最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题12 角、相交线与平行线（6大考点）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第四部分 三角形
专题12 角、相交线与平行线（6大考点）
核心考点一 直线和线段
例1 （2021·江苏泰州·统考中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（ ）
A．点A在B、C两点之间B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间D．无法确定
【答案】A
【分析】分别对每种情况进行讨论，看a的值是否满足条件再进行判断．
【详解】解：①当点A在B、C两点之间，则满足，
即，
解得：，符合题意，故选项A正确；
②点B在A、C两点之间，则满足，
即，
解得：，不符合题意，故选项B错误；
③点C在A、B两点之间，则满足，
即，
解得：a无解，不符合题意，故选项C错误；
故选项D错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段的和与差及一元一次方程的解法，分类讨论并列出对应的式子是解本题的关键．
例2 （2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．
【答案】
【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案．
【详解】解：由题意可得：

同理：

故答案为：
【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．
例3 （2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，和，点E，F在直线BC上，，，．如图①，易证：．请解答下列问题：
(1)如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
(2)请选择（1）中任意一种结论进行证明；
(3)若，，，，则______，______．
【答案】(1)图②：；图③：
(2)证明见解析
(3)8，14或18
【分析】（1）先判断两个三角形全等，再结合线段的和差求解即可；
（2）先证两个三角形全等，再结合线段的和差求解即可；
（3）过点A作△ABC的高AG，求出AG的长，再根据三角形的面积求出BC的长，进而求出BF即可．
【详解】（1）解：图②：．
图③：．
（2）解：图②中
在和中，
∵，
∴≌，
∴BC=FE，
∴BF=BC+CE+EF=BC+CE+BC，
即．
或图③中，
在和中，
∵，
∴≌，
∴BC=FE，
，
即．
（3）解：过点A作AG⊥BC于G，
∵≌，
∴∠B=∠F=60°，
在Rt△ABG中，
∵AB=6，∠B =60°，
∴AG=AB·sin B=6×sin 60°=，
又
∴
∴BC=8，
又∵，
∴BF=BC+BE=8+8-2=14，或BF=BC+BE=8+8+2=18，
故答案为：8，14或18．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段的和差，三角形的面积，解直角三角形，解题关键是结合图形找到线段之间的关系是解题关键．
直线由无数个点构成，点动成线。直线是面的组成成分，并继而组成体。没有端点，向两端无限延伸，长度无法度量。直线是轴对称图形。
它有无数条对称轴，对称轴为所有与它垂直的直线（有无数条）。在平面上过不重合的两点有且只有一条直线，即不重合两点确定一条直线。在球面上，过两点可以做无数条类似直线。
构成几何图形的最基本元素。在D·希尔伯特建立的欧几里德几何的公理体系中，点、直线、平面属于基本概念，由他们之间的关联关系和五组公理来界定。
线段指直线上两点间的有限部分（包括两个端点） [1] ，有别于直线、射线
【变式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）在下列说法中，正确的有（ ）
①两点确定一条直线；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③垂直于同一条直线的两条直线垂直；
④平行于同一条直线的两条直线平行；
⑤过一点有且只有一条直线和已知直线垂直．
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据直线的性质，平行线公理，垂线的性质，以及平行线的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①两点确定一条直线，正确；
②应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题错误；
③应为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本小题错误；
④平行于同一条直线的两条直线平行，正确；
⑤应为在同一个平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故本小题错误；
综上所述，说法正确的有①④共2个．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直线的性质，平行公理以及垂线的性质，熟记性质与概念是解题的关键．
【变式2】（2022·江苏常州·校考二模）如图，矩形中，点E在边上，，动点P从点A出发，沿运动到B停止，过点E作垂直交射线于点F，如果M是线段的中点，那么P在运动的过程中，点M运动的路线长为（ ）
A．5B．5.5C．4D．4.5
【答案】D
【分析】如图，当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合，点M在N处，点M的运动轨迹是线段．求出的长即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点，点分别为中点，并连接，则当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合，点M在N处，点M的运动轨迹是线段．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
点分别为中点，
，
故选：D．
【点睛】本题考查轨迹、矩形的性质、三角函数的应用、中位线的性质等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹．
【变式3】（2021·广西柳州·统考一模）建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，用到的数学知识是______．
【答案】两点确定一条直线
【分析】根据两点确定一条直线，即可求解．
【详解】解：根据题意得：用到的数学知识是两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线
【点睛】本题主要考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键．
【变式4】（2021·甘肃·模拟预测）定义：数轴上给定两点A、B以及一条线段PQ，当线段AB的中点在线段PQ上时（包含点P、Q），就称点A与点B关于线段PQ径向对称，若A、P、Q三点在数轴上的位置如图所示，点A与点B关于线段PQ径向对称．则点B表示的数x的取值范围是____．
【答案】1≤x≤5##
【分析】设点A和点B的中点为C，根据题意分点C与点P重合和点C与点Q重合两种情况讨论，分别求出点B表示的数即可求解．
【详解】解：设点A和点B的中点为C，由题意得：
①当点C刚好与点P重合时，
则AC＝BC＝0﹣（﹣1）＝1，
故点B表示的数为：x＝1；
②当点C刚好与点Q重合时，
则AC＝BC＝2﹣（﹣1）＝3，
故点B表示的数为：x＝5，
综上所述，点B表示的数的取值范围是：1≤x≤5．
故答案为：1≤x≤5．
【点睛】此题考查了数轴上点的表示方法以及线段中点的知识，解题的关键是熟练掌握数轴上点的表示方法以及线段中点的知识点．
【变式5】（2020·湖南邵阳·校联考一模）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．
(1)若，求线段的长；
(2)若C为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．
