最新高考理数考点一遍过讲义 考点48 排列与组合

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2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题48 排列与组合
（1）理解排列、组合的概念.
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
（3）能解决简单的实际问题.
1．排列
（1）排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
（2）排列数、排列数公式
从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：
假设有排好顺序的m个空位，从n个元素中任取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m个步骤来实现.
根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有种填法.
这样，我们就得到公式，其中，且.这个公式叫做排列数公式.
n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中，即有，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成.另外，我们规定1.
于是排列数公式写成阶乘的形式为，其中，且.
注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.
2．组合
（1）组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
（2）组合数、组合数公式
从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
，其中，且.这个公式叫做组合数公式.
因为，所以组合数公式还可以写成，其中，且.
另外，我们规定.
（3）组合数的性质
性质1：.
性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的个元素的组合是一一对应关系.
性质2：.
性质2表明从个不同元素中任取m个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m个元素中不含某个元素a的组合，只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个即可，有个组合；第2类，取出的m个元素中含有某个元素a的组合，只需在除去a的其余n个元素中任取个后再取出元素a即可，有个组合.
考向一 排列数公式和组合数公式的应用
这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.
典例1 （1）若，，求的值；
（2）的值(用数字作答).
【答案】（1）7；（2）164.
【解析】（1）由题可得，即，
解得：或舍去），
.
（2）
＝（）
＝（）1
＝（）1
1
1
1
＝164．
【名师点睛】本题考查排列数组合数的运算，考查计算能力，属于基础题.（1）在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解.（2）利用求解．

1．（1）解不等式；
（2）证明：.
考向二 排列问题的求解
解决排列问题的主要方法有：
（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.
（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.
（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.
（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.
（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.
典例2 室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.经过观察这8个同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，有________种排法.（用数字作答）
【答案】576
【解析】把编号相邻的3组同学每两个同学捆成一捆，这3捆之间有种排序方法，
并且形成4个空当，再将7号与8号插进空当中有种插法，
而捆好的3捆中每相邻的两个同学都有种排法.
所以不同的排法种数为.
2．一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有
A．6种B．12种
C．36种D．72种
考向三 组合问题的求解
组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏.

典例3 某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为
A．85B．86
C．91D．90
【答案】B
【解析】方法一（直接法）:由题意，可分三类考虑：
第1类，男生甲入选,女生乙不入选:;
第2类，男生甲不入选,女生乙入选:.
第3类，男生甲入选,女生乙入选: .
∴男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31+34+21=86.
方法二（间接法）:从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有种.∴男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120−34=86.
3．在新一轮的高考改革中，一名高二学生在确定选修地理的情况下，想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习，则所选的两科中一定有生物的概率是
A．B．
C．D．
考向四 排列与组合的综合应用
先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成.
第一步：选元素，即选出符合条件的元素;
第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列;
第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.

典例4 有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有_______________种(用数字作答).
【答案】2520
【解析】方法一：先从10人中选出2人承担任务甲,再从余下8人中选出1人承担任务乙,最后从剩下的7人中选出1人承担任务丙.
根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.
方法二：先从10人中选出2人承担任务甲,再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.
根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.
4．某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有
A．60种B．90种
C．150种D．240种
1．已知，那么
A．20B．30
C．42D．72
2．下列等式中，错误的是
A． B．
C． D．
3．甲、乙等五个人排成一排，要求甲和乙不能相邻，则不同的排法种数为
A．48B．60
C．72D．120
4．某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有
A．12种B．24种
C．36种D．72种
5．从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有
A．1190种B．420种
C．560种D．3360种
6．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A． B．
C． D．
7．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母都不与他相邻，则不同坐法的总数为
A．12B．36
C．84D．96
8．数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案种数为
A．B．34
C．43D．43
9．用数字0，2，4，7，8，9组成无重复数字的六位数，其中大于420789的正整数的个数为
A．479B．180
C．455D．456
10．元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为
A．48 B．36
C．24 D．12
11．已知10件产品有2件是次品，为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为
A．6B．7
C．8D．9
12．节目单上有10个位置,现有A,B,C 3个节目,要求每个节目前后都有空位且A节目必须在B,C节目之间,则不同的节目排法有 种.
13．已知集合，，，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为___________.
14．给四面体ABCD的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法种数共有 .
15．某房间并排摆有六件不同的工艺品,要求甲、乙两件工艺品必须摆放在两端,丙、丁两件工艺品必须相邻,则不同的摆放方法有 种(用数字作答).
16．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为__________.
17．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．试问：
（1）能组成多少个不同的五位偶数？
（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）
18．某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是.
（1）该小组中男女学生各多少人？
（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）
（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）
19．4个编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中.
（1）①恰好有一个空盒子,有多少种放法?
②若把4个不同小球换成4个相同小球,恰好有一个空盒子,有多少种放法?
（2）每个盒子放1个球,并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法?
