2023-2024学年江苏省连云港市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江苏省连云港市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图案中是轴对称图形(不包括文字)的是( )
A. B. C. D.
2.水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是( )
A. 2是变量B. π是变量C. r是变量D. C是常量
3.若等腰三角形的顶角为80∘，则它的底角度数为( )
A. 80∘B. 50∘C. 40∘D. 20∘
4.如图，已知AF=CE，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A. ∠A=∠C
B. AD=CB
C. DF=BE
D. AD//BC
5.如图，木门的对角线长度( )
A. 在2.2m∼2.3m之间
B. 在2.3m∼2.4m之间
C. 在2.4m∼2.5m之间
D. 在2.5m∼2.6m之间
6.若点A(−2,y1)，B(3,y2)，C(1,y3)在一次函数y=−3x+m(m是常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y1>y3>y2D. y3>y2>y1
7.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原来速度前往目的地，甲、乙两人之间的距离y(m)与甲所用时间x(min)之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A、B之间的距离为1200m；②24min时，甲、乙两人中有一人到达目的地；③b=800；④a=32，其中正确的结论个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AD=CD=2，AB=3，BC=5，则BD长为( )
A. 4
B. 92
C. 19
D. 21
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.16的平方根是______.
10.函数y= x−1中自变量x的取值范围是______.
11.点A的坐标为(2,−3)，它关于坐标原点O对称的点的坐标为______.
12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，D是AC的中点.若BD=8，则AD=______.
13.写出一个图象经过第二、三、四象限的一次函数表达式______.
14.如图，函数y=x+2的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(m,4)，则不等式x+2>kx+b的解集是______.
15.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，点D和点B的坐标分别为(4,3)、(10,0)，过点D的正比例函数y=kx图象上有一点P，使得点D为OP的中点，将y=kx的图象沿y轴向下平移得到y=kx+b的图象，若点P落在长方形ABCD的内部，则b的取值范围是______.
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=3，点D是CB延长线的一点，BC=3BD，连接AD，点P是线段AD上一动点，连接CP，以CP为斜边向上作等腰直角三角形GCP，连接AG，当AG最小时，AP的值为______.
三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
解答下列问题：
(1)计算：327+(−1)2023− 9；
(2)求出式子中x的值：(x−1)2−25=0.
18.(本小题8分)
若A、B两点的坐标分别为(m,−2)、(3,m−1).
(1)若两点都在第四象限，求m的取值范围；
(2)若直线AB//x轴，求m的值.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是高.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：BE=CD.
20.(本小题10分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上.
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
(2)若A的坐标为(−4,0)，B的坐标为(−1,0)，则(1)中C1的坐标为______；
(3)在(1)的基础上，连接AC1则△AA1C1______直角三角形.(填“是”或“不是”)
21.(本小题8分)
小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理.她用激光笔从量角器左边边缘点A处发出光线，经量角器圆心O处(此处放置平面镜)反射后，反射光线落在右边光屏CE上的点D处(C也在量角器的边缘上，O为量角器的中心，C、O、B三点共线，AB⊥BC，CE⊥BC).小丽在实验中还记录下了AB=6cm，BC=12cm.依据记录的数据，求量角器的半径OC长.
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，小丽同学按照以下步骤进行尺规作图：
①以点C为圆心，CB的长为半径作弧交AB边于点D；
②分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧在AB下方交于点E；
③作射线CE，交边AB于点F.
(1)请按照以上步骤画出图形(保留作图痕迹)；
(2)求证：CF⊥AB；
(3)若CF=4，求线段BC的长.
23.(本小题10分)
为了提高某种农作物的产量，常采用喷施药物的方法控制其高度，让农作物更健壮，以提高产量.某技术员对一种新药物进行实验后，将每公顷所喷施该新药物的质量x(kg)与该种农作物的平均高度y(m)的具体数据整理成了表：
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描点；
(2)在这些数据中，有一对数据记录错误，请你找出这对数据是______；
(3)求y与x之间的函数表达式；
(4)经验表明，该农作物高度在1.25m左右时，它的产量最高，此时每公顷应喷施这种新药多少千克？
24.(本小题10分)
小明同学在学习了教材第88页的“阅读”之“勾股定理的证明”后，再次结合“阅读”中的原有图形，对勾股定理展开新的证明方法的探究.