(3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，图形见解析；结论理由见解析
【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；
（2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；
（3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解∶ ∵M、N分别是的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）解∶ ∵M、N分别是的中点，
∴，
∵，
∴；
（3）解∶ ，理由如下∶
如图，
∵M、N分别是的中点，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键．
核心考点二 角与角平分线
例1 （2021·四川达州·统考中考真题）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点B作，过点C作，与相交于点E；根据余角性质计算得；根据平行线性质，得，结合角平分线性质，计算得；再根据余角性质计算，即可得到答案．
【详解】如下图，过点B作，过点C作，与相交于点E
∵，
∴
∴
∵与平行
∴
∵，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线、角平分线、垂线、余角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．
例2 （2022·山东济宁·统考中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是___________．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得，根据等量等量代换得，进而根据邻补角性质即可求解．
【详解】解：如图
l1l2，l2l3，
，，
，
∠1＝，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
例3 （2022·浙江温州·统考中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E．
(1)求证：．
(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)相等，见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
由（1）得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
角在几何学中，是由两条有公共端点的射线组成的几何对象。这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。一般的角会假设在欧几里得平面上，但在欧几里得几何中也可以定义角。角在几何学和三角学中有着广泛的应用
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
注：角平分线类型的题目，辅助线一般都是过角平分线上的向两边作垂线。
【变式1】（2023·江苏苏州·统考一模）如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数．
【详解】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点在直线上，
∴
∵，
∴
故选：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
【变式2】（2022·江苏南京·南京大学附属中学校考模拟预测）如图，锐角三角形中，直线l为的中垂线，直线m为的角平分线，l与m相交于P点．若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角平分线定义求出，根据线段的垂直平分线性质得出，求出，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：平分，
，
直线l是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
解得：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，能求出是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
【变式3】（2022·湖南永州·统考二模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则的周长为 ______．
【答案】
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出、根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵，是角平分线，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∵的垂直平分线交于点F，
∴，
∴的垂直，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式4】（2022·四川眉山·模拟预测）如图，，，、分别平分、，，则的周长是______．
【答案】15
【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，，则的周长．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，等角对等边，
的周长．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
【变式5】（2022·浙江绍兴·一模）（1）问题背景
如图①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E，CE交直线BA于M．探究线段BD与CE的数量关系得到的结论是________．
（2）类比探索
在（1）中，如果把BD改为△ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图②），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）中，如果，其他条件均不变（如图③），请直接写出BD与CE的数量关系为________．
【答案】（1）问题背景：BD=2CE（2）类比探索：结论BD=2CE仍然成立，证明见解析（3）拓展延伸：BD=CE
【分析】（1）根据角平分线及全等三角形的判定和性质得出△BME△BCE（ASA），CE=ME，结合图形得出∠ADB=∠M，sin∠ADB=sin∠M，再由正弦函数证明即可；
（2）根据题意，证明方法同（1）类似，证明即可；
（3）根据②得，将线段间的数量关系代入即可得出结果．
【详解】（1）解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BME和△BCE中，
，
∴△BME△BCE（ASA），
∴CE=ME，
∵CE⊥BD，∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠M=90°，∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠ADB=∠M，
∴sin∠ADB=sin∠M，
即，
∵AB=AC，
∴BD=CM，
∴BD=2CE；
（2）结论BD=2CE仍然成立．
证明：∵BD是∠ABF的平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
在△CBE和△MBE中，
，
∴△CBE△MBE（ASA），
∴CE=ME，
∴CM=2CE，
∵∠D+∠DCM=∠M+∠DCM=90°．
∴∠D=∠M，
∴sin∠D=sin∠M，
∴，
∵AB=AC，
∴BD=CM=2CE；
（3）解：同（2）可得，CE=ME，
∵，
∴，
∴BD=CE．
故答案为： BD=CE．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，解三角形的应用，角平分线的计算等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
