人教版八年级下册第17章 勾股定理 单元经典题型测试卷 含详解

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人教版八年级下册 第17章 勾股定理 单元经典题型测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在下列四组数中，属于勾股数的是（　　）A．1，2，3 B．1，， C．3，4，5 D．4，5，62．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A+∠C＝90°，则下列等式中成立的是（　　）A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a2+c2＝b2 D．以上都不对3．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　）A．B．C．D．4．小明用5张正方形纸片摆成了如图所示的图形，图中空白处的三角形均为直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为36，64，144，则正方形B的面积为（　　）A．172 B．100 C．80 D．445．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）A．0 B．1 C．2 D．36．若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（　　）A．18 cm B．20 cm C．24 cm D．25 cm7．一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为18m，倒下后树顶落在距树根部大约12m处．这棵大树离地面约（　　）米处折断．A．3m B．4m C．5m D．6m8．如图点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是﹣1和1．过点B作BC⊥AB，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（　　）A．﹣1 B． C． D．﹣19．如图，已知S1，S2和S3分别是Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1，S2和S3满足的关系式为（　　）A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．S1＝S2•S310．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　）A．9 B．8 C．7 D．6二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．已知△ABC中，∠B＝90°，若c﹣a＝6，b＝2，则△ABC的面积为 　 　．12．已知直角三角形面积为24，斜边长为10，则其周长为　 　．13．如图，长方形操场ABCD的长AD为80m，宽AB为60m，小明站在A处，足球落在C处，小明要想捡到足球，他最少应跑 　 　．14．观察下面几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；请你写出以上规律的第④组勾股数：　 　．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8）、B（4，0），点C在x轴的负半轴上，连接AB，AC．若AC＝BC，BD是△ABC的高，则点D的坐标是 　 　．16．如图是2×4正方形网格图，点A、B、C、D、E都是格点，则∠BAC﹣∠BDE＝　 　°．三．解答题（共9小题，满分66分）17．（6分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．（1）若a＝1，b＝3，求c．（2）若a＝12，c＝13，求b．18．（6分）如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．19．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，作 BD⊥AC，∠BDF＝∠BAF＝∠C，BD＝3，CD＝1．（1）求证：∠CBD＝∠EDA；（2）求AB的长．20．（7分）如图，学校高17m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护．一辆高2m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯最长25m）刚好接触到AC的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？21．（7分）如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．22．（8分） 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度；（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）．23．（8分）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：c2＝a2+b2，得b2＝c2﹣a2＝（c+a）（c﹣a），则，得到：．从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则【问题解决】如图2，已知△ABC的三边长分别为，如何计算△ABC的面积？据记载，古人是这样计算的：作BC边上的高AH．以BH，CH的长为斜边和直角边作Rt△DEF（如图3），其中DE＝BH，EF＝CH．（1）用古人的方法计算DF2的值，完成下面的填空：DF2＝DE2﹣EF2＝BH2﹣CH2＝[（ 　 　）2﹣（ 　 　）2]﹣[（ 　 　）2﹣（ 　 　）2]＝　 　．（2）试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成△ABC面积的计算过程；（3）你还有其他计算△ABC的面积的方法吗？写出解答过程．24．（9分）在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形ABCD，AC，BD相交于点E，且AC⊥BD，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题：（1）如图2，若AB＝3，BC＝4，CD＝4，求AD的长；（2）如图3，若AC＝BD＝5，求四边形ABCD的面积；（3）如图4，若AB＝3，，CD＝4，直接写出AD的长．25．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 　 　；②当t＝3时，PQ的长为 　 　；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．参考答案一．选择题1．解：A.12+22≠32，不是勾股数，不符合题意；B.，不是整数，不符合题意；C.32+42＝52，是勾股数，符合题意；D.42+52≠62，不是勾股数，不符合题意；故选：C．2．解：∵在△ABC中，∠A+∠C＝90°，∴∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：a2+c2＝b2．故选：C．3．解：A、三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；C、三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；D、三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；故选：C．4．解：如图：由题意得：正方形E的面积+正方形C的面积＝正方形D的面积，∴正方形E的面积＝正方形D的面积﹣正方形C的面积＝144﹣64＝80，由题意得：正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形E的面积，∴正方形B的面积＝正方形E的面积﹣正方形A的面积＝80﹣36＝44，故选：D．5．解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×b；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．故能够验证勾股定理的有3个．故选：D．6．解：设直角三角形的斜边是xcm，则另一条直角边是（x﹣1）cm．根据勾股定理，得（x﹣1）2+49＝x2，解得：x＝25．则斜边的长是25cm．故选：D．7．解：设这棵大树离地面约x米处折断，根据题意得，x2+122＝（18﹣x）2，解得x＝5，答：这棵大树离地面约5米处折断，故选：C．