如图1，四边形ABFE、AKC、BCIH分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形，其中∠BCA=90∘.在图1的基础上用“补”的原理将其补成如图2所示的长方形LMNP.线段AB所在的直线与LP、MN分别相交于点D、G.
(1)小明通过“第三章勾股定理”的学习，结合“弦图”的相关知识，他已经知道△AQE≌△ENF≌△FOB≌△BCA.请在此基础上，求证：△AQG≌△BHD；
(2)小明认为，在图2中，沿着DG将图形剪开，如图3，则两部分的面积是相等的，请在小明提示下，证明：a2+b2=c2.
25.(本小题12分)
如图1，函数y1=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，函数y2=kx+3的图象与x轴交于点C(−3,0)，两个函数图象相交于点D.
(1)则k的值为______，点 A的坐标为______，点 D的坐标为______；
(2)点P(m,n)是函数y1=−34x+6在第一象限内的图象上的点，设△OPC的面积为S.
①求S与m之间的函数表达式，并写出m的取值范围；
②△OPC的面积能大于6吗？若能，求出m的取值范围；若不能，说明理由；
③如图2，若点P关于y轴的对称点为点Q，连接CQ，BQ.若直线CD恰好将四边形CPBQ的面积等分，求此时m的值.
26.(本小题14分)
【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板(AB=BC,∠ABC=90∘)放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90∘，在滑动过程中，小刚发现线段AD与BE始终相等的.
他给出的证明过程是：∵∠ABC=90∘，∴∠ABD+∠CBE=90∘.
∵∠BAD+∠ABD=90∘，∴∠BAD=∠CBE.
∵AB=BC，∠D=∠E=90∘.∴△ABD≌△BCE(AAS)
∴AD=BE.
小刚将这个全等模型称为“一线三直角全等形”，请应用该模型解决问题.
【应用内化】
(1)在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标为(1,2)，将点P绕点O顺时针旋转90∘后得到点Q，则点Q的坐标为______；
(2)如图2，点F(−2,a)在函数y=2x+6的图象上，点M(0,m)是y轴正半轴上一动点，连接FM，作∠MFN=90∘，交x轴负半轴于点N(n,0)，当点M运动时，求m−n的值；
【拓展延伸】
(3)如图3，y=2x+6的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，点D坐标为(0,−1)，点C在直线AB上，连结CD，当CD与y=2x+6的图象的夹角为45∘时，请求出点C的坐标；
(4)在(3)题的条件下，点E是平面直角坐标系内一点，将点D(0,−1)绕点E顺时针旋转90∘后得到点G，点G恰好落在y=2x+6的图象上.当线段DE最短时，请直接写出点E的坐标.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、B、C中的图形不是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；
D中的图形是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，
在C=2πr中．2、π为常量，r是自变量，C是因变量．
故选：C.
根据变量与常量的定义进行求解即可得出答案．
本题主要考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义进行求解是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵等腰三角形的顶角为80∘，
∴它的底角度数为12(180∘−80∘)=50∘.
故选：B.
根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵AF=CE，
当∠A=∠C时，
在△ADF和△CBE中，
∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB，
∴△ADF≌△CBE(ASA)，正确，故本选项不合题意；
B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意；
C、∵在△ADF和△CBE中，
AF=CE∠AFD=∠CEB,DF=BE
∴△ADF≌△CBE(SAS)，故本选项不合题意；
D、∵AD//BC，
∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中，
∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB，
△ADF≌△CBE(ASA)，故本选项不合题意；
故选：B.
根据全等三角形的判定定理分别判断即可．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL.
5.【答案】A
【解析】解：由题意可知，木门为矩形，高为2m，宽为1m，
∴木门的对角线长度= 22+12= 5(m)，
∵ 5≈2.236，
∴2.2< 5<2.3，
故选：A.
由勾股定理求出木门的对角线长度，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出木门的对角线长度是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵k=−3<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A(−2,y1)，B(3,y2)，C(1,y3)在一次函数y=−3x+m(m是常数)的图象上，且−2<1<3，
∴y1>y3>y2.
故选：C.
由k=−3<0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合−2<1<3，即可得出y1>y3>y2.
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由图象可得，A，B之间的距离为1200m，故①正确；
根据图像可知，在24min时，甲、乙两人中有一人到达目的地，故②正确；
甲乙的速度之和为：1200÷12=100(m/min)，则b=(24−12−4)×100=800，故③正确；
∵乙的速度为：1200÷(24−4)=60(m/min)，甲的速度为：1200÷12−60=100−60=40(m/min)，
∴a=1200÷40+4=30+4=34≠32，故④错误；
综上，正确的结论个数为3个，
故选：C.