核心考点三 相交线
例1 （2022·河南·统考中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26°B．36°C．44°D．54°
【答案】B
【分析】根据垂直的定义可得，根据平角的定义即可求解．
【详解】解： EO⊥CD，
，
，
．
故选：B ．
【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．
例2 （2021·湖南益阳·统考中考真题）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则_______度．
【答案】60
【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得，再根据对顶角相等即可得．
【详解】解：设，
是的平分线，
，
平分，
，
又，
，
解得，即，
由对顶角相等得：，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
例3 （2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
【详解】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。如果两条直线只有一个公共点时，称这两条直线相交。
相交线会形成三线八角
【变式1】（2022·广西百色·统考一模）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠BOD=70°，则∠COE的度数是（ ）
A．45°B．70°C．55°D．110°
【答案】C
【分析】根据邻补角的性质可得∠COB=110°，再根据角平分线的性质课可得∠COE=∠COB，进而得到答案．
【详解】解：∵∠BOD=70°，
∴∠COB=110°，
∵OE平分∠COB，
∴∠COE=∠COB=55°，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了对顶角，邻补角，关键是掌握邻补角互补．
【变式2】（2023·山东泰安·校考一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】过点作于点，作射线，可证点，点，点，点四点共圆，可得，则点在的角平分线上运动，即当时，的长度有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，作射线，
是等边三角形，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
点在的角平分线上运动，
当时，的长度有最小值，
，
，
的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，垂线段最短，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式3】（2021·吉林长春·校考二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__．
【答案】
【分析】过作于，依据是等腰直角三角形，即可得出，依据，即可得到当时，的最小值等于的长，进而得到答案．
【详解】解：如图所示，过作于，
，，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
当时，的最小值等于的长，
对角线的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式4】（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
【答案】6
【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再将原式变形，进而得出PA+PD最小值，进而得出答案．
【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，
∴tan∠CAB=，
∴∠CAB=60°，
则∠DAC=30°，
∵PA+2PD=2（PA+PD），
，
此时PA+PD最小，
∴PA+2PD的最小值是2×3=6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．
【变式5】（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．
(1)求的大小；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)25°
(2)23°
【分析】（1）先由平行线的性质求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，再根据解平分线的定义求解即可；∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，再根据三角形内角和定理求出
（2）先由平行线的性质求出∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=23°，最后由对顶角性质得解．
【详解】（1）解：∵，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，
∵平分
∴∠ABE=∠ABC==25°；
（2）解：∵，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，
∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，
又由（1）知：∠ABE=25°，
∴∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=180°-132°-25°=23°，
∴∠DEF=∠AEB=23°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
核心考点四 平行线的判定
例1 （2020·江西·统考中考真题）如图，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可对A进行判断；根据三角形外角的性质可对B进行判断；求出∠C，根据大角对大边，小角对小边可对D进行判断；求出可对C进行判断．
【详解】，
，故选项A正确；
，
，
又，
，故选项B正确；
，
，
，
，故选项D正确；
，
，
而
，故选项C错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质与判定是解答此题的关键．
例2 （2021·江苏泰州·统考中考真题）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．
【答案】20
【分析】根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN的度数即可得出答案．
【详解】解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，
∴MN//CD，
∵∠EGB＝100°，
∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，
∴至少要旋转20°．
【点睛】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
例3 （2020·湖北荆州·统考中考真题）如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：；
（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．
（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．
【详解】（1）证明：由旋转性质得：
是等边三角形
所以
∴；
（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A，C两点经过的路径长之和为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键．
平行线判定的五种方法：
在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：
1.同位角相等，两直线平行。