8．解：由题意得，BD＝OB＝1，在Rt△ABD中，AD＝，∴OE＝AE﹣1＝﹣1，∴点E对应的实数是﹣1，故选：A．9．解：∵S1，S2和S3分别是以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径向外作的半圆面积，∴S1＝π（）2，S2＝π（）2，S3＝π（）2，∵AC2+BC2＝AB2，∴S1＝S2+S3．故选：B．10．解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵BD＝CD，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，∴AB＝＝＝6，故选：D．二．填空题11．解：∵∠B＝90°，b＝2，∴a2+c2＝＝68，∵c﹣a＝6，∴c2﹣2ac+a2＝36，∴ac＝16，∴＝8，故答案为：8．12．解：设直角三角形的两直角边分别是a、b（a＜b，且a、b均为正数），则，解得．所以该直角三角形的周长是：6+8+10＝24．故答案为：24．13．解：连接AC．∵ABCD为长方形，AD＝BC，AB＝DC.∴△ABC是直角三角形，∵BC＝80，AB＝60．根据勾股定理得：AC＝＝100．故答案为：100．14．解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；故答案为：9，40，41．15．解：过点D作DE⊥OC，∵A（0，8）、B（4，0），∴AO＝8，BO＝4，设CO＝x，则AC＝BC＝x+4，∴（x+4）2＝x2+82，解得x＝6，∴OC＝6，∵BD是△ABC的高，∴∠BDC＝∠AOC＝90°，∵AC＝AC，∠ACO＝∠BCD，∴△ACO≌△BCD（AAS），∴BD＝AO＝8，CO＝CD＝6，∴AC＝BC＝＝10，∴S△BCD＝×BD×CD＝×BC×DE，∴8×6＝10DE，∴DE＝4.8，∴CE＝＝3.6，∴OE＝6﹣3.6＝2.4，∴点D的坐标为（﹣2.4，4.8）；故答案为：（﹣2.4，4.8）．16．解：，作△AFG≌△DBE，连接BF，∴∠FAG＝∠BDE，∠BAC﹣∠BDE＝∠BAC﹣∠FAC＝∠BAF，∵AC＝BE，∠BEF＝∠ACB，BC＝EF，∴△ABC≌△BFE，∴∠BAC＝∠FBE，AB＝BF，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，∵AB＝BF，∴△ABF是等腰直角三角形，∴∠BAF＝45°，故答案为：45．三．解答题17．解：（1）∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，a＝1，b＝3，∴c＝＝＝，即c的值是；（2）∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，a＝12，c＝13，∴b＝＝＝5，即b的值是5．18．解：∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB＝3，BC＝4，∴根据勾股定理得：AC＝＝5，又∵CD＝12，AD＝13，∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×5×12＝36．故四边形ABCD的面积是36．19．（1）证明：∵BD⊥AC，∴∠C+∠CBD＝∠EDA+∠BDF，∵∠BDF＝∠C，∴∠CBD＝∠EDA；（2）解：设AD＝x，则AC＝AD+CD＝AB＝x+1，∵BD＝3，∴x2+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴AB＝x+1＝5．20．解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E，由题意得：AE＝AB﹣BE＝17﹣2＝15（m），CE＝AB+AC﹣BE＝17+5﹣2＝20（m），在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝20（m），设DD′＝x m，则D′E＝（20﹣x）m，在Rt△CED′中，由勾股定理得：D′E2+CE2＝CD′2，即（20﹣x）2+202＝252，解得：x＝5，答：工程车向教学楼方向行驶5米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处．21．解：有触礁危险．理由：过点P作PD⊥AC于D．设PD为x，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45度．∴BD＝PD＝x．在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝x，∵AD＝AB+BD，∴x＝6+x，∴x＝，∵3（+1）＜9，∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．22．解：（1）如图1，大正方形的面积＝c2＝4×，整理得，c2＝a2+b2；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵，∴CD＝；（3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，∴c2＝13，（b﹣a）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，即（a+b）2的值为25．23．解：（1）DF2＝DE2﹣EF2＝BH2﹣CH2＝（AB﹣AH）2﹣（AC﹣AH）2＝16，故答案为：AB，AH，AC，AH，16；（2）在Rt△DEF中，由勾股定理的推论，可知：．∵DE+EF＝BH+CH＝BC＝8，DF2＝16，∴，∴CH＝3，在Rt△ACH中，AH2＝AC2﹣CH2＝52﹣32＝16，∴AH＝4，∴；（3）如图2，设CH＝x，BH＝8﹣x，由勾股定理，得AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，，解得x＝3，∴CH＝3，∴，∴．24．解：（1）∵CD＝BC＝4，∴△BDC为等腰三角形．∵AC⊥BD，∴AC为DB的垂直平分线，∴AD＝AB．∵AB＝3，∴AD＝3；（2）∵AC⊥BD，∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝＝＝＝×5×5＝．（3）∵AC⊥BD，∴CE2+DE2＝CD2，DE2+AE2＝AD2，AE2+BE2＝AB2，CE2+BE2＝BC2，∴CD2+AB2＝CE2+DE2+AE2+BE2，AD2+BC2＝DE2+AE2+CE2+BE2，∴CD2+AB2＝AD2+BC2，∵AB＝3，，CD＝4，∴42+32＝AD2+（）2，解得AD＝2．25．解：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理可得，∴Rt△ABC斜边AC上的高为；②当t＝3时，则AP＝6cm，BQ＝4t＝12cm，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（cm），在Rt△BPQ中，由勾股定理可得，即PQ的长为，故答案为：①9.6cm；②；（2）由题意可知AP＝2t cm，BQ＝4t cm，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣2t（cm），当△BPQ为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣2t＝4t，解得，∴出发秒后△BPQ能形成等腰三角形；（3）在△ABC中，AC＝20cm，当点Q在AC上时，AQ＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t（cm），CQ＝4t﹣12（cm），∵△BCQ为等腰三角形，∴有BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，①当BQ＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC于E，则，由（1）知BE＝9.6cm，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝9.62+（2t﹣6）2，解得t＝6.6或t＝﹣0.6＜0（舍去）；②当CQ＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6；③当CQ＝BQ时，则∠C＝∠QBC，∴∠C+∠A＝∠CBQ+∠QBA，∴∠A＝∠QBA，∴QB＝QA，∴，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5；综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形．