2023-2024学年安徽省芜湖市南陵县八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市南陵县八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 1 cm，2 cm，3.5cmB. 4 cm，5 cm，9 cm
C. 5 cm，8 cm，15 cmD. 6 cm，8 cm，9 cm
3.若分式x−12−x有意义，则x的取值范围是( )
A. x<2B. x≠0C. x≠1且x≠2D. x≠2
4.如图，△ABC≌△DEC，若∠DCB=85∘，∠BCE=40∘，则∠ACE的度数为( )
A. 5∘
B. 10∘
C. 15∘
D. 20∘
5.以下计算正确的是( )
A. (−2ab2)3=8a3b6B. 3ab+2b=5ab
C. (−x2)⋅(−2x)3=−8x5D. 2m(mn2−3m2)=2m2n2−6m3
6.若am=3，an=5，则a2m+n=( )
A. 15B. 30C. 45D. 75
7.△ABC中，AD是中线，点D到AB，AC的距离相等，则△ABC一定是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
8.若关于x的分式方程1−mx−1−1=21−x的解是正数，则m的取值范围是( )
A. m<4且m≠3B. m<4C. m≠3D. m>4且m≠3
9.已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180∘；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF.其中正确的是( )
A. ①②④
B. ①②③
C. ②③④
D. ①②③④
10.若整数a使关于x的不等式组2x−7≥x−8a−6x4>−2有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程ay−3+33−y=−1的解满足y<7，则所有满足条件的整数a的值之和为( )
A. 8B. 6C. 10D. 7
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：计算(−3a2b)3÷a=______.
12.方程3x+2−1x=0的解为______.
13.已知一个多边形的内角和为1080∘，则它的边数为______.
14.如图，平面直角坐标系中有点B(−1,0)和点A(0,2)，以A点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，则C点的坐标为______.
15.若n满足关系式(n−2022)2+(2023−n)2=5，则代数式(n−2022)(2023−n)的值是______.
16.如图，在锐角三角形ABC中，AC=6，△ABC的面积为12，CD平分∠ACB，若M、N分别是CD、BC上的动点，则BM+MN的最小值是______.
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：(2a2)3−7a2×a4+a12÷a6.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(1−1x+1)÷x2−xx2−2x+1，其中x=5.
19.(本小题7分)
如图，已知△ABC的顶点都在正方形网格的格点上.
(1)请画出△ADE，使得△ADE与△ABC关于直线OP对称；
(2)若正方形网格中的最小正方形的边长为2，试求△ADE的面积.
20.(本小题6分)
如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=40∘，∠C=70∘，求∠DAE的度数.
21.(本小题7分)
某花卉种植基地决定采购甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元，且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同.
(1)求甲、乙两种兰花每株成本分别是多少元.
(2)该基地决定在成本不超过29000元的前提下，培育甲、乙两种兰花，若培育乙种兰花的株数比培育甲种兰花的株数的3倍还多10株，求最多购进甲种兰花多少株？
22.(本小题10分)
(1)图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形.请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积.
方法1：______.方法2：______.
(2)利用等量关系解决下面的问题：
①a−b=5，ab=−6，求(a+b)2和a2+b2的值；
②已知x−1x=3，求x4+1x4的值.
23.(本小题11分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60∘，点E在△ABC外，∠BCE=150∘，∠ABE=60∘.
(1)求∠ADB的度数；
(2)判断△ABE的形状并加以证明；
(3)连接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.图形是轴对称图形，不符合题意；
B.图形不是轴对称图形，符合题意；
C.图形是轴对称图形，不符合题意；
D.图形是轴对称图形，不符合题意．
故选：B.
根据轴对称图形的定义解答即可．
本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2.【答案】D
【解析】【分析】
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
【解答】
解：A、∵1+2=3<3.5，∴不能构成三角形，故本选项错误；
B、∵4+5=9，∴不能构成三角形，故本选项错误；
C、∵8+5=13<15，∴不能构成三角形，故本选项错误；
D、∵8−6<9<8+6，∴能构成三角形，故本选项正确．
故选：D.
3.【答案】D
【解析】解：由题意得：2−x≠0，
解得：x≠2，
故选：D.
根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠DCB=85∘，∠BCE=40∘，
∴∠DCE=∠DCB−∠BCE=45∘，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=45∘，
∴∠ACE=∠ACB−∠BCE=45∘−40∘=5∘.
故选：A.
根据角的和差得到∠DCE=45∘，再根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠DCE=45∘，再根据角的和差即可求出∠ACE的度数．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查整式的运算.熟练掌握幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则是解题的关键．
利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则即可求解.
【解答】
解：A、(−2ab2)3=−8a3b6，A错误；
B、3ab+2b不能合并同类项，B错误；
C、(−x2)(−2x)3=8x5，C错误；
D、2m(mn2−3m2)=2m2n2−6m3，D正确.