在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：
2.内错角相等，两直线平行。
在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：
3.同旁内角互补，两直线平行。
4、在同一平面内，两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
5、两条直线同时平行于第三条直线，这两条直线互相平行；
【变式1】（2022·广西柳州·统考模拟预测）如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】，
∴（同位角相等，两直线平行），
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用．
【变式2】（2021·福建厦门·校考二模）如图，已知，按以下步骤作图：①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点；②连接，分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点、；③连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．B．点与点关于直线对称
C．若，则D．
【答案】C
【分析】根据等弧所对圆周角相等可以判断；根据平行线的判定可以判断；根据，，可得垂直平分，可以判断；根据，得，由，可得为等边三角形，进而可以判断．
【详解】解：由作法得，
，
，所以选项的结论正确；
连接，
，
，
，所以选项的结论正确；
，，
垂直平分，
点与点关于对称，所以选项的结论正确；
，
，
，
为等边三角形，
，所以选项的结论错误．
故选：．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理．
【变式3】（2022·新疆阿克苏·统考一模）如图，将木条a，b与c钉在一起，，若要使木条a与b平行，则的度数应为______．
【答案】50°##50度
【分析】根据同位角相等，两直线平行，求出∠1的度数．
【详解】解：∵∠1=∠2时，a∥b，
∴若要使木条a与b平行，∠1=∠2=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟记平行线的性质定理与判定定理是解题的关键．
【变式4】（2021·云南昆明·统考一模）如图，小红看到工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，即可得到．请你帮小红从下列真命题中找到工人师傅画图的一个依据．真命题为：①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（选自人教版初中数学教科书七年级下册第14页例）；③在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．”这个依据是__________．（只需填序号）
【答案】②
【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】解：由题意：a⊥AB，b⊥AB，
∴（在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行），
故答案为：②．
【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式5】（2023·湖北武汉·校考一模）如图，点A，B，C，D在一条直线上，与交于点G，，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可得；
（2）根据可得，根据可得，因为，根据等量代换即可求出．
【详解】（1）证明：，
；
（2）解：，，，
，，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
核心考点五 利用平行线求角度或证明
例1 （2022·内蒙古·中考真题）如图，直线，截线c，d相交成30°角，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由邻补角的定义可求得，再由平行线的性质可得，利用三角形的外角性质即可求∠2．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠A＝30°，∠2＝∠4＋∠A，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
例2 （2022·宁夏·中考真题）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______．
【答案】50
【分析】先根据旋转的性质得到，再由平角的定义求出的度数，即可利用平行线的性质得到答案．
【详解】解：将绕点顺时针旋转至，
∴，
∵∠AOB=55°，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等和旋转的性质是解题的关键．
例3 （2022·江苏泰州·统考中考真题）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.
(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)2
(2)图见详解
(3)直线BC与⊙F相切，理由见详解
【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；
（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵DE∥AB，
∴，
∴，
∵AB=5，BD=9，DC=6，
∴，
∴；
（2）解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
如图所示：点F即为所求，
（3）解：直线BC与⊙F相切，理由如下：
作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，
∵∠DFA=∠A，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴，
∵△FBC的面积等于，
∴，
∴CD⊥DF，
∵FD是⊙F的半径，
∴直线BC与⊙F相切．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键．
两条直线平行，同位角相等；
两条直线平行，内错角相等；
两条直线平行，同旁内角互补；
【变式1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，，直线截，于，，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质得到，再由，，即可推出，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
【变式2】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在中，，按图进行翻折，使，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平行线的性质以及翻折的性质求解即可．
【详解】∵，
∴，．
∵，
∴．
由翻折的性质可知，
，，．
∵，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、翻折的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【变式3】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，，且与交于点，若，则_________．
【答案】##
【分析】过点作于点，结合平行四边形的性质可得，，即可证明，根据相似三角形的性质可得；证明，由三角形面积公式可得，再由，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．
【变式4】（2022·四川绵阳·校考二模）如图，线段，与相交于点，，于点，平分交于点，则的度数是______．
【答案】15°##15度
【分析】根据可得，由，可得，结合，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵，
∴.
