最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题40 新定义问题（4大考点）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
模块三 重难点题型专项训练
专题40 新定义问题（4大考点）
考点类型一 定义新运算
1．（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
2．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为( )
①；
②；
③高斯函数中，当时，x的取值范围是；
④函数中，当时，．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】解：①，故原说法错误；
②，正确，符合题意；
③高斯函数中，当时，x的取值范围是，正确，符合题意；
④函数中，当时，，正确，符合题意；
所以，正确的结论有3个．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数．
3．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．
【答案】
【分析】根据代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
4．（2021·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）若把第n个位置上的数记为，则称，，，…，有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：﹐，…其中是这个数列中第n个位置上的数，，2，…k且并规定，．如果数列A只有四个数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是__________．
【答案】0，1，0，1
【分析】根据定义先确定x0=x4=1与x5=x1=3，可得x0，，，，， x5依次为1，3，1，2，1，3，根据定义其“伴生数列”B是y1， y2， y3， y4；依次为0， 1， 0， 1即可．
【详解】解：∵，，，依次为3，1，2，1，
∴x0=x4=1，x5=x1=3，
∴x0，，，，， x5依次为1，3，1，2，1，3，
∵x0==1，y1=0；x1≠x3，y2=1；==1，y3=0；≠x5，y4=1；
∴其“伴生数列”B是y1， y2， y3， y4；依次为0， 1， 0， 1．
故答案为：0， 1， 0， 1．
【点睛】本题考查新定义数列与伴生数列，仔细阅读题目，理解定义，抓住“伴生数列”中yn与数列A中关系是解题关键．
5．（2021·江苏南通·统考中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．
【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数，令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数，令y=x，则，
解得：(负值已舍)，
∴函数的“等值点”为A(，)；
∵函数，令y=x，则，
解得：，
∴函数的“等值点”为B(，)；
的面积为，
即，
解得：或；
（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，
∴函数W的解析式为，
令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则，即，
当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；
当时，观察图象，恰有2个“等值点”；
当时，
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴，
整理得：，
解得：．
综上，m的取值范围为或．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
一、新定义问题介绍
新定义的题目大概可分为两个问题的综合：模型化问题&变量问题
大部分问题都是两者兼有之的，不过总会偏向某一方面。
二、新定义的结构：“新定义”=定义条件+名称与表述
题干——新定义——顶点选点/求值——单变量——多变量
解决这类问题的核心就是提取模型
提取模型就是把定义条件用我们已知的几何基本模型
（有一些特殊的题提取出的模型可能是代数模型）运用所给的内容联系学过的内容。进行提取分析。
而这就是所谓“提取模型”的含义
三、新定义的类型与作用
第一问：简单，一般是给出点并选点，用于发现模型
第二问：偏难，一般是单变量问题（即只有一个变化图形），用于验证模型/初步实践模型
第三问：很难，一般是多变量问题（很多图形同时变化），用于应用/实践模型
或者
题干：得到模型，第一问：检验模型，第二问：实践模型，第三问：进一步实践模型
或者：题干：，第一问：发现模型，第二问：验证模型，第三问：实践模型
四、解决思路：
第一问：题目一般会给出几个特殊点，通过这些特殊点将能够发现某些关系（点的轨迹是个圆？可行的点在圆内还是圆上还是圆外？），帮助构建模型。
第二问：运用第一问构建出来的模型，进行关系间的操作以求得范围边界（例如相切相交之类），并且以此来验证模型是否正确且完善（例如圆上能不能取，线段端点能不能取等等），用订正后的模型再次订正这道题。
第三问：运用第二问完善得到的模型，通过对变量的处理以及几何图形的关系得到结果。
五、核心与主旨
核心：将题干中复杂的语言翻译学生的便于操作的语言
主旨：没有无缘无故的第一问，三问联动处理，逐渐递进，相互依存
1．（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）定义新运算：对于任意实数a、b，都有a*b．例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，则x1*x2的值为（ ）
A．10或﹣10B．10C．﹣10D．3或﹣3
【答案】A
【分析】首先解方程x2+x﹣6＝0，再根据运算a*b，分两种情况进行讨论求出x1*x2的值即可．
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，
∴（x﹣2）（x+3）＝0，
解得：x＝2或﹣3，
①当x1＝2，x2＝﹣3时，x1*x2＝22﹣2×（﹣3）＝10；
②当x1＝﹣3，x2＝2时，x1*x2＝﹣3×2﹣22＝﹣10．
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，已知字母的值求代数式的值，正确掌握解一元二次方程的方法求出x1，x2以及利用新定义计算是解题的关键．
2．（2022·湖南永州·统考二模）定义运算：把缩写为n！，n！叫做n的阶乘，如3！，4！．请你化简1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（ ）
A．（n＋1）！－1B．n！－1
C．（n＋1）！D．（n＋1）！＋1
【答案】A
【分析】利用乘法分配律计算求值即可；
【详解】解：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n
=1！×1＋2！×（3-1）＋3！×（4-1）＋…＋n！×（n+1-1）
=1！＋3！-2！＋4！-3！＋…＋（n+1）！-n！
=1！ -2！＋（n+1）！
=（n＋1）！－1
故选： A．
【点睛】本题考查了数字规律的探索，利用乘法分配律变形求值是解题关键．
3．（2022·湖北恩施·统考二模）定义：若10x＝N，则x＝lg10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2)2+lg2•lg5+lg5的结果为_____
【答案】1
【分析】根据题意，按照题目的运算法则计算即可．
【详解】解：∵101=10，
∴lg10=1，
∴原式=（lg2）2+lg2•lg5+lg5
=lg2（lg2+lg5）+lg5
=lg2×lg10+lg5
=lg2+lg5
=lg10
=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查学生的材料阅读理解能力，正确理解对数运算法则是解题的关键．
4．（2022·湖北十堰·校联考一模）对有理数x，y定义运算：x※y＝ax+by，其中a，b是常数．如果2※(-1)=-4，3※2>1，那么a，b的取值范围为_________
【答案】，
【分析】根据新定义的运算法则可得，即得出，，解出a、b的取值范围即可．
【详解】根据题意可知，
∴，，，，
∴，，