根据函数图象中的数据，可以直接看出A，B之间的距离，从而可以判断①；
根据图像倾斜程度，即可判断②；
根据图象中的数据和题意，可以求得甲和乙的速度之和，从而可以得到b的值，从而判断③；
根据已知，可以先计算乙的速度，然后再计算出甲的速度，再根据图象，可以求得a的值，从而判断④．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是从图象中获取解答本题的信息．
8.【答案】C
【解析】解：过D作DF⊥BA交BA的延长线于F，DE⊥BC于点E，
∵DE⊥BC，
∴∠F=∠DEC=90∘，
∵BD平分∠ABC，
∴DF=DE，
在Rt△ADF与Rt△CDE，
AD=CDDF=DE，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)，
∴AF=CE，
在Rt△BFD与Rt△BED中，
BD=BDDF=DE，
∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL)，
∴BF=BE，
设CE=AF=x，
∴3+x=5−x，
∴x=1，
∴CE=1.
∴DE= DC2−CE2= 3，
∴BD= DE2+BE2= 3+16= 19，
故选：C.
过D作DF⊥BA交BA的延长线于F，DE⊥BC于点E，证明Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)，得出AF=CE，证明Rt△BFD≌Rt△BED(HL)，得出BF=BE，设CE=AF=x，求出x=1，由勾股定理可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】±4
【解析】解：∵(±4)2=16，
∴16的平方根是±4，
故答案为：±4.
根据平方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
10.【答案】x≥1
【解析】解：由题意得：x−1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1.
根据二次根式 a(a≥0)可得x−1≥0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式 a(a≥0)是解题的关键．
11.【答案】(−2,3)
【解析】解：∵点A的坐标为(2,−3)，
∴它关于坐标原点O对称的点的坐标为(−2,3)，
故答案为：(−2,3).
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律．
12.【答案】8
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，D是AC的中点，BD=8，
∴AC=2BD=16，AD=CD=12AC，
∴AD=8.
故答案为：8.
根据直角三角形的性质得出AC=2BD，再由D是AC的中点即可得出结论．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13.【答案】y=−x−1(答案不唯一)
【解析】解：∵图象经过第二、三、四象限，
∴如图所示：
设此一次函数的解析式为：y=kx+b，
∴k<0，b<0.
∴此题答案不唯一：如y=−x−1.
故答案为：答案不唯一：如y=−x−1.
根据已知可画出此函数的简图，再设此一次函数的解析式为：y=kx+b，然后可知：k<0，b<0，即可求得答案．
此题考查了一次函数的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
14.【答案】x>2
【解析】解：把P(m,4)代入y=x+2，得m+2=4，
解得m=2，
则P(2,4)，
因为当x>2时，kx+b所以关于x的不等kx+b2.
故答案为：x>2.
先利用解析式y=x+2确定P点坐标，然后结合函数图象写出一次函数y=x+2的图象在一次函数y=kx+b的图象上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15.【答案】−6【解析】解：∵点D(4,3)在直线y=kx上，
∴k=34，
∴直线OD的解析式为y=34x，
∵D是OP的中点，且D(4,3)，
∴P(8,6)，
过点P作PF⊥x轴，交CD于点E，
∴E(8,3)，F(8,0)，
设直线OP平移后的解析式为y=34x+b，
将点E(8,3)坐标代入y=34x+b得，3=34×8+b，
解得b=−3，
将点F(8,0)坐标代入y=34x+b得，0=34×8+b，
解得b=−6，
∴−6故答案为：−6根据D点坐标得到直线OD解析式，过点P作PF⊥x轴，交CD于点E，则E(8,3)，F(8,0)，将点EF坐标代入y=34x+b可得b的取值范围．
本题考查了一次函数图象与几何变换，平移中P在线段EF上是解答本题的关键．
16.【答案】125
【解析】解：如图1，作CE⊥AD于点E，交PG于点L，连接GE，作GF⊥GE交CE于点F，
∵∠ACB=90∘，AC=BC=3，BC=3BD，
∴3BD=3，
∴BD=1，
∴CD=BC+BD=3+1=4，
∴AD= AC2+CD2= 32+42=5，
∵12×5CE=12×3×4=S△ACD，
∴CE=125，
∵△GCP是以CP为斜边的等腰直角三角形，
∴CG=PG，∠PGC=∠EGF=∠PEC=90∘，
∴∠CGF=∠PGE=90∘−∠PGF，
∵∠CLG=∠PLE，
∴∠GCF=90∘−∠CLG=90∘−∠PLE=∠GPE，
在△CGF和△PGE中，
∠GCF=∠GPE∠CGF=∠PGECG=PG，
∴△CGF≌△PGE(AAS)，
∴GF=GE，CF=PE，
∴∠GEF=∠GFE=45∘，
∴点G在经过点E且与直线CE所交成的锐角为45∘的直线EG上运动，
∴当AG⊥EG，即∠AGE=90∘时，AG最小，
如图2，∠AGE=90∘，则∠AGE+∠PGC=180∘，
∴A、G、F三点在同一条直线上，
∵∠GEA=90∘−∠GEF=45∘，
∴∠GEA=∠GAE=45∘，
∴∠GAE=∠GFE，
∴FE=AE，
∴AP=AE+PE=FE+CF=CE=125，
故答案为：125.
