最新高考理数考点一遍过讲义 考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系

这是一份最新高考理数考点一遍过讲义 考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系，共34页。学案主要包含了平面的基本性质及应用，空间两直线的位置关系，空间直线与平面等内容，欢迎下载使用。
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题30 空间点、直线、平面之间的位置关系
理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.
·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
一、平面的基本性质及应用
1．平面的基本性质
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
（2）符号语言： 如图（1）、（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，，则或.
图（1） 图（2）
二、空间两直线的位置关系
1．空间两直线位置关系的分类
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：
（1）从有无公共点的角度分类：

（2）从是否共面的角度分类：

【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
2．异面直线所成的角
（1）异面直线所成角的定义
如图,已知两异面直线a,b,经过空间任一点O,分别作直线a′∥a,b′∥b,相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
（2）异面直线所成角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是.
（3）两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.
三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系
1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类
（1）直线和平面位置关系的分类
①按公共点个数分类：
②按是否平行分类：
③按直线是否在平面内分类：
（2）平面和平面位置关系的分类
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线.
2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示
3．常用结论
（1）唯一性定理
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
（2）异面直线的判定方法
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
考向一 平面的基本性质及应用
（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：
①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；
②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.
（3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：
①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；
②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.
典例1 （1）在下列命题中，不是公理的是
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
（2）给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面.
其中正确命题的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】（1）A （2）B
【解析】（1）选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.根据平面的基本性质知，选项B为公理2，选项C为公理1，选项D为公理3.
所以选A.
（2）①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确；
②中，若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E有可能不共面，故②错误；
③中，如图所示正方体的棱中，a、b共面，a、c共面，而b、c异面，故③错误；
④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误.
故选B.

1．如图所示，在空间四面体中，分别是，的中点，分别是，上的点，且.求证：
（1）四点共面；
（2）直线共点.
考向二 空间线面位置关系的判断
两条直线位置关系判断的策略：
(1)异面直线的判定方法：
①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
②反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．
(3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查.
典例2 如图，在正方体中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，
有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为
A．③④B．①②
C．①③D．②④
【答案】A
【解析】∵A、M、C、C1 四点不共面，∴直线AM与CC1 是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．
同理，直线BN与MB1 是异面直线，故③正确；
同理，直线AM与DD1 是异面直线，故④正确.
故选A．
2．已知为不同的平面,为不同的直线，则下列选项正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
典例3 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:
（1）AM和CN是否是异面直线?说明理由.
（2）D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.
【解析】（1）AM和CN不是异面直线.理由如下：
如图,连接A1C1,AC,MN,
∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点,∴MN∥A1C1.
又A1AC1C,∴A1ACC1为平行四边形,
∴A1C1∥AC,∴MN∥AC,
∴A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.
（2）D1B和CC1是异面直线,理由如下:
假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内,则B∈平面CC1D1,C∈平面CC1D1,
∴BC⊂平面CC1D1,
这与ABCD-A1B1C1D1是正方体相矛盾,
∴假设不成立,故D1B和CC1是异面直线.
3．如图所示，若分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有