1．（2019新课标全国Ⅰ理科）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A．B．
C． D．
2．（2018新课标全国Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．B．
C．D．
3．（2017新课标全国Ⅱ理科）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种B．18种
C．24种D．36种
4．（2018新课标全国Ⅰ理科）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
5．（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．
6．（2018浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
7．（2017浙江理科）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）
8．（2017天津理科）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
变式拓展
1．【解析】（1）由，得，
化简得，解之得，①
又，
，②
由①②及得.
（2）
，
.
【名师点睛】本题主要考查排列数的计算问题，要注意中隐含了3个条件：①，；②；③的运算结果为正整数．在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解．注意常用变形，（即），的应用．
2．【答案】B
【解析】方法一：把空着的2个相邻的停车位看成一个整体，即2辆不同的车可以停进4个停车场，即不同的停车方法共有：种.
方法二：由题意，若2辆不同的车相邻，则有种方法；
若2辆不同的车不相邻，则利用插空法，2个相邻的停车位空着，利用捆绑法，
所以有种方法.
综上，共有12种方法，
所以B选项是正确的.
【名师点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意空位是相同的是解题的关键.分类讨论，利用捆绑法、插空法，即可得出结论.
3．【答案】C
【解析】从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科，数量有，
所选的2科中一定有生物，则需在从历史、政治、化学、物理4科中选1科，数量有，
所以其概率为.
故答案为C项.
【名师点睛】本题考查组合问题，古典概型的计算，属于简单题.先计算出从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科的数量，然后计算出按照两科里有生物，再选另一科的数量.最后根据古典概型的计算公式，得到答案.
4．【答案】C
【解析】将5个班分成3组，有两类方法：
（1）3，1，1，有种；
（2）2，2，1，有种.
所以不同的安排方法共有种.
故选C.
【名师点睛】本题主要考查了排列组合的实际应用问题：分组分配，注意此类问题一般要先分组再分配（即为排列），属于基础题.先将5人分成3组，3，1，1和2，2，1两种分法，再分配，应用排列组合公式列式求解即可.
专题冲关
1．【答案】B
【解析】，则.故选B.
【名师点睛】本题考查了排列数和组合数的计算，属于简单题.
2．【答案】C
【解析】通过计算得到选项A，B，D的左、右两边都是相等的.
对于选项C，，所以选项C是错误的.故答案为C．
3．【答案】C
【解析】甲、乙等五个人排成一排，要求甲和乙不能相邻，
故先安排除甲、乙外的3人，共种方法，
然后安排甲、乙在这3人之间的4个空里，共种方法，
所以不同的排法种数为，
故选C项.
【名师点睛】本题考查排列问题，利用插空法解决不相邻问题，属于简单题.求解时，因为甲和乙不能相邻，利用插空法列出不同的排法的算式，得到答案.
4．【答案】C
【解析】由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有C42=6(种)，
再把这个整体与其他2人进行全排列，对应3个活动小组，有A33=6(种)情况，
所以共有6×6=36(种)不同的报名方法.
5．【答案】B
【解析】要求参赛的3人中既有男生又有女生，分为两种情况：
第一种情况：1名男生2名女生，有种选法；
第二种情况：2名男生1名女生，有种选法，
由分类计算原理可得不同的选法有种.
故选B．
【名师点睛】本题考查分类计数原理和组合的应用，属于基础题.
6．【答案】D
【解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：
（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；
（2）周六、周日各2人，有种不同的结果，
故周六、周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，
所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，选D．
7．【答案】B
【解析】记事件小明的父亲与小明相邻，事件小明的母亲与小明相邻，
对于事件，将小明与其父亲捆绑，形成一个元素，与其他三个元素进行排序，
则，同理可得，
对于事件，将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则，由容斥原理可知，所求的坐法种数为，故选B．
【名师点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法以及容斥原理的应用，解题时要合理利用分类讨论思想与总体淘汰法，考查逻辑推理能力，属于中等题.
8．【答案】B
【解析】将12名同学平均分成四组共有种方案，四组分别研究四个不同课题共有种方案，第一组选择一名组长有3种方案，第二组选择一名组长有3种方案，第三组选择一名组长有3种方案，第四组选择一名组长有3种方案，选取组长的方案共有34种，
根据分步乘法计数原理，可知满足题目要求的种数为34=34，故选B．
9．【答案】C
【解析】若十万位大于，则有个；
若十万位等于，当万位大于时，有个，
当万位等于千位不等于时，有个，
当万位等于千位等于时，有个，
则一共有个.故选C．
【名师点睛】排列组合问题中涉及满足要求的几位数的个数时候，采用分类讨论比较方便，能精准的将满足要求的每类数利用排列数、组合数计算出来.
10．【答案】C
【解析】分3步进行：
①歌曲节目排在首尾，有A22=2种排法.
②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间，有A22=2种排法.
③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，
将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，有A22A31=6种排法，
则这6个节目出场的不同编排种数为2×2×6=24，故选C．
11．【答案】C
【解析】设抽取件，次品全部检出的概率为，化简得，代入选项验证可知，当时，符合题意，故选C．
【名师点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.