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，掌握直角三角形两个锐角互余是关键．
【变式5】（2023·江苏宿迁·统考一模）已知，点D是的边上一点．
(1)如图甲，，垂足为E，平分交边于点F，交边于点O，求证：；
(2)如图乙，交边于点E，平分交边于点O，，垂足为点F，求；
(3)如图丙，在线段上找一点O作，使经过点D且与相切．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出作法过程，不证明）
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）由，易证，由“两直线平行，内错角相等”得到，结合角平分线得到，最后依据“等角对等边”可证明；
（2）由题意易得，由平分线得到，易证得；
（3）过点D作交边于点E，点E作平分交边于点O，点O作，垂足为点F，以点O为圆心，为半径作圆，为所求．
【详解】（1）证明：如图甲，
，，
，
，
平分，
，
，
；
（2）证明：如图乙，
，，
，
平分，
，
在与中，
，
；
（3）如图，过点D作交边于点E，点E作平分交边于点O，点O作，垂足为点F，以点O为圆心，为半径作圆，
与相切，
由（2）可知，
，
经过点D，
即为所求．
【点睛】本题考查了垂直的定义、角平分线的性质、平行线的判定和性质、等角对等边、全等三角形的证明和性质、尺规作图；解题的关键是熟练掌握相关性质及尺规作图方法．
核心考点六 命题
例1 （2022·黑龙江绥化·统考中考真题）下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】B
【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；
C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
故选：B
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．
例2 （2021·江苏无锡·统考中考真题）下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【答案】1
【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断．
【详解】解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：1．
【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键．
例3 （2020·北京·统考中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．
【答案】丙，丁，甲，乙
【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．
【详解】解：丙先选择：1，2，3，4．
丁选：5，7，9，11，13．
甲选：6，8．
乙选：10，12，14．
∴顺序为丙，丁，甲，乙．
（答案不唯一）
【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．
命题（判断）是指一个判断句的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。命题不是指判断句本身，而是指所表达的语义。当相异的判断句具有相同的语义的时候，他们表达相同的命题。在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题。
【变式1】（2022·重庆璧山·统考一模）下列命题是真命题的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．两直线平行，同位角互补D．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
【答案】B
【分析】根据正多边形的定义、矩形的判定方法、平行线的性质、垂直平分线定义分析判断即可．
【详解】解：A、每个内角都相等，每条边都相等的多边形是正多边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、过线段中点的垂直于线段的直线是线段的垂直平分线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的定义、矩形的判定方法、平行线的性质、垂直平分线定义．
【变式2】（2023·山东东营·校考一模）现有以下命题：
①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；
②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等；
③通常温度降到以下，纯净的水会结冰是随机事件；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定，平移的性质，随机事件的概念，角和垂线的有关性质，平行公理进行判断即可得到结论．
【详解】解：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，故该命题是真命题；
②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等或在同一直线上，故原命题是假命题；
③通常温度降到以下，纯净的水会结冰是必然事件，故原命题是假命题；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故原命题是假命题；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该命题是真命题；
⑥在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题，
综上可得：真命题有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质、平移的性质、随机事件、角和垂线的有关性质、平行公理等知识．
【变式3】（2022·江苏无锡·模拟预测）给出下列命题：①顶角相等的两等腰三角形相似；②底角相等的两等腰三角形相似；③两直角边对应成比例的两直角三角形相似；④有一角对应相等的两直角三角形相似，其中真命题有_____（填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据相似三角形的判定定理，结合等腰三角形和直角三角形的性质，分析即可．
【详解】解：①顶角相等的两等腰三角形相似，符合有两组角对应相等的两个三角形相似，是真命题；
②底角相等的两等腰三角形相似，符合有两组角对应相等的两个三角形相似，是真命题；
③两直角边对应成比例的两直角三角形相似，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，是真命题；
④有一角对应相等的两直角三角形不一定相似，原命题是假命题．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了命题与定理、相似三角形的判定，解本题的关键在熟练掌握相似三角形的判定定理．
【变式4】（2022·北京门头沟·统考二模）电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有________（填方块上的字母）．