解得：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，二元一次方程和解一元一次不等式．理解题意掌握新定义的运算法则是解题关键．
5．（2023·重庆黔江·校联考模拟预测）阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
（，，，），理由如下：
设，，则，，
，由对数的定义得
又，
．
请解决以下问题：
(1)将指数式转化为对数式 ；
(2)求证：（，，，）；
(3)拓展运用：计算 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据指数与对数的关系求解即可；
（2）根据指数与对数的关系求证即可；
（3）利用对数运算法则求解即可．
【详解】（1）解：根据指数与对数关系得：．
故答案为：；
（2）解：设，，则，，
，
．
．
（3）解：
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查用新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关键是求解本题的关键．
6．（2022·湖北黄石·黄石十四中校考模拟预测）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
(2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【答案】(1)①不是；②是
(2)
(3)b2＝a2+4a
【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可．
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到b2＝a2+4a．
（1）
解：①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∴|x1﹣x2|＝，
∴方程2x2﹣2+1＝0是差根方程；
（2）
x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）
设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即，
∴b2＝a2+4a．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
考点类型二 新概念的理解与应用
1．（2021·山东济南·统考中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围
【详解】点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图，
当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称，
从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3，
最小值是当时，取得最小值，
．
故选D．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键．
2．（2021·湖南永州·统考中考真题）定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（ ）
A．5B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】根据新运算的定义和法则进行计算即可得．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键．
3．（2022·上海·统考中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．
【答案】##
【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可．
【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，

过圆心O，，


设的半径为
∴



整理得：
解得：

不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
4．（2022·江苏苏州·统考中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．
故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
5．（2022·湖南湘西·统考中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）
(2)
(3)存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）
【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式．
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可．
（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分来两种情况讨论：①当EG＝EF时，，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在．
【详解】（1）解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，
解得，
∴y＝x2+x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）．
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，
∴＝．
（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），
设F（x，0），
①当EG＝EF时，
∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，
∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；
②当EG＝FG时，2＝，
此时x无解；
综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
1．（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考三模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．
【详解】解：由题意可知，
当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，
∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，
当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，
∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，
综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
2．（2021·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模）定义：对于给定的一次函数（、为常数，且，把形如的函数称为一次函数的“相依函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“相依函数”图象上，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】找出一次函数的“相依函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．
【详解】解：一次函数的“相依函数”为，
∵点P（−2，m）在一次函数的“相依函数”图象上，
∴m＝−1×（−2）−1＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“相依函数”的定义，找出一次函数的“相依函数”是解题的关键．
3．（2023·江苏苏州·统考一模）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若是“倍角三角形”，，，则的面积为____________．
【答案】或4
