2023-2024学年浙江省杭州市上城区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市上城区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列体育运动图标中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知三角形两边的长分别为2、4，第三边的长为整数，则第三边的长为( )
A. 1B. 2C. 5D. 6
3.能说明命题“|a|>0”是假命题的一个反例是( )
A. a=−2B. a=0C. a=5D. a=π
4.如图，在△ABC和△ADE中，AC=AE，AB=AD，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△ADE的是( )
A. BC=DE
B. ∠BAC=∠DAE
C. ∠BAD=∠CAE
D. ∠B=∠D
5.已知点P(2,a)关于y轴的对称点为Q(b,−1)，则ab的值为( )
A. 2B. −1C. −2D. −3
6.已知a>b，下列不等式成立的是( )
A. −2a<−2bB. a−27.若实数a，b满足ab>0，且a>0，则函数y=ax+b的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.如图，DE和DF分别是线段AB和BC的垂直平分线，若∠A=70∘，∠C=40∘，则∠B的度数为( )
A. 100∘B. 110∘C. 120∘D. 130∘
9.已知(x1,y1)，(x2,y2)为直线y=−x+1上的两个点，且x1A. 若x2>0，则y1>0B. 若x2>0，则y1<0
C. 若x2<0，则y1>0D. 若x2<0，则y1<0
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，首先沿着CD折叠，点B落在点E处，然后沿着FG折叠，使得点A与点E重合，则下列说法中( )
①EF⊥CE；
②若BC=3，AC=4，那么FG=2140.
A. ①正确，②正确B. ①正确，②错误C. ①错误，②正确D. ①错误，②错误
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.x的2倍与5的差是负数，用不等式表示为______.
12.请写一个过(1,0)的一次函数表达式：______.
13.平面直角坐标系中，已知点P(1,−3)，则点P到x轴的距离是______.
14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80∘，CD是角平分线，DE//BC，交AC于点E，则∠CDE=______ ∘.
15.函数y1=x+1和y2=−x+b的交点落在第二象限，则b的取值范围为______.
16.如图，在△ABC中，AB=AC，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点.
(1)若△DEF的周长是8，则△ABC的周长是______；
(2)若AE：EC=3：2，则AF：EF=______.
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组3−x>2xx−12≥x3−1，并把不等式组的解集在数轴上表示出来.
18.(本小题8分)
如图，AD=AE，BD=CE.
(1)求证：∠B=∠C；
(2)若∠A=40∘，∠BEC=70∘，求∠C的度数.
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−5,2)，B(−4,5)，C(m,n).
(1)点C落在y轴正半轴，且到原点的距离为3，则m=______，n=______；
(2)在平面坐标系中画出△ABC；
(3)若△ABC边上任意一点P(x0,y0)平移后对应点P1(x0+4,y0−1)，在平面直角坐标系中画出平移后的△A1B1C1.
20.(本小题10分)
燃油车和新能源车是人们在购车过程中的两个不同选择，方方调查了两款售价相同的燃油车和新能源车的相关数据.燃油车每千米的行驶费用为0.6元，若行驶距离均为600km，燃油车的花费比新能源车多300元.
(1)求新能源车每千米的行驶费用；
(2)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为6000元和9000元，问：每年行驶里程超过多少千米后，新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)
21.(本小题10分)
在△ABC中，BD=AB，AD=CD，若∠C=α，∠B=β.
(1)若α=35∘，求β的值；
(2)求β关于α的函数表达式，并写出自变量α的取值范围；
(3)判断点D能否为BC的中点，若能，求出α的值；若不能，请说明理由.
22.(本小题12分)
一次函数y1=kx+b(k≠0)恒过定点(3,2).
(1)若一次函数y1=kx+b还经过(0,5)点，求k的值；
(2)一次函数y1=kx+b不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)另一函数y2=x−1，满足y1−y2=b+1，且k≠1，求x的值.
23.(本小题12分)
【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，∠A和∠C互为对角，若这个四边形满足：∠A+∠C=180∘，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”.
【问题解决】
(1)若四边形ABCD是“对角互补四边形”，且∠B=3∠D，求∠B的度数；
(2)如图②，∠MON=60∘，OB平分∠MON，A是射线ON上一动点，C是射线OM上的动点，且四边形COAB是“对角互补四边形”.
①若△COB是等腰三角形，求∠BAN的度数；
②若OB=m，若S△BOC：S△BOA=n，求OC的长(用含m、n的代数式表示).
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：设第三边的长为x，
则4−2∵第三边的长为整数，
∴第三边的长为3或4或5，
故选：C.
根据三角形的三边关系得出第三边的范围，进而得到答案．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵02=0，
∴当a=0时，该命题是假命题，
故选：B.