【答案】B、D、F、G
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷， A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案．
【详解】解：由题图中第三行第一列的“1”可知,第二行第一列是雷。 用假设法推理如下：①假设A是雷，则由B下方的2可知：B不是雷；C不是雷；与C下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则A不可能是雷；
②假设B不是雷，由B下方的“2”可知：C是雷，由C下方的“2”可知：D是雷；与D下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则B是雷；
③假设A不是雷，B是雷，则由B下方的“2”可知，C不是雷；由C下方的“2”可知，D是雷；由D下方的“2”可知：E不是雷；由E下方的“3”可知，F是雷；由F下方的4可知：G是雷，∴B、D、F、G一定是雷．
故答案为：B、D、F、G．
【点睛】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷，着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识．
【变式5】（2022·江苏盐城·校联考一模）苏科版数学七（下）教材中有这样一段阅读材料：
著名的反例：公元1640年，著名数学家费马发现：
，，，，
而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，都是质数．可是，到了1732年，数学家欧拉发现：．
这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想．
这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法．
(1)代数中的反例：
①用举反例说明“”是个假命题时，a的取值范围是______．
②请你举反例说明“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题．
(2)几何中的反例：
学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件：
①有两边分别与AC和BC相等；
②与BC相等边所对的角等于；
③构造出的三角形与不全等．
要求：①用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明；
②不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图．
【答案】(1)① ；②举例见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）①当时，则 解得：或 再分别在小于0，大于0小于1，大于1的范围内举例即可；②举例：当时， 当时， 发现自变量变大，函数值也变大，从而可作判断；
（2）方法一：利用等腰三角形的性质构建三角形即可；方法二：利用角平分线的定义构建三角形即可；方法三：利用对顶角相等，结合等腰三角形构建三角形即可．
（1）
解：①当时，则
解得：或
当时， 此时
当时， 此时
当时， 此时
所以“”是个假命题时，a的取值范围是
②对于反比例函数
当时，
当时，
发现自变量变大，函数值也变大，
所以“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题．
（2）
解：方法一：如图，延长，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于，
连接CD，
则中，满足
但是两个三角形不全等．
方法二：以A为圆心，适当的长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点F，
以点M为圆心，MF为半径画弧，与前弧在AB的另一侧交于点G，
作射线AG，
以点A为圆心，AC长为半径画弧，交射线AG于点D，
以D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的延长线于点E，
连接DE，得三角形ADE，
则中，满足
但是两个三角形不全等．
方法三：以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AC的反向延长线于点D，
以点D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的反向延长线于点M，E（点E在外侧）
连接DE，得三角形ADE，
则中，满足
但是两个三角形不全等．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，举反例的应用，全等三角形的判定，复杂的作图，特别是掌握两个三角形中满足两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等是解本题的关键．
【新题速递】
1．（2023秋·贵州黔东南·七年级统考期末）如图，是线段的中点，点在上，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据线段中点和线段的长度关系进行计算，算出和的长，即可解答．
【详解】解：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查线段的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质和线段的计算方法．
2．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）用反证法证明：“若，则”，应先假设（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案．
【详解】解：用反证法证明：“若，则”，应先假设．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了反证法，要掌握一些常见结论的否定方法．如“大于”的否定是“不大于或小于等于”，“小于”的否定是“不小于”等等．
3．（2023·云南昭通·校考一模）如图，直线c与直线a、b都相交．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对顶角相等，得出，根据两直线平行，同位角相等，得出．
【详解】解：如图，
∵，和是对顶角，
∴，
∵，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
4．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，直线，一块含有角的直角三角尺的顶点E位于直线上，平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，可以得出内错角相等，，由平分，角平分线的性质得，，故可以得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，解本题要熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质．