【分析】分情况讨论，当是（或）2倍时，为等腰直角三角形；当或时，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：当时，则，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积为；
同理，当时，的面积为；
当时，
∵，
则，，
∵，
∴，，
∴的面积为；
当时，
∵，
则，，
∵，
∴，，
∴的面积为；
综上，的面积为或4；
故答案为：或4．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解“倍角三角形”的概念，分类讨论是解题的关键．
4．（2022·四川成都·校联考模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．
【答案】
【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．
【详解】解：由题意得
解得
∴函数的本源函数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．
5．（2023·河北秦皇岛·统考一模）定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
(1)写出函数的“旋转函数”；
(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；
(3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．
【答案】(1)；
(2)1；
(3)见解析．
【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的、、的值，从而得出函数解析式；
（2）根据定义得出和的二元一次方程组，从而得出答案；
（3）首先求出、、三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定．
【详解】（1）根据题意得，
解得
故解析式为：．
（2）根据题意得
∴
∴．
（3）根据题意得，，
∴，，
又
且经过点，，的二次函数为
∵
∴两个函数互为“旋转函数”．
【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．
6．（2022·山东济宁·校考二模）【定义】如图1，A，B为直线同侧的两点，过点作关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”．
【运用】
(1)如图2，在平面直角坐标系中，已知，两点．，，三点中，点________是点，关于直线的等角点；
(2)已知：如图3，矩形的顶点，分别在轴、轴上，，，矩形的对角线相交于点，点为点和点关于轴的“等角点”．求的面积．
【答案】(1)E
(2)
【分析】（1）点A关于直的对称点为，得到直线的解析式为，进而得出结论
（2）延长BA至，使，得到直线的解析式为，从而得出结论．
【详解】（1）解：点A关于直线的对称点为，
∴直线的解析式为，
当时，，
故答案为：E；
（2）解：如图，延长BA至，使，

∵，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求直线解析式、对称点的性质，正确理解题意是解题的关键．
考点类型三 几何新定义问题
1．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1B．，-1C．4，0D．，-1
【答案】D
【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
2．（2020·山东潍坊·中考真题）定义表示不超过实数的最大整数，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3.函数的图象如图所示，则方程的解为（ ）.
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【详解】试题分析：根据新定义和函数图象讨论：
当1≤x≤2时，x2=1，解得x1=，x2=﹣；
当﹣1≤x≤0时，x2=0，解得x1=x2=0；
当﹣2≤x＜﹣1时，x2=﹣1，方程没有实数解；
所以方程[x]=x2的解为0或．
故选B
考点：1、解一元二次方程﹣因式分解法；2、实数大小比较；3、函数的图象
3．（2021·上海·统考中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．
【答案】
【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解．
【详解】解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，．
∴点O与正方形边上的所有点的连线中，
最小，等于1，最大，等于．
∵，
∴点P与正方形边上的所有点的连线中，
如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；
如图3所示，当点A落在上时，最小值．
∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点，准确理解新定义的含义和熟知正方形的性质是解题的关键．
4．（2021·四川成都·统考中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________．
【答案】
【分析】先画树状图确定的所有的等可能的结果数，再分别计算符合要求的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：画树状图如下：
所以一共有种等可能的结果，
又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：
＜恒成立，为正整数，
满足条件的有：共种情况，
所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是自定义情境下的概率计算，不等式的性质，掌握利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率是解题的关键．
5．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得；
（3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得．
【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC，
则，
∵AE=AE，
∴．
（2）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
（3）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．
1．（2021·江苏南京·统考二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形（如图），以下结论：
①；
②若，则；
③若，则；
④存在凹四边形，有．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】根据凹四边形的定义及相关知识，逐项加以甄别即可．
【详解】解：①如图1，连接AC并延长到点E．
即
所以结论①正确；
②如图2，连接BD，作直线AC．
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上．
∴直线AC是线段BD的垂直平分线．
所以结论②正确；
③如图③，
由①可知，
当时，有
因再无其它已知条件证得BC=CD，所以结论③错误；
④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC．
当时，
∴AB∥CD，BC∥DA．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵平行四边形是凸四边形，
这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾．
∴不存在凹四边形ABCD，使得
所以结论④错误．
故选：A
【点睛】本题考查了对新定义的理解、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的判定、反证法等知识点，综合运用上述的知识点，对每个结论加以推理证明是解题的关键．