故选：D.
6.【答案】C
【解析】解：∵am=3，an=5，
∴a2m+n=(am)2×an=9×5=45.
故选：C.
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AD是中线，
∴S△ABD=S△ACD，
∵D到AB，AC的距离相等，
∴AB=AC，
∴△ABC一定是等腰三角形，
故选：B.
根据中线的性质得出S△ABD=S△ACD，再由点D到AB，AC的距离相等，得出AB=AC，从而得出△ABC一定是等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定以及中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：方程两边同时乘以x−1得，1−m−(x−1)+2=0，
解得x=4−m.
∵x为正数，
∴4−m>0，解得m<4.
∵x≠1，
∴4−m≠1，即m≠3.
∴m的取值范围是m<4且m≠3.
故选：A.
先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理得到△ABD≌△EBC，由全等三角形的性质得到∠BCE=∠BDA，AD=EC，再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE，即AD=AE=EC，于是得到结论．
【解答】
解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
BD=BC∠ABD=∠EBCBE=BA，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，故①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD=BC，BE=BA，
∴∠BDC=∠BCD，∠BEA=∠BAE，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180∘，故②正确；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
故③正确；
④过E作EG⊥BC交BC延长线于G点，
∵E是BD上的点，
∴EF=EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
BE=BEEG=EF，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF(HL)，
∴BG=BF，
在Rt△CEG和Rt△AEF中，
EG=EFCE=AE，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF(HL)，
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG−CG=BF+BG=2BF，故④正确．
故选：D.
10.【答案】D
【解析】解：不等式组2x−7≥x−8a−6x4>−2的解集是−1≤x∵该不等式组有且只有3个整数解，
∴1分式方程ay−3+33−y=−1的解是y=6−a(y≠3)，
∵y<7，即6−a<7，解得a>−1，且a≠3.
综上，−1∴a=0，1，2，4，
∴0+1+2+4=7.
故选：D.
分别解不等式组和分式方程，确定a的取值范围，进而求解即可．
本题考查分式方程、一元一次不等式组等，熟练掌握它们的解法是本题的关键．
11.【答案】−27a5b3/−27b3a5
【解析】解：(−3a2b)3÷a=−27a6b3÷a=−27a5b3，
故答案为：−27a5b3.
先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可得到答案．
本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
12.【答案】x=1
【解析】【分析】
方程两边都乘以x(x+2)得出3x−(x+2)=0，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
【解答】
解：3x+2−1x=0，
方程两边都乘以x(x+2)，得3x−(x+2)=0，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x(x+2)≠0，
所以分式方程的解是x=1.
故答案为：x=1.
13.【答案】8
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180(n−2)=1080，
解得：n=8.
故答案为：8.
首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180∘(n−2)，即可得方程180(n−2)=1080，解此方程即可求得答案．
此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
14.【答案】(−2,3)
【解析】解：作CE⊥y轴于E.
∵A(−1,0)，B(0,2)，
∴OA=1，OB=2，
∵∠CBA=90∘，
∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90∘，
∴∠ECB+∠EBC=90∘，∠CBE+∠ABO=90∘，
∴∠ECB=∠ABO，
在△CBE和△BAO中，
∠ECB=∠ABO∠CEB=∠AOBBC=AB，
∴△CBE≌△BAO(AAS)，
∴CE=BO=2，BE=AO=1，
即OE=1+2=3，
∴C(−2,3)，
故答案为：(−2,3).
由“AAS”可证△CBE≌△BAO，可得CE=BO=2，BE=AO=1，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15.【答案】−2
【解析】解：设n−2022=a，2023−n=b，
则a+b=1，a2+b2=5，
∴(n−2022)(2023−n)=ab=(a+b)2−(a2+b2)2=12−52=−2，
故答案为：−2.
设n−2022=a，2023−n=b，根据完全平方公式计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：在AC上取一点P，使得CP=CN，如图所示：
∵CD平分∠ACB，
∴∠PCM=∠NCM，
∵CP=CN，CM=CM，
∴△PCM≌△NCM(SAS)，
∴MN=MP，
∴BM+MN=BM+MP，
∵BM+MP≥BP，
∴当B、M、P三点共线，且BP⊥AC时，BM+MP有最小值，即此时BM+MN最小，最小值为BP的长，
∵△ABC的面积为12，
∴S△ABC=12AC⋅BP=12，
又∵AC=6，
∴BP=4，
∴BM+MN最小值为4，
故答案为：4.
在AC上取一点P，使得CP=CN，证明△PCM≌△NCM得到MN=MP，进而推出当B、M、P三点共线，且BP⊥AC时，BM+MP有最小值，即此时BM+MN最小，最小值为BP的长，里面面积法求出BP的长即可得到答案．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：原式=8a6−7a6+a6
=2a6.