根据题意，只要举例说明0的平方等于0即可．
本题主要考查了命题和定理，熟练掌握举反例的方法是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵AC=AE，AB=AD，
添加BC=DE，利用SSS判定△ABC≌△ADE；
添加∠BAC=∠DAE，利用SAS判定△ABC≌△ADE；
添加∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，利用SAS判定△ABC≌△ADE；
添加∠B=∠D，不能判定△ABC≌△ADE；
故选：D.
由于AC=AE，AB=AD，所以根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
5.【答案】A
【解析】解：因为点P(2,a)关于y轴的对称点为Q(b,−1)，
所以a=−1，b=−2，
所以ab=(−1)×(−2)=2.
故选：A.
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)，进而得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：A.由a>b，得−2a<−2b，故本选项符合题意；
B.由a>b，得a−2>b−2，故本选项不符合题意；
C.由a>b，得a+2>b+2，故本选项不符合题意；
D.由a>b，得3a>3b，故本选项不符合题意．
故选：A.
根据不等式的性质解答即可．
此题主要考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
7.【答案】D
【解析】解：∵ab>0，且a>0，
∴a>0，b>0，
∴函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限．
故选：D.
利用ab>0，且a>0，得到a>0，b>0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b).
8.【答案】B
【解析】解：连接BD，如图1，
∵DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，
∴AD=BD，CD=BD，
即AD=BD=CD，
∴∠A=∠2=70∘，∠1=∠C=40∘，
∴∠ABC=∠1+∠2=70∘+40∘=110∘，
故选：B.
根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，CD=BD，求出AD=BD=CD，根据等边对等角得出∠A=∠2，∠1=∠C，再逐个判断即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵(x1,y1)，(x2,y2)为直线y=−x+1上的两个点，且x1∴y1>y2.
当x=0时，y=−1×0+1=1，
∴点(0,1)在直线y=−x+1上，
∴当x2<0时，y2>1，
∴若x2<0，则y1>0.
故选：C.
由k=−1<0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合x1y2，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点(0,1)在直线y=−x+1上，由x2<0，可得出y2>1，结合y1>y2，即可得出若x2<0，则y1>0.
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=90∘，
∴∠A+∠B=90∘，
由折叠得∠FEG=∠A，∠CED=∠B，
∴∠FEG+∠CED=∠A+∠B=90∘，
∴∠CEF=180∘−(∠FEG+∠CED)=90∘，
∴EF⊥CE，
故①正确；
∵BC=3，AC=4，
∴AB= BC2+AC2= 32+42=5，
∵∠BDC=∠EDC=12×180∘=90∘，
∴CD⊥AB，
∴12×5CD=12×3×4=S△ABC，
∴CD=125，
∴DE=DB= BC2−CD2= 32−(125)2=95，
∴AE=AB−2DE=5−2×95=75，
∴AG=EG=12AE=12×75=710，
∵EF2+EC2=CF2，EF=AF，EC=BC=3，CF=4−AF，
∴AF2+32=(4−AF)2，
解得AF=78，
∵∠AGF=∠EGF=12×180∘=90∘，
∴FG= AF2−AG2= (78)2−(710)2=2140，
故②正确，
故选：A.
由∠ACB=90∘，得∠A+∠B=90∘，由折叠得∠FEG=∠A，∠CED=∠B，则∠FEG+∠CED=∠A+∠B=90∘，所以∠CEF=90∘，则EF⊥CE，可判断①正确；由BC=3，AC=4，根据勾股定理求得AB=5，而∠BDC=∠EDC=12×180∘=90∘，所以12×5CD=12×3×4=S△ABC，求得CD=125，进而求得DE=DB= BC2−CD2=95，则AE=AB−2DE=75，所以AG=EG=710，由EF=AF，EC=BC=3，CF=4−AF，根据勾股定理得AF2+32=(4−AF)2，求得AF=78，而∠AGF=∠EGF=12×180∘=90∘，所以FG= AF2−AG2=2140，可判断②正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出CD的长和AF的长是解题的关键．
11.【答案】2x−5<0
【解析】解：∵x的2倍与5的差是负数，
∴2x−5<0，
故答案为：2x−5<0.
根据x的2倍与5的差是负数可得不等式．
本题考查了不等式的应用，能根据题意列出不等关系是解题的关键．
12.【答案】y=x−1(答案不唯一)
【解析】解：设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)，
∵函数图象经过(1,0)，
∴k+b=0，
∴当k=1时，b=−1，
∴函数的解析式可以为y=x−1.
故答案为：y=x−1(答案不唯一).
设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)，再把(1,0)代入求出b的值即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：P到x轴的距离是|−3|=3.