2．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”．例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”．若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作轴于点，连接、，如图，根据点在直线上可求出，设直线与轴相交于点，易求出，，根据勾股定理可求出、、的值，从而可求出“理想矩形” 面积．
【详解】解：过点作轴于点，连接、，如图．
点的坐标为，
，，．
点在直线上，
，
解得．
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，．
在中，．
在中，．
所求“理想矩形” 面积为；
故选：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键．
3．（2022·河南郑州·统考一模）定义：平面上一点到图形的最短距离为．如图，，等边三角形的边长为，点为等边三角形的中心，当等边三角形绕点旋转时，的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意以及等边三角形的性质得过等边三角形的顶点时，d最小，OP过等边三角形各边的中点时，d最大，分别求出d的值即可得出答案．
【详解】解：如图：过顶点A时，点O与边上所有点的连线中，最大，此时最小；设的中点是E，过点E时，点O与边上所有点的连线中，最小，此时最大，
如图1，过顶点A时，过点O作于点E，
∵等边三角形边长为，O为等边三角形的中心，
∴，，，
，
，
，
；
如图2，过点的中点E时，
∵等边三角形边长为，O为等边三角形中心，
∴，，
，
，
；
∴d的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点P的位置是解题的关键．
4．（2022·上海杨浦·统考二模）新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于_________．
【答案】
【分析】首先根据题意可知：当DE为直径时，长度取最大值，再根据圆的周长公式，即可求得
【详解】解：由题知，在△ABC内部以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长中内弧，
∵点D、E分别是边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵∠A=90°，，
∴，
∴长度，
故答案为：π．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，弧长的计算，理解题意，得到当DE为直径时，长度取最大值是解题的关键．
5．（2022·江苏淮安·统考一模）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【问题探究】
(1)如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；
(2)如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形的周长的最小值为___________；
【尝试应用】
(3)现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________．
【答案】(1)一定
(2)四边形是“等邻边四边形”，理由见解析，四边形的周长最小值为
(3)或或14
【分析】（1）根据等邻边四边形的定义和正方形的判定可得出结论；
（2）如图②中，结论：四边形是等邻四边形，利用全等三角形的性质证明即可；
（3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形．分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【详解】（1）∵四边形的邻边相等，
∴矩形一定是正方形；
故答案为：一定；
（2）如图②，四边形是等邻四边形；
理由：连接．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，都是等边三角形，
∴ ，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是等邻四边形，
∴，
∵，
∴的值最小时，四边形的周长最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
此时，，
∴四边形的周长的最小值为．
（3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
①当时，
．
②当时，设，
在中，∵，
∴，
∴，
∴．
③当时，点与重合，此时．
．
综上：四边形的面积为或或14．
【点睛】本题考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
考点类型四 函数新定义问题
1．（2020·山东潍坊·中考真题）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可．
【详解】解：当时，，
∴当时，，
即：，
当时，，
即：，∴，
∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大，
综上所述，A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键
2．（2021·四川雅安·统考中考真题）定义：，若函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．
【详解】令,
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，，
∴（），
∵y随x的增大而增大，
∴当x=2时，；
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，或，
∴（或），
∵的对称轴为x=1，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当x=2时，=3，
∴当时，y，
∴点的“倾斜系数”k=3；
（2）解：①a=2b或b=2a，
∵点的“倾斜系数”，
当=2时，则a=2b；
当=2时，则b=2a，
∴a=2b或b=2a；
②∵的“倾斜系数”，
当=2时，则a=2b
∵，
∴2b+b=3，
∴b=1，
∴a=2，
∴P(2，1)，
∴OP=；
当=2时，则b=2a，
∵，
∴a+2a=3，
∴a=1，
∴b=2，
∴P(1，2)
∴OP=；
综上，OP=；
（3）解：由题意知，当点P与点D重合时，且k=时，a有最小临界值，如图，连接OD，延长DA交x轴于E，
此时，=，
则，
解得：a=+1；
∵则;
当点P与B点重合，且k=时，a有最大临界值，如图，连接OB，延长CB交x轴于F，
此时，，
则，
解得：a=3+，
∵,则;
综上，若P的“倾斜系数”，则a>3+．
【点睛】本题考查新定义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：（1）（2）问理解新定义，（3）问求临界值．
1．（2022·湖南岳阳·统考二模）定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从而形成新图象的过程称为“非正变换”．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x＋3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”后得到的图象与直线y＝x＋m有四个交点时m的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有四个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值．
【详解】解：由y=0可知，抛物线与c轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，
“非正变换”后的图像如下图所示：
当x＜-3或c＞1时，由图像可得函数解析式仍为y=-x2-2x+3，
当-3≤x≤1时，计算可得函数解析式为y=x2+2x-3．
当直线与抛物线交于A点时，此时交点数为1；在AB点中间交点数为2；
向下移动至B点时，交点数为3，再向下移动则交点为4；
∴m＜-1．
向下移动至与抛物线相切时交点为3，在这之前交点为4个．
联立抛物线与直线，
得x2+x-3-m=0，
抛物线与直线只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，
∴△=1-4×（-3-m)=0，
∴m=-，
∴m>-．
综上，-