作CE⊥AD于点E，交PG于点L，连接GE，作GF⊥GE交CE于点F，由BC=3BD=3，求得BD=1，则CD=4，所以AD= AC2+CD2=5，由12×5CE=12×3×4=S△ACD，求得CE=125，再证明△CGF≌△PGE，得GF=GE，CF=PE，则∠GEF=∠GFE=45∘，可知点G在经过点E且与直线CE所交成的锐角为45∘的直线EG上运动，当AG⊥EG，AG最小，此时A、G、F三点在同一条直线上，可证明∠GAE=∠GFE=45∘，则FE=AE，所以AP=CE=125，于是得到问题的答案．
此题重点考查勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)327+(−1)2023− 9
=3+(−1)−3
=−1；
(2)(x−1)2−25=0，
(x−1)2=25，
x−1=±5，
x=6或x=−4.
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用平方根的意义进行计算，即可解答．
本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵A、B两点的坐标分别为(m,−2)、(3,m−1)，
∴m>0m−1<0，
解得0(2)∵AB//x轴，
∴A、B两点的纵坐标相等，即m−1=−2，
解得m=−1.
【解析】(1)根据在第四象限点的坐标特征列出不等式组解答即可；
(2)根据AB//x轴，AB两点的纵坐标相等列出方程解出m值即可．
本题考查了坐标与图形性质，平行于x轴的直线上点的纵坐标相等是解答本题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC=∠BDC=90∘，
在△ABD和△ACE中，
∠A=∠A∠ADB=∠AECAB=AC，
∴△ABD≌△ACE(AAS)；
(2)∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴AB−AE=AC−AD，
∴BE=CD.
【解析】(1)根据AAS可证明△ABD≌△ACE；
(2)由全等三角形的性质得出AD=AE，则可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
20.【答案】(−1,4)不是
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)平面直角坐标系如图所示，C1(−1,4)；
(3)∵AC1= 32+42=5，A1C1= 42+52= 41，AA1=8，
∴AC12+A1C12=AA12，
∴△AA1C1不是直角三角形．
(1)分别作出各点关于直线l的对称点，顺次连接各点即可；
本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，掌握轴对称变换的性质．
21.【答案】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90∘，
设OA=OC=xcm，
∵BC=12cm，
∴BO=BC−OC=(12−x)cm，
在Rt△ABO中，AB=6cm，
∴AB2+OB2=OA2，
∴36+(12−x)2=x2，
解得：x=7.5，
∴OA=OC=7.5cm，
∴量角器的半径OC长为7.5cm.
【解析】根据垂直定义可得∠ABC=90∘，然后设OA=OC=xcm，则BO=(12−x)cm，最后在Rt△ABO中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22.【答案】(1)解：如图，即为所求的出图形；
(2)证明：如图，连接BE，DE，由作图过程可知：CB=CD，BE=DE，
∵CE=CE，
∴△CBE≌△CDE(SSS)，
∴∠BCE=∠DCE，
∴CF⊥AB；
(3)解：在△ACF中，
∵CF⊥AB，CF=4，AC=5，
∴AF= AC2−CF2=3，
∵AB=4，
∴BF=AB−AF=1，
∴BC= CF2+BF2= 42+12= 17.