12．【答案】40
【解析】除A，B，C 3个节目外，还有7个位置，共可形成6个空，从6个空中选3个位置安排3个节目，有C63种方法，又A在中间，所以B，C有A22种方法，所以总的排法有C63A22=40种.
13．【答案】
【解析】由组合数的性质得出，不考虑任何限制条件下不同点的个数为，
由于，坐标中同时含和的点的个数为，
综上所述：所求点的个数为，故答案为.
【名师点睛】本题考查排列组合思想的应用，常用的就是分类讨论和分步骤处理，本题中利用总体淘汰法，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14．【答案】96
【解析】由题意知，第一步涂DA有四种方法;第二步涂DB有三种方法;第三步涂DC有两种方法;第四步涂AB，若AB与DC相同，则一种涂法，第五步可分两种情况，若BC与AD相同，最后一步涂AC有两种涂法，若BC与AD不同，最后一步涂AC有一种涂法.若第四步涂AB，AB与CD不同，则AB涂第四种颜色，此时BC，AC只有一种涂法.综上，总的涂法种数是4×3×2×[1×(2+1)+1×1]=96.
15．【答案】24
【解析】甲、乙两件工艺品的摆放方法有A22种，丙、丁与剩余的两件工艺品的摆放方法有A22A33种，由分步乘法计数原理可知，不同的摆放方法有A22A22A33=24种.
16．【答案】
【解析】由题意，对六艺“礼、乐、射、御、书、数”进行全排列，基本事件的总数为种，
满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：
当第一节是“数”，共有种不同的排法；
当第二节是“数”，共有种不同的排法，
所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为.
【名师点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理分类求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
17．【解析】（1）偶数在末尾，五位偶数共有＝576个．
（2）五位数中，偶数排在一起的有＝576个．
（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有＝144个．
【名师点睛】本题主要考查了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．求解时，（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列；（2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.
18．【解析】（1）设男生有人，则，即，解之得，，
故男生有6人，女生有3人.
（2）方法一：按坐座位的方法：
第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有种；
第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择，
故一共有种重新站队方法.
方法二：除序法：
第一步：9名学生站队共有种站队方法；
第二步：3名女生有种站队顺序；
故一共有种站队方法，
所以重新站队方法有种.
（3）第一步：将6名男生分成3组，共有种；
第二步：3名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种；
第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种.
故一共有种站队方法.
【名师点睛】本题考查排列组合中的分类讨论，插空法、除序法等，属于中档题.求解时，（1）设男生有人，表示出其概率，然后得到男女生人数；（2）方法一：按坐座位的方法分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对9人全排，然后对3名女生除序；（3）先对6名男生分成3组，再对3名女生全排后，将3组男生插空，每组男生全排，得到答案.
19．【解析】（1）①方法一：4个小球不同，4个盒子也不同，是排列问题，恰好有一个空盒子的放法可分两步完成.
第一步，先将4个小球中的2个“捆”在一起，有C42种方法;
第二步，把“捆”在一起的球与其他2个球分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A43种方法.
所以共有C42A43=144(种)放法.
方法二：因为有一个盒子是空的，所以先将这4个小球分为三份，有种方法，再将这三份小球放入4个盒子中的3个盒子里，有A43种放法，所以共有·A43=144(种)放法.
②这里的小球是相同的，只是盒子不同，是组合问题，可分两步完成.
第一步，先从4个盒子中选出3个盒子有C43种方法;
第二步，从3个盒子中选出1个盒子放2个小球有C31种方法.
所以共有C43·C31=12(种)放法.
（2）分两步完成.
第一步，从4个不同的小球中选1个小球，使它的编号与盒子编号相同有C41种方法;
第二步，另外3个小球与盒子编号均不同，只有2种方法.
所以共有C41·2=8(种)放法.
直通高考
1．【答案】A
【解析】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有种情况，其中6爻中恰有3个阳爻的情况有种情况，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．
【名师点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．
2．【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C102=45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
3．【答案】D
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种． 故选D．
【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
4．【答案】16
【解析】根据题意，没有女生入选有C43=4种选法，从6名学生中任意选3人有C63=20种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20−4=16种，故答案是16.
【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多、至少问题时多采用间接法，即利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
5．【答案】
【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有种方法，其中恰好选中2名女生的方法有种，因此所求概率为.
6．【答案】1260
【解析】若不取0，则排列数为C52C32A44；
若取0，则排列数为C52C31A31A33,
因此一共有C52C32A44+C52C31A31A33=1260个没有重复数字的四位数.
7．【答案】660
【解析】由题意可得，“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”总的选择方法为（种）方法，
其中“服务队中没有女生”的选法有（种）方法，
则满足题意的选法有：（种）．
【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．
8．【答案】
【解析】．
【名师点睛】计数原理包含分类加法计数原理和分步乘法计数原理，本题中组成的四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，先利用分步乘法计数原理求每一类中的结果数，然后利用分类加 法计数原理求总的结果数．