5．（2022春·广东揭阳·七年级校考期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为（ ）
A．70B．74C．76D．80
【答案】D
【分析】先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值．
【详解】解：过点C作，
，，
，
，
，
，
由题意可得为的角平分线，为的角平分线，
，，
，，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．4
【答案】B
【分析】证四边形是矩形，得，由勾股定理求出，当时，最小，然后由面积法求出的最小值，即可解决问题．
【详解】解：连接，如图所示：
∵于点M，于点N，
∴四边形是矩形，，
∴，与互相平分，
∵点O是的中点，
∴，
当时，最小，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理以及面积法等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
7．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知在中，与的平分线交于点F，过点F的直线交于点D，交于的E，且．有下列结论：①；②是等腰三角形；③的周长18；④；⑤；⑥．其中正确的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】根据，可得，故①正确；从而得到，再由平分，可得，从而得到是等腰三角形，故②正确；根据平分，可得，从而得到，进而得到，故⑥正确；再证得，可得，的周长，故③正确；再求出，可得，从而得到，故④错误；再由三角形内角和定理可得，故⑤错误，即可．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故②正确；
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑥正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，故③正确；
∵，平分，平分，
∴，
∴，
∴，故④错误；
∴，故⑤错误；
故选：B
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理是解题的关键．
8．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在中，，，，点P是延长线上一动点，边与点M，边与点N，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，证明P、M、N、B四点是以为直径的圆上，设此圆心为O，连接、，则，由勾股定理，可得，所以当取最小值时，值最小，再过点C作于D，求得，在中，求出，即可求解．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∴点P、M、N、B在以为直径的圆上，设此圆心为O，连接、，
∴，
由勾股定理，可得，
∴当取最小值时，值最小，
∴当于P时，此时值最小，则值最小，
过点C作于D，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短，本题综合性较强，熟练掌握相关定理和将求最小值转化成求最小值是解题的关键．
9．（2023秋·广东深圳·七年级校联考期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一块透明的三角尺直角顶点放在点O处，并绕点O旋转一周，在旋转过程中，当直线恰好平分锐角时，_____．
【答案】或
【分析】由角平分线的定义求出的度数，再根据邻补角的定义即可求出的度数．
【详解】解：当N在上方，
平分，
，
，
当N在下方，
，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
10．（2022春·广东韶关·七年级校考期中）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．这个命题的结论是 _____．
【答案】内错角相等
【分析】命题的一般叙述形式为“如果……那么……”，其中，“如果”所引出的部分是题设（条件），“那么”所引出的部分是结论．
【详解】解：两条直线平行被第三条直线所截，内错角相等的题设是两条平行直线被第三条直线所截，结论是内错角相等，
故答案为：内错角相等．
【点睛】本题考查了命题，找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键．
11．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为_____________．
【答案】
【分析】过点B作交 于点D，可证，利用平行线的性质可得，，进而可得．
【详解】解：如图，过点B作交于点D．
中，，
．
，
．
，，
，
，
，
故按为：．
【点睛】本题主要考查平行线性质，平行公理的推论，三角板中的角度计算等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
12．（2023春·江苏·八年级专题练习）在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ___________．
【答案】##2.4##
【分析】连接，当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可．
【详解】解：连接，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
当时，的值最小，此时的值也最小，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等，熟知三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
13．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为 ___________．
【答案】##
【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】解：连接，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当时，的值最小，
此时，的面积=，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边上的一动点，则的最小值等于______．
【答案】
【分析】过点P作，由平行四边形的性质结合题意可得出，进而得出，再由勾股定理可求出，即说明，进而说明当点C、P、Q三点共线时有最小值，且为的长，最后根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．
【详解】如图，过点P作，垂足为Q，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点C、P、Q三点共线时有最小值，且为的长，
∴此时．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线并理解当点C、P、Q三点共线时有最小值，且为的长．
15．（2022秋·福建福州·七年级福州黎明中学校考期末）如图，已知线段．