A．①②B．③④
C．②④D．①③
考向三 异面直线所成的角
求异面直线所成的角的常见策略：
(1)求异面直线所成的角常用平移法．
平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．
(2)求异面直线所成角的步骤
①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
③三求：解三角形，求出作出的角．
如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
典例4 如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为
A．B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，则，过作，则，过作，则或其补角即为异面直线CD和PB所成的角，如图所示，过作，连接，则四边形是梯形，其中，，过作，则，
在中，，
则，所以，
故选A.
【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线和所成的角转化为平面角，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.
4．如图,在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.
1．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，与AD成异面直线的棱共有
A．4条 B．5条
C．6条 D．7条
2．圆心和圆上任意两点可确定的平面有
A．0个B．1个
C．2个D．1个或无数个
3．若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线
A．平行B．异面
C．相交D．以上皆有可能
4．若直线l与平面α相交，则
A．平面α内存在直线与l异面
B．平面α内存在唯一一条直线与l平行
C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直
D．平面α内的直线与l都相交
5．已知直线a/平面α,直线b⊂平面α,则
A．a//bB．a与b异面
C．a与b相交D．a与b无公共点
6．若直线aα,给出下列结论：
①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；
③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线
其中成立的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
7．已知在正方体中（如图），平面，且与不平行，则下列一定不可能的是
A．l与AD平行B．l与AB异面
C．l与CD所成的角为30°D．l与BD垂直
8．在空间中,下列命题正确的是
A．若平面α内有无数条直线与直线l平行,则
B．若平面α内有无数条直线与平面β平行,则
C．若平面α内有无数条直线与直线l垂直,则
D．若平面α内有无数条直线与平面β垂直,则
9．给出下列四种说法:
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②一条直线和一个点确定一个平面；
③若四点不共面, 则每三点一定不共线； ④三条平行线确定三个平面．
正确说法的个数为
A．1B．2
C．3D．4
10．已知为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β，直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则
A．且B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交,且交线垂直于lD．α与β相交,且交线平行于l
11．若空间中四条两两不同的直线，满足，，，则下列结论一定正确的是
A． B．
C．与既不垂直也不平行 D．与的位置关系不确定
12．如图，四棱锥，，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是
A．四点不共面B．四点共面
C．三点共线D．三点共线
13．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为
A．B．
C．D．
14．在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为
A．B．
C．D．
15．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中AB=6尺，CD=10尺，EF=8尺，AB,CD间的距离为3尺，CD,EF间的距离为7尺，则异面直线DF与AB所成角的正弦值为
A．9130130 B．7130130
C．97 D．79
16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①与平行； ②与是异面直线；
③与成角； ④与是异面直线.
以上四个命题中，正确命题的个数是
A．1B．2
C．3D．4
17．若直线a和平面α平行,且直线b⊂α,则两直线a和b的位置关系为 _____ .
18．如图所示，是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，给出下列结论：
①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1不共面；③A、M、C、O共面；④B、B1、O、M共面．
其中正确结论的序号为____________．
19．已知m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面,给出下列命题:
①若α⊥β, α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β;
②若α∩β=m,n//α,n//β,则n//m ;
③若m不垂直于平面α,则m不可能垂直于α内的无数条直线;
④若m⊥α,n⊥β, α//β,则m//n .
其中正确的是__________.(填上所有正确的序号)
20．如图，在长方体，且异面直线所成角的余弦值为，则该长方体外接球的体积为__________.
21．在四面体ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,若BD,AC所成的角为60∘,且BD=AC=2,则EF的长度为__________.
22．如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.
求证：（1）E,C,D1,F四点共面；
（2）CE,D1F,DA三线共点.
23．已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.
(1)求证:BC与AD是异面直线;
(2)求证:EG与FH相交.
24．如图，矩形所在平面与以为直径的圆所在平面垂直，为中点，是圆周上一点，且，，．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）设点是线段上的点，且满足，若直线平面，求实数的值．
1．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则
A．BM=EN，且直线BM，EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM，EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
2．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．
C．D．
3．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．
C．D．
4．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为
A． B．
C． D．
5．(2017新课标全国Ⅲ理科) a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
6．（2016上海理科）将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小.
变式拓展
1．【解析】（1）如图，连接，，
分别是的中点，.
又，，
，四点共面.
（2）易知与直线不平行，但共面，设，
则平面，平面.
∵平面平面，
，∴直线共点.
2．【答案】C
【解析】对于A选项，有可能异面，故错误；
对于B选项，可能相交或异面，故错误；
对于C选项，，显然故正确；
对于D选项，也有可能，故错误.
所以选C．
3．【答案】C
【解析】①中，，③中，连接，则且，故，必相交，②④符合题意.
故选C.
4．【解析】如图，连接.
由题意得四棱柱中，，，
∴四边形是平行四边形，
，
（或其补角）为和所成的角.
∵异面直线和所成的角为，
.
∵四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，
是等腰直角三角形，.
∵底面四边形是菱形且，，
，，
.
专题冲关
1．【答案】A
【解析】如图，与AD成异面直线的棱有BB1、CC1、A1B1、C1D1，共4条.故选A.
2．【答案】D
【解析】若圆心和圆上两点共线，则可确定无数个平面；
若圆上任意三点不共线，由不共线的三点确定一个平面，得圆上任意三点可确定的平面有且只有1个．
故选D．
3．【答案】D
【解析】若，，，位置关系如下图所示：
若，，则，可知两条直线可以平行，
由图象知，与相交，可知两条直线可以相交，
由图象知，与异面，可知两条直线可以异面，
故选D.
4．【答案】A
【解析】当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误；平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A．
5．【答案】D
【解析】若直线a/平面α,直线b⊂平面α,则a//b或a与b异面,即a与b无公共点.故选D．
6．【答案】A
【解析】∵直线aα,∴a∥α或a∩α=A.
如图,显然①②③④都有反例,所以应选A.
【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.
7．【答案】A
【解析】假设，则由，可得，这与“与不平行”矛盾，所以与不平行．
8．【答案】D
【解析】由题可得,要使直线与平面平行,则直线应平行于平面内的一条直线,且该直线在平面外,由此可得,选项A错误;要使平面与平面平行,则只需平面内两条相交直线与平面平行即可,选项B中,没说明直线是否相交,所以结论不一定成立,所以选项B错误;要使直线垂直平面,则直线垂直于平面内的任意一条直线,而无数条直线不能代表任意条,所以选项C错误,所以正确的选项是D．
9．【答案】A
【解析】两个相交平面交于一条直线,不可能有不在同一条直线上的三个公共点,故①错误;一条直线和直线外一个点确定一个平面,故②错误;假设有三点共线,则另外一点一定和这条直线在同一个平面内,即此四点共面,与题设矛盾，故空间四点不共面，则其中任意三点不共线,即③正确.三条平行线确定一个或三个平面,故④错误.故选A.
10．【答案】D
【解析】若α∥β，则由m⊥平面α，知m⊥平面β，而n⊥平面β，所以m∥n，与m,n为异面直线矛盾，所以平面α与平面β相交.由m⊥平面α,m⊥l，且l⊄α，可知l∥α,，同理可知,l∥β，所以l与两平面α,β的交线平行.故选D．
11．【答案】D
【解析】如下图所示，在正方体中，取为，为.若取为，为，则；若取为，为，则；若取为，为，则与异面，因此的位置关系不确定，故选D.