故答案为：3.
根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
14.【答案】25
【解析】解：∵AB=AC，∠A=80∘，
∴∠B=∠ACB=12×(180∘−80∘)=50∘，
∵CD是角平分线，
∴∠BCD=∠DCE=12∠ACB=25∘，
∵DE//BC，
∴∠CDE=∠BCD=25∘，
故答案为：25.
根据等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
15.【答案】−1【解析】解：令y=0，则x+1=0，解得x=−1，
∴函数y1=x+1与x轴的交点为(−1,0)，
令x=0，则y=1，
∴函数y1=x+1与y轴的交点为(0,1)，
把(−1,0)代入y2=−x+b，求得b=−1，
把(0,1)代入y2=−x+b，求得b=1，
函数y1=x+1和y2=−x+b的交点落在第二象限，则b的取值范围为：−1故答案为：−1求得y=x+1与坐标轴的交点，然后吧交点坐标分别代入y=−x+b，求得b的值，根据第二象限点的坐标特征即可得到答案．
本题考查的是两条直线相交的问题，正确求出交点在坐标轴上时的b的值是解题的关键．
16.【答案】16 2：1
【解析】解：∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∵BE⊥AC，点F为BC的中点，
∴BC=2EF，
∵BE⊥AC，点D是AB的中点．
∴AB=2DE，
∵点F为BC的中点，点D是AB的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴AC=2DF，
∴△ABC的周长是△DEF的周长的2倍，
∵△DEF的周长是8，
∴△ABC的周长是16，
故答案为：16；
(2)∵AE：EC=3：2，
∴设AE=3x，EC=2x，
则AC=AB=5x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE=4x，
在Rt△BCE中，
∵CE=2x，BE=4x，
∴BC=2 5x，
∵BC=2EF，
∴EF= 5x，
∵BC×AF=AC×BE，
即：2 5x×AF=5x×4x，
解得：AF=2 5x，
∴AF：EF=2 5x： 5x=2：1，
故答案为：2：1，
(1)根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质证明△ABC的周长是△DEF的周长的2倍解答即可；
(2)根据题意设AE=3x，EC=2x，利用勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求得AF和EF的值，进而解答即可．
本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
17.【答案】解：{3−x>2x①x−12⩾x3−1②，
解不等式①得：x<1，
解不等式②是：x≥−3，
其解集在数轴上表示为：
故原不等式组的解集为：−3≤x<1.
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵AD=AE，BD=CE，
∴AB=AC，
在△ACD和△ABE中，
AB=AC∠A=∠AAD=AE，
∴△ACD≌△ABE(SAS)，
∴∠B=∠C；
(2)∵∠A=40∘，∠BEC=70∘，
∴∠B=∠BEC−∠A=70∘−40∘=30∘，
又由(1)得，∠B=∠C，
∴∠C=∠B=30∘，
答：∠C的度数为30∘.
【解析】(1)根据三角形全等的判定SAS推出△ACD≌△ABE，再根据三角形全等的性质：对应角相等，即可证明；
(2)根据三角形外角性质和等量代换及(1)中的∠B=∠C，即可求出∠C的度数．
本题考查三角形外角性质及三角形全等的判定和性质的应用，解题的关键是对性质和判定是熟练掌握．
19.【答案】0 3
【解析】解：(1)∵点C落在y轴正半轴，且到原点的距离为3，
∴m=0，n=3.
故答案为：0；3.
(2)如图，△ABC即为所求．
(3)∵点P(x0,y0)平移后对应点P1(x0+4,y0−1)，
∴△ABC是向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度得到的△A1B1C1.
如图，△A1B1C1即为所求．
(1)根据题意，结合y轴上点的坐标特征可得答案．
(2)根据点A，B，C的坐标描点再连线即可．
(3)由题意可知，△ABC是向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度得到的△A1B1C1，根据平移的性质作图即可．
本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)设新能源车每千米的行驶费用为x元，
0.6×600=600x+300，
解得：x=0.1，
答：新能源车每千米的行驶费用为0.1元．
(2)设每年行驶里程为y km，
由题意得：6000+0.6y>9000+0.1y，
解得：y>6000，
答：每年行驶里程超过6000千米后，新能源车的年费用更低．
【解析】(1)根据“燃油车的花费比新能源车多300元”列出方程解答即可；
(2)根据“燃油车和新能源车每年的其它费用分别为6000元和9000元”列出不等式解答即可．
本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，读懂题意是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵AD=CD，∠C=α=35∘，
∴∠DAC=∠C=35∘，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=35∘+35∘=70∘，
∵BD=AB，
∴∠BAD=∠ADB=70∘，
∴∠B=β=180∘−70∘−70∘=40∘；
(2)∵AD=CD，∠C=α，
∴∠DAC=∠C=α，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=2α，
∵BD=AB，
∴∠BAD=∠ADB=2α，
∴∠B=β=180∘−2α−2α=180∘−4α，
∵180∘−4α>0∘，α>0∘，
∴0∘<α<45∘，
则β=180∘−4α(0∘<α<45∘)；
(3)当点D为BC的中点时，BD=DC=AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠B=60∘，
∴180∘−4α=60∘，
解得：α=30∘，
∴当点D为BC的中点时，α的值为30∘.