【解析】(1)根据作图步骤进行作图即可；
(2)结合(1)证明△CBE≌△CDE(SSS)，得∠BCE=∠DCE，再根据等腰三角形三线合一即可证明结论；
(3)根据勾股定理求出AF=3，可得BF=1，再利用勾股定理求出BC即可．
本题考查了作图-复杂作图，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△CBE≌△CDE.
23.【答案】(4,1.00)
【解析】解：(1)
(2)根据图像，数据错误的是(4,1.00)，
故答案为：(4,1.00)；
(3)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，
代入点(1,1.40)，(2,1.30)，
即k+b=1.402k+b=1.30，
解得k=−0.1b=1.5，
∴y与x之间的函数表达式为y=−0.1x+1.5；
(4)y=1.25时，−0.1x+1.5=1.25，
∴x=2.5，
∴此时每公顷应喷施这种新药2.5kg.
(1)根据题意描点即可；
(2)根据图像即可作答；
(3)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，代入(1,1.40)，(2,1.30)即可求解；
(4)将y=1.25代入函数表达式，求解即可．
这道题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是从图象中获取信息．
24.【答案】证明：∵△AQE≌△BCA，
∴AQ=BC，
∵四边形BCIH是正方形，
∴BC=BH，
∴AQ=BH，
∵四边形LMNP是长方形，
∴PL//MN，
∴DH//QG，
∴∠HDB=∠AGQ，
在△AQG和△BHD中，
∠AGQ=∠HDB∠AQG=∠DHB=90∘AQ=BH
△AQG≌△BHD(AAS)；
(2)设DH=QG=x，
∵矩形PNML，
∴∠LMN=90∘，∠QAJ=∠AJM=90∘，
∴四边形AQJM为矩形，
∴QM=AJ=b，
∵△AQE≌△ENF≌△FOB≌△BCA，
∴S△AQE=S△ENF=S△FOB=S△BCA=12ab，
∴OB=AC=PH=b，
∴PD=PH−DH=b−x，
∴①的面积为12a[(b−x)+b)=a2(2b−x),
∴AQ=BC=a，
∴⑤的面积为12ax，⑪的面积为c2，
则S①+②+③+④+⑤+⑪=a2(2b−x)+12ab+12ab+12ab+12c2+c2=52ab+c2，
∵⑥的面积为12ax，⑫的面积为a2，⑩的面积为12ab，⑦的面积为12ab，⑧的面积为12ab，⑬的面积为b2，⑨的面积为12a(2b−x)，
则S⑥+⑦+⑧+⑨+⑩+⑫+⑬=12ax+12ab+12ab+12a(2b−x)+12ab+a2+b2=52ab+a2+b2，
∵S①+②+③+④+⑤+⑪=S⑥+⑦+⑧+⑨+⑩+⑫+⑬，
∴52ab+c2=52ab+a2+b2，
∴a2+b2=c2.
【解析】(1)根据题意证明AQ=BH，∠HDB=∠AGQ，即可得证；
(2)表示出S①+②+③+④+⑤+⑪和S⑥+⑦+⑧+⑨+⑩+⑫+⑬，即可得证．
本题考查全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握全等三角形的性质与判定，勾股定理是解题的关键．
25.【答案】1(8,0)(127,337)
【解析】解：(1)∵点C(−3,0)是y2=kx+3图象上的点，
∴−3k+3=0，解得k=1，
∵函数y1=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，
令y=0，则0=−34x+6，解得x=8，
∴点A的坐标为(8,0)，
联立y1=−34x+6，y2=x+3得y=−34x+6y=x+3，
解得x=127y=337，
∴点D的坐标为(127,337)，
故答案为：1，(8,0)，(127,337)；
(2)∵点P(m,n)是函数y1=−34x+6在第一象限内的图象上的点，
∴n=−34m+6，
∴P(m,−34m+6)，
①设△OPC的面积为S，
∴S=12OC⋅yP=12×3(−34m+6)=−98m+9(0②△OPC的面积能大于6，
由①知S=−98m+9，
∴−98m+9>6，解得m<83，
∴m的取值范围为0③连接PQ交CD于E，
∵P(m,−34m+6)，直线CD：y2=x+3，
∴当y2=−34m+6时，−34m+6=x+3，
∴x=−34m+3，
∴E(−34m+3,−34m+6)，
∵点P关于y轴的对称点为点Q，
∴Q(−m,−34m+6)，
∴S四边形CPBQ=S△CPQ+S△BPQ=12PQ⋅OB=12×2m×6=6m，
S△CPD=12PE⋅yD=12(m+34m−3)×337=12(m+34m−3)×337=338m−9914，
∵直线CD恰好将四边形CPBQ的面积等分，
∴S△CPD=12S四边形CPBQ，
∴338m−9914=12×6m，解得m=447，
∴此时m的值为447.