【解析】根据幂的相关运算法则即可求解．
本题考查幂的相关运算．掌握运算法则是解题关键．
18.【答案】解：原式=(x+1x+1−1x+1)⋅(x−1)2x(x−1)
=xx+1⋅x−1x
=x−1x+1，
当x=5时，原式=5−15+1=23.
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△ADE即为所求；
(2)△ADE的面积=12×8×4=16.
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A，D，E即可；
(2)利用三角形面积公式求解．
本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
20.【答案】解：∵∠B=40∘，∠C=70∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=70∘，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAC=35∘，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=75∘，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90∘，
∴∠DAE=180∘−∠ADE−∠AED=15∘.
【解析】由三角形的内角和可得∠BAC=70∘，再由角平分线可求得∠BAE=∠EAC=35∘，从而可得∠AEC=∠B+∠BAE=75∘，结合AD⊥BC，即可求∠DAE的度数．
本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，解答的关键是熟记三角形内角和为180∘.
21.【答案】解：(1)设每株乙种兰花的成本为x元，则每株甲种兰花的成本为(x+100)元由题意得，
1200x+100=900x，
解得，x=300，经检验x=300是分式方程的解，
∴x+100=300+100=400(元)，
答：每株甲种兰花的成本为400元，每株乙种兰花的成本为300元；
(2)设购进甲种兰花a株，
由题意得400a+300(3a+10)≤29000，
解得，a≤20，
∵a是整数，
∴a的最大值为20，
答：最多购进甲种兰花20株．
【解析】(1)如果设每株乙种兰花的成本为x元，由“每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元”，可知每株甲种兰花的成本为(x+100)元，根据题中等量关系列出方程；
(2)设购进甲种兰花a株，根据乙种兰花的株数比甲种兰花的3倍还多10株，成本不超过29000元，列出不等式即可．
此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式．
22.【答案】(m+n)2−4mn(m−n)2
【解析】解：(1)方法1，∵图②中大正方形的边长为(m+n)，
∴图②中大正方形的面积为：(m+n)2，
∵图①中长方形的为2m、宽为2n，
∴图①中长方形的面积为：2m⋅2n=4mn，
又∵S阴影=图②中大正方形的面积-图①中长方形的面积，
∴S阴影=(m+n)2−4mn，
方法2：∵图②中小正方形的边长为(m+n)，
∴S阴影=小长方形的面积=(m−n)2，
故答案为：(m+n)2−4mn；(m−n)2.
(2)由(1)得：(m+n)2−4mn=(m−n)2，
①∴(a+b)2−4ab=(a−b)2，
即(a+b)2=(a−b)2+4ab，
∵a−b=5，ab=−6，
∴(a+b)2=52−4×(−6)=49，
∵(a+b)2=49，
∴a2+b2+2ab=49，
∴a2+b2=49−2ab=49−2×(−6)=61；
②∵x−1x=3，
∴(x−1x)2=9，
∴x2+1x2−2=9，
∴x2+1x2=11，
∴(x2+1x2)2=121，
∴x4+1x4+2=121，
∴x4+1x4=119.
(1)方法1，根据“S阴影=图②中大正方形的面积-图①中长方形的面积”即可得出答案；根据图②中小正方形的边长为(m+n)，S阴影=小长方形的面积即可得出答案；
(2)①由(1)中所得的等量关系得(a+b)2−4ab=(a−b)2，将a−b=5，ab=−6代入即可得(a+b)2的值；再根据(a+b)2=49得a2+b2+2ab=49，据此可得a2+b2的值；
②将x−1x=3平方得x2+1x2=11，再将x2+1x2=11平方即可得出x4+1x4的值..
此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
23.【答案】(1)解：∵BD=BC，∠DBC=60∘，
∴△DBC是等边三角形，
∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60∘，
在△ADB和△ADC中，
AB=ACAD=ADDB=DC，
∴△ADB≌△ADC(SSS)，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=12×(360∘−60∘)=150∘.
(2)解：结论：△ABE是等边三角形．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60∘，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
∠ADB=∠ECBBD=BC∠ABD=∠EBC，
∴△ABD≌△EBC(ASA)，
∴AB=EB，
∵∠ABE=60∘，
∴△ABE是等边三角形．
(3)解：连接DE.
∵∠BCE=150∘，∠DCB=60∘，
∴∠DCE=90∘，
∵∠EDB=90∘，∠BDC=60∘，
∴∠EDC=30∘，
∴EC=12DE=4，
∵△ABD≌△EBC已证)，
∴AD=EC=4.
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30∘角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
(1)首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60∘，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB=∠ADC即可解决问题．
(2)结论：△ABE是等边三角形．只要证明△ABD≌△EBC即可．
(3)首先证明△DEC是含有30∘角的直角三角形，求出EC的长，利用全等三角形的性质即可解决问题．