中考数学复习指导：抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略

这是一份中考数学复习指导：抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略，共7页。试卷主要包含了探究等腰三角形的存在性，探究直角三角形的存在性，探究相似三角形的存在性等内容，欢迎下载使用。
动态问题是近几年来中考数学的热点题型，常与存在性问题结合，这类问题综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，解题时要特别关注运动和变化过程中的不变量、不变关系和特殊关系．本文以中考题为例，对二次函数背景下，一些特殊三角形存在性问题的解题策略进行探究．
一、探究等腰三角形的存在性
例1 如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B (3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)易得y＝－x2＋2x－3；
(2)分析 由图知，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，那么根据对称性以及两点之间线段最短可知，若连结BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
易求得BC的函数关系式为y＝－x＋3，当x＝1时，y＝2，所以P(1，2)；


评注 例1(3)中，由于△MAC的腰和底不明确，因此要分上述三种情况来讨论．可先设出M的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再分别按三种情况列式求解．
同学们可根据上述解题思路分析解决下题：
如图2，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A，B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M，N运动的时间为t秒(t>0)．
(1)当t＝3秒时，直接写出点Ⅳ的坐标，并求出经过O，A，N三点的抛物线的解析式；
(2)在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？
二、探究直角三角形的存在性
例2 如图3，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A.B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求直线BC的函数表达式；
(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ＝AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

评注 例2(3)②中直角三角形的存在性问题有三部曲：先罗列三边，再分类列方程，后解方程检验．罗列三边时，应将三边由同一变量的表达式进行表示，分类列方程的分类标准为直角顶点的不同，求解后注意取舍．
三、探究相似三角形的存在性
例3 如图4，已知二次函数y＝(x＋2)（ax＋b）的图象过点A（－4，3），B(4，4)．
(1)求二次函数的解析式：
(2)求证：△ACB是直角三角形；
(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直戈轴于点H，是否存在以P，H，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

评注 由动点产生的相似三角形问题的一般解题途径为：
①若两个三角形各边均未给出，则应先设所求点的坐标，进而用变量表达式来表示各边的长度，再利用相似关系列方程求解．
②求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出其是否为特殊三角形，再根据未知三角形中，已知边与已知三角形中边的对应情形分类讨论．