12．【答案】D
【解析】直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点，故平面，故四点共面，所以A错；
若点与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错；
在平面内，显然三点共线，则三点不共线，故C错，D正确.
故选D.
13．【答案】D
【解析】连结，由题得，故是平行四边形，则，则或其补角为异面直线和所成的角，由，可得，，故有，解得，故选D．
14．【答案】A
【解析】如图，连接EH，EF，FG，GH，因为EH是的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD.
同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC.
所以EH∥FG，且EH=FG，所以四边形EFGH为平行四边形.
因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°，所以EF=EH.
所以四边形EFGH为菱形，，
所以四边形EFGH的面积是2××()2=a2.
15．【答案】B
【解析】过点F作FG⊥DC，如图：
根据题意知AB∥CD，所以∠FDC是异面直线DF与AB所成的角，
又因为CD=10尺，EF=8尺，且侧面为等腰梯形，则DG=9尺，CD,EF间的距离为7尺，故FG=7尺，由勾股定理得DF=81+49=130尺，所以sin∠FDC=7130=7130130,故选B.
16．【答案】B
【解析】把平面展开图还原几何体如图：
由正方体的性质可知，与异面且垂直，故①错误；
与平行，故②错误；
连接，则，或其补角为与所成的角，连接，可知为正三角形，则，故③正确；
由异面直线的定义可知，与是异面直线，故④正确．
∴正确命题的个数是2．
故选B．
17．【答案】平行或异面
【解析】由条件可知直线a和b没有公共点,故直线a和b的位置关系为平行或异面.
18．【答案】①③
【解析】连接A1C1、AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM与BB1为异面直线，故④错误．
19．【答案】②④
【解析】若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n与α、β的位置关系不确定,即①错误;由线面平行的性质和平行公理可得②正确;若m不垂直于平面α,则m可垂直于α内的无数条直线,即③错误;若m⊥α,α∥β,则m⊥β,又n⊥β,所以n∥m,即④正确.故填②④.
20．【答案】
【解析】∵异面直线所成角的余弦值为，且，
∴，
在中，设.
∵，
∴，
∴，∴，
则长方体外接球的直径为，半径为.
21．【答案】1或3
【解析】如图所示,取BC的中点G,连接GE、EF、GF.因为BD,AC所成的角为60∘,所以BD,AC所成的角为∠EGF=60∘或120∘.因为BD=AC=2,所以GF=GE=1.
当∠EGF=60∘时,∆EGF为等边三角形,即EF=1;
当∠EGF=120∘时,∆EGF为等腰三角形,求得EF=3.
所以EF的长度为1或3.
22．【解析】（1）如图,连接EF,CD1,BA1.
因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥BA1.
又BA1∥CD1,所以EF∥CD1.
所以E,C,D1,F四点共面.
（2）因为EF∥CD1,EF