(1)延长线段至点C，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，取的中点D，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长线段到点C，使即可；
（2）在（1）的条件下，如果点D为线段的中点，且，即可求出线段的长．
【详解】（1）解：
（2）解：，
，
点D为线段的中点，
，
故线段的长为20．
【点睛】本题考查作图，两点间的距离，解决本题的关键是根据图形求值．
16．（2022春·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，是的一个外角，请你从下面三个条件：①，②，③平分中，选择两个作为题设，另一个作为结论，组成真命题．
(1)请问可以组成哪几个真命题，请按“☆☆⇒☆”的形式一一书写出来；
(2)请从（1）的真命题中，选择一个加以说明，并写出推理过程．
【答案】(1)有3种真命题，①②③；①③②；②③①
(2)见解析
【分析】（1）将三个命题进行组合，并根据平行线的性质与判定，角平分线的性质与判定，来判断是否符合题意；
（2）选择①②③加以说明，根据平行线的性质可知，，结合可知，进而可证明平分．
【详解】（1）解：可以组成三个真命题,即①②③；①③②；②③①；
（2）选择①②③加以说明：
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的性质与判定，能够熟练运用角平线的性质与判定是解决本题的关键．
17．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）如图，在中，，，，点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接．设点运动的时间为秒．
(1)填空：______；
(2)当为何值时，线段的长最小；
(3)当为何值时，为等腰三角形．
【答案】(1)10
(2)
(3)或
【分析】（1）勾股定理即可得解；
（2）根据垂线段最短，得到当时，线段的长最小，利用等积法求出的长，进而求出的长，即可得解；
（3）分，三种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴；
故答案为：；
（2）解：根据点到直线的距离，垂线段最短，可知：当时，线段的长最小，如图，
∵，
∴，即：，
∴，
在中，，
∴；
∴当时，线段的长最小；
（3）解：①当时，如图，
∵，
∴，
∴；
②当时，如图，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
③当时，此种情况不存在；
综上：当或时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查勾股定理，垂线段最短以及等腰三角形的判断和性质．熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
18．（2023年重庆市大渡口区初九年级第一次适应性检测数学试题）在数学课上老师提出了如下问题：
如图，，当与满足什么关系时，?
小明认为时，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
解：用直尺和圆规，在的右侧找一点M，使（只保留作图痕迹）．
∵，
∴①_____________
∵
∴②_________，
∵，
∴③__________，
∴④_____________
∴．
所以满足的关系为：当时，．
【答案】①，②，③，④
【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可．
【详解】解：如图，通过尺规作图得：，
∵，
∴①，
∵，
∴②，
∵，
∴③，
∴④，
∴．
所以满足的关系为：当时，．
故答案为：①，②，③，④．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的熟练掌握是解题关键．
19．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图：，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点．
(1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：、、之间的数量关系．
(2)如图②，当点P在线段右侧时，、、之间的数量关系为 ．
(3)若、的平分线交于点Q，且，则 ．
【答案】(1)，见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）点P作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到；
（2）点P作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到；
（3）在（1）（2）的基础上作出图形，根据邻补角得到、的和，结合角平分线得到两半角之和，根据（2）的结论即可得到答案；
【详解】（1）证明：过点P作直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过点P作直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，
① 当点P在线段左侧时，
∵，，
∴，
∴；
② 当点P在线段右侧时，
∵，，
∴
∴，
∴；
综上所述：答案为或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．
20．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）平面内有任意一点和，按要求解答下列问题：
(1)当点在外部时，如图①，过点作，，垂足分别为A、B，量一量和∠1的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系 ；
(2)当点在∠1内部时，如图②，以点P为顶点作，使的两边分别和∠1的两边垂直，垂足分别为A、B，用数学式子写出∠APB和∠1的数量关系 ；
(3)由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角 ；
(4)在图②中，若，求的度数.
【答案】(1)；
(2)；
(3)如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补；
(4)
【分析】（1）利用三角形的内角和定理，对顶角的性质解决问题即可．
（2）利用四边形内角和定理即可解决问题．
（3）利用（1）（2）中结论即可解决问题．
（4）利用（2）中结论即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，设交于．
，，
，
，
．
故答案为：；
（2）解：如图2中，
，
．
故答案为：；
（3）解：由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补．
（4）解：，
．
【点睛】本题考查垂线，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．
核心考点
核心考点一 直线和线段
核心考点二 角与角平分线
核心考点三 相交线
核心考点四 平行线的判定
核心考点五 利用平行线求角度或证明
核心考点六 命题
新题速递