥0对一切实数x一定成立．
解 这一问题等价于
注 某些数学问题从正面思考时，往往会陷入绝境，若从问题的反面思考往往会绝处逢生，使问题迎刃而解．
总之，逆用定义、性质、公式在初中数学解题教学中具有十分重要的作用，可以加深对基础知识的理解和掌握，可以发现一些解题技巧，可以培养创造能力，同时还能提高分析问题的能力．因此，根据题目的特点，在应用常规数学思维的同时，注意逆向思维的应用，往往可以减少运算量，简明快捷地解决问题．