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C=35∘，根据三角形的外角性质求出∠ADB，根据等腰三角形的性质求出∠BAD，根据三角形内角和定理求出β；
(2)仿照(1)的作法解答即可；
(3)根据等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到∠B=60∘，根据(2)的结论计算即可．
本题考查的是等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，灵活运用等边对等角是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y1=kx+b过点(3,2)和(0,5)，
∴3k+b=2b=5，
解得k=−1b=5，
∴k的值为−1；
(2)当一次函数y1=kx+b过点(3,2)和(0,0)时，
可得3k+b=2b=0，
解得：k=23，
∴当一次函数y1=kx+b不经过第四象限，
∴k的取值范围为0(3)∵y1−y2=b+1，
∴kx+b−x+1=b+1，
kx−x=0，
(k−1)x=0，
∵k≠1，
∴k−1≠0，
∴x=0.
【解析】(1)利用待定系数法即可求出k的值；
(2)根据一次函数的图象特征即可求出k的取值范围；
(3)根据y1−y2=b+1，得(k−1)x=0，又k≠1，可求x的值．
本题考查了一次函数图象与系数的关系和、一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是“对角互补四边形”，
∴∠B+∠D=180∘，
∵∠B=3∠D，
∴13∠B+∠B=180∘，
∴∠B=135∘；
(2)①∵四边形COAB是“对角互补四边形”，∠MON=60∘，
∴∠ABC=120∘，
∵OB平分∠MON，
∴∠BOC=∠BOA=30∘，
当∠BCO=∠BOC=30∘时，
∴∠CBO=180∘−30∘−30∘=120∘=∠ABC(不符合题意，舍去)，
当∠CBO=∠BOC=30∘时，
∴∠ABO=120∘−30∘=90∘，
∴∠BAN=∠BOA+∠ABO=120∘；
当∠CBO=∠OCB时，
∴∠OBC=180∘−30∘2=75，∠ABO=120∘−75∘=45∘，
∴∠BAN=∠BOA+∠ABO=75∘，
综上所述：∠BAN的度数为120∘或75∘；
②如图②，过点B作BG⊥ON于G，BH⊥OM于H，
∵∠BOC=∠BOA=30∘，
∴BG=BH=12OB=12m，OH= 32m，
∴S△BOC：S△BOA=(12OC⋅BH)：(12OA⋅BG)=n，
∴OC：OA=n，
∵四边形COAB是“对角互补四边形”，
∴∠ABC=180∘−∠MON=120∘，
∵∠BHO=∠BGO=90∘，
∴∠HBG=180∘−∠MON=120∘，
∴∠CBH=∠ABG，
在△CBH与△ABG中，
∠BHC=∠BGA∠CBH=∠ABGBH=BG，
∴△CBH≌△ABG(AAS)，
∴CH=AG，
∴OC+CH=OA−OG，
∴OC+2CH=1nOC，
∴(1−1n)OC=2CH，
∴CH=(12−12n)OC，
∵OH=OC+CH，
∴OC+(12−12n)OC= 32m，
∴OC= 3mn3n−1.
【解析】(1)根据四边形ABCD是“对角互补四边形”，求得∠B+∠D=180∘，根据题意列方程即可得到结论；
(2)①根据“对角互补四边形”的定义得到∠ABC=120∘，根据角平分线的定义得到∠BOC=∠BOA=30∘，当∠BCO=∠BOC=30∘时，求得∠CBO=180∘−30∘−30∘=120∘=∠ABC(不符合题意，舍去)，当∠CBO=∠BOC=30∘时，求得∠BAN=∠BOA+∠ABO=120∘；当∠CBO=∠OCB时，求得∠BAN=∠BOA+∠ABO=75∘；
②如图②，过点B作BG⊥ON于G，BH⊥OM于H，根据已知条件得到OC：OA=n，根据四边形COAB是“对角互补四边形”，求得∠ABC=180∘−∠MON=120∘，根据全等三角形的性质得到CH=AG，解方程即可得到结论．
本题是四边形是综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，新定义“对角互补四边形”，正确地找出辅助线是解题的关键．