(1)由点C(−3,0)是y2=kx+3图象上的点可得k的值，函数y1=−34x+6，令y=0，可得点A的坐标，联立y1=−34x+6，y2=x+3即可得点D的坐标；
(2)①由点P(m,n)是函数y1=−34x+6在第一象限内的图象上的点，得到n=−34m+6，从而得出S与m之间的函数表达式以及m的取值范围；
②由①求得的S与m之间的函数表达式可得不等式，即可求解；
③连接PQ交CD于E，可得E(−34m+3,−34m+6)，由轴对称的性质得Q(−m,−34m+6)，根据直线CD恰好将四边形CPBQ的面积等分得S△CPD=12S四边形CPBQ，即可求解．
本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、轴对称的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的数学思想解答．
26.【答案】(2,−1)
【解析】解：(1)如图，过点P作PE⊥y轴交于点E，过点Q作QF⊥y轴交于点F，
∵∠POQ=90∘，
∴∠EPO+∠FOQ=90∘，
∵∠EPO+∠EOP=90∘，
∴∠FOQ=∠EOP，
∵OP=OQ，
∴△OPE≌△QOF(AAS)，
∴OF=EP，QF=OE，
∵P(1,2)，
∴QF=OE=2，OF=PE=1，
∴Q(2,−1)，
故答案为：(2,−1)；
(2)∵点F(−2,a)在函数y=2x+6的图象上，
∴a=2×(−2)+6=2，
∴F(−2,2)，
如图2，过点F作FC⊥x轴于C，作MD⊥FC于D，
同理得△FNC≌△MFD(AAS)，
∴MD=FC=2，FD=CN=n+2=m−2，
∴m−n=4；
(3)设C(c,2c+6)，过点D作DC′⊥DC交直线AB于点C′，过点C作CH⊥y轴交于点H，过点C′作CH′⊥y轴交于点H′，
∵CD与y=2x+6的图象的夹角为45∘，DC′⊥DC，
∴∠DCC′=∠DC′C=45∘，
∵点D坐标为(0,−1)，
∴DH=2c+6+1=2c+7，CH=−c，
同理得△HCD≌△H′DC′(AAS)，
∴DH′=CH=−c，H′C′=DH=2c+6+1=2c+7，
∴C′(−2c−7,c−1)，
∵C′在y=2x+6的图象上，
∴2(−2c−7)+6=c−1，解得c=−75，
∴C(−75,165)，C′(−215,−125)，
∴点C的坐标为(−75,165)或(−215,−125)；
(4)如图4，
由旋转得ED=EG，∠DEG=90∘，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE= 22DG，
∴DG最短时，线段DE最短，
当DG⊥直线y=2x+6时，DG的值最小，
由(3)知，C(−75,165)，∠DCC′=45∘，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∵∠DEG=90∘，
∴点E是CD的中点，
∵C(−75,165)，点D坐标为(0,−1)，
∴点E的坐标为(−710,1110).
(1)过点P作PE⊥y轴交于点E，过点Q作QF⊥y轴交于点F，证明△OPE≌△QOF(AAS)，则QF=OE=2，OF=PE=1，即可得点Q的坐标；
(2)过点F作FC⊥x轴于C，作MD⊥FC于D，由“AAS”可证△FNC≌△MFD，可得MD=FC=2，FD=CN=n+2=m−2，即可求解；
(3)设C(c,2c+6)，过点D作DC′⊥DC交直线AB于点C′，过点C作CH⊥y轴交于点H，过点C′作CH′⊥y轴交于点H′，可得△HCD≌△H′DC′，可得DH′=CH=−c，H′C′=DH=2c+6+1=2c+7，可得C′(−2c−7,c−1)，由C′在y=2x+6的图象上求出c=−75，即可得点C的坐标；
(4)由旋转得ED=EG，∠DEG=90∘，则△DEG是等腰直角三角形，DE= 22DG，故DG最短时，线段DE最短，当DG⊥直线y=2x+6时，DG的值最小，根据等腰直角三角形的性质即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．x(kg)
1
1.5
2
3
4
4.5
y(m)
1.40
1.35
1.30
1.20
1.00
1.05