2023-2024学年上海市静教院附校八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市静教院附校八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，与 2不是同类根式的是( )
A. 12B. 0.2C. 18D. 50x2
2.如果方程mx2−6x+1=0有实数根，那么m的取值范围是( )
A. m<9且m≠0B. m≤9且m≠0C. m<9D. m≤9
3.下列说法正确的是( )
A. 面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成正比例
B. 面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例
C. 周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成正比例
D. 周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成反比例
4.某工厂第四季度的每月产值的增长率都是x，其中12月份的产值是100万元，那么10月份的产值是是( )
A. 100(1−x2)B. 100(1−x)2C. 100(1+x)2D. 1001+x2
5.用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是( )
A. 13,14,15B. 4，5，6C. 17，8，15D. 1,3,2 3
6.下列说法中正确的是( )
A. 每个命题都有逆命题B. 每个定理都有逆定理
C. 真命题的逆命题是真命题D. 假命题的逆命题是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.当a<−1时， (a+1)2=______.
8.如果 x2(2+x)=−x⋅ 2+x，那么等式成立的条件是______.
9.计算：a−ba12−b12=______.
10.不等式：( 3−2)x<1的解集是______.
11.在实数范围内因式分解x2y2−3xy−2=______.
12.函数y=x−32−x的定义域是______.
13.函数y=25x的图象经过的象限是______.
14.函数y=x2m−3(m为常数)中，y的值随x的增大而减小，那么m的取值范围是______.
15.“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是______.
16.已知线段AB，以∠A为顶角的等腰△ABC的顶点C的轨迹是______.
17.如果一个直角三角形两条边的长分别为5、12，那么斜边上中线的长为______.
18.在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=15∘，AB=6(如图)，点D是AB的中点，将△ACD沿直线CD翻折后点A落在点E，那么BE的长为______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程s(千米)关于时间t(分钟)的函数图象如图所示；乙慢跑所行的路程s(千米)关于时间t(分钟)的函数解析式为s=112t(0≤t≤60).
(1)在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图象；
(2)乙慢跑的速度是每分钟______千米；
(3)甲修车后行驶的速度是每分钟______千米；
(4)甲、乙两人在出发后，中途______分钟时相遇．
四、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
计算：2 12+61− 3− 6( 2− 32).
21.(本小题6分)
已知函数f(x)=a2 4−3x−4a 4x−2.
(1)求函数的定义域；
(2)当f(1)=3时，求a的值.
22.(本小题6分)
关于x的方程(k+2)x2−2kx+k−1=0的两个实数根为α、β，且α2=β2，求k的值.
23.(本小题6分)
如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于40π平方米，求围成圆环铁丝的总长度.
24.(本小题10分)
已知：如图，△ABC中，AD//BC，∠DAB=2∠BAC.
操作：过点C作CE⊥AD，垂足为E，在CB的延长线上，求作一点P，使点P到∠BAD两边的距离相等，联结AP，AP与CE相交于点Q.
猜想：线段PQ与AC之间的数量关系为：______.
证明：…
25.(本小题9分)
如图，已知点O为坐标原点，点A在正比例函数y= 3x第一象限的图象上，OA=4，反比例函数的图象经过点A.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知点B在x轴上，且AB=AO.如果点P在反比例函数的图象上(点P与点A不重合)，Q在x轴上，△PQB为等边三角形，求点Q的坐标.
26.(本小题9分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，∠CDE=∠CBE=∠A.
(1)∠DBE与∠A之间有怎样的数量关系？并证明你所得的结论.
(2)求证：DE=DC.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 12=12 2，与 2是同类二次根式，故本选项错误；
B、 0.2= 15=15 5，与 2不是同类二次根式，故本选项正确；
C、 18= 122×2=14 2，与 2是同类二次根式，故本选项错误；
D、 50x2=5|x| 2，与 2是同类二次根式，故本选项错误．
故选：B.
先化成最简二次根式，再看看是否只含有根式 2即可．
本题考查了对同类二次根式的定义的理解，注意：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的根式．
2.【答案】D
【解析】解：∵关于x的方程mx2−6x+1=0有实数根，
∴当方程是一元二次方程时，Δ=(−6)2−4m≥0，
解得：m≤9，且m≠0；
当方程是一元一次方程时，则m=0，
故选：D.
分当方程是一元二次方程时和当方程是一元一次方程时两种情况求解即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．
3.【答案】B
【解析】解：A、面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例，故本选项错误；
B、面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例，故本选项正确；
C、周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成一次函数，故本选项错误；
D、周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成一次函数，故本选项错误．
故选：B.
根据正比例函数及反比例函数的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查了平行四边形的性质，正比例函数的定义，解决此题的关键掌握平行四边形的性质．
4.【答案】C
【解析】解：设10月份的产值是是a万元，
由题意可得：a(1+x)2=100，
解得a=100(1+x)2，
故选：C.
根据题意，可以用含x的代数式表示出10月份的产值．
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
5.【答案】C
【解析】解：A..∵(14)2+(15)2≠(13)2，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
B.∵42+52≠62，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵(8)2+(15)2=(17)2，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D∵(1)2+(3)2≠(2 3)2，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C.
根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
6.【答案】A
【解析】解：A、每个命题都有逆命题是正确的；
B、每个定理不一定有逆定理，如对顶角相等没有逆定理，故选项错误；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如对顶角相等的逆命题不是真命题，故选项错误；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，如相等的角是对顶角的逆命题是真命题，故选项错误．
故选A.
根据命题、逆命题、逆定理的定义即可作出判断．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】−a−1
【解析】解：∵a<−1，
∴a+1<0，
∴原式=−a−1，
故答案为：−a−1.
根据a<−1，可得a+1<0，然后根据二次根式的性质化简即可．
此题考查二次根式的性质与化简，利用了 a2=|a|的性质，注意开方结果是非负数．
8.【答案】−2≤x≤0
【解析】解：如果 x2(2+x)=−x⋅ 2+x，
那么x≤0，2+x≥0，
解得−2≤x≤0
故答案为：−2≤x≤0.
根据 a2=−a(a≤0)解答即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握 a2的化简以及二次根式有意义的条件是解题的关键．
9.【答案】 a+ b
【解析】解：原式=a−b a− b
=(a−b)( a+ b)( a+ b)( a− b)
=(a−b)( a+ b)a−b
= a+ b.
根据分数指数幂的性质，把分式的分母写成 a− b的形式，然后分子和分母同时乘 a+ b，利用平方差公式进行计算，最后约分即可．
本题主要考查了二次根式的化简，解题关键是熟练掌握分数指数幂的性质．
10.【答案】x>− 3−2
【解析】解：∵ 3−2<0，
∴x<1 3−2，
∴x>− 3−2，
故答案为x>− 3−2
系数化为1求得即可．
主要考查解一元一次不等式，并进行分母有理化；注意：不等式两边同乘以负数，不等号方向改变．
11.【答案】(xy−3+ 172)(xy−3− 172)
【解析】解：令t=xy，则式子可化为t2−3t−2，
令t2−3t−2=0，
则a=1，b=−3，c=−2，
Δ=9+8=17>0，
t=3± 172，
t1=3+ 172，t2=3− 172，
则x2y2−3xy−2=(xy−3+ 172)(xy−3− 172)，
故答案为：(xy−3+ 172)(xy−3− 172)，
令t=xy，则式子可化为t2−3t−2，令t2−3t−2=0，求解即可．
此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．
12.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：2−x≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2.
根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式，得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
13.【答案】一、三
【解析】解：∵函数y=25x中，k=25>0，
∴函数图象经过一、三象限，
故答案为：一、三
利用反比例函数的性质结合比例系数的符号直接回答即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线；当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解题的关键．
14.【答案】m<32
【解析】解：∵y=kx，k<0时，y的值随x的增大而减小，
∴12m−3<0，即2m−3<0，
解得m<32.
故答案为：m<32.
根据正比例函数性质解答即可．
本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数性质是解答本题的关键．
15.【答案】如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形
【解析】解：命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“两腰上的高相等”．将条件和结论互换得逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
16.【答案】以A为圆心AB为半径的圆(点B除外)
【解析】解：以线段AB为腰，以∠A为顶角的等腰△ABC的顶点C的轨迹是以A为圆心AB为半径的圆(点B除外)，
故答案为：以A为圆心AB为半径的圆(点B除外).
根据轨迹的定义解答即可．
本题考查轨迹，圆的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】6.5或6
【解析】解：当以12为斜边时，即AB=12，
在Rt△ABC中，CD为斜边的中线，
所以CD=12AB=6；
当以5，12为直角边时，如图，根据题意可知AC=12，BC=5，
勾股定理可知AB= 122+52=13.
因为CD是斜边上的中线，
所以CD=12AB=6.5.
故答案为：6.5或6.
根据题意不能确定斜边，分情况讨论，当以12为斜边时，根据直角三角形的性质得出答案；当以12，5为直角边时，根据勾股定理求出斜边，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出答案．
本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法．
18.【答案】3 3
【解析】解：如图：
∵∠C=90∘，AB=6，点D是AB的中点，
∴CD=AD=BD=12AB=3，
∴∠DCA=∠CAD=15∘，
∴∠ADM=30∘，
将△ACD沿直线CD翻折后点A落在点E，
∴∠EDM=30∘，AD=DE=BD，
∴BDE=120∘，
∴△BDE是等腰三角形，
作DN⊥BE于点N，则∠BDN=60∘，BN=12BE，
∴sin∠BDN=BNBD，即sin60∘=BN3，
∴BN=3 32，
∴BE=2BN=3 3，
故答案为：3 3.
根据直角三角形的性质可得CD=AD=BD=3，推导出△BDE是等腰三角形三角形，作DN⊥BE，进而得到∠BDN=60∘，最后利用sin∠BDN=BNBD，代入数据解答即可．
此题考查的是翻折变换、直角三角形斜边上的中线，正确作出图形及辅助线是解答此题的关键．
19.【答案】11232024
【解析】解：(1)所画图形如下所示：
(2)乙慢跑的速度即是乙慢跑所行的路程s(千米)关于时间t(分钟)的函数解析式的斜率，
即为112千米/分钟；
(3)甲修车后行驶20min，所形路程为3km，
故甲修车后行驶的速度为：3÷20=320km/min；
(4)由甲行驶的路程s(千米)关于时间t(分钟)的函数图象与乙慢跑所行的路程s(千米)关于时间t(分钟)的函数图象可知：
在距离A地2km处甲乙相遇，此时乙行驶了2×12=24分钟，
即甲、乙两人在出发后，中途24分钟时相遇．
故答案为：112；320；24.
(1)根据所给解析式可知函数过原点，并过点(60,5)，由这两点即可得出答案．
(2)乙慢跑的速度即是乙慢跑所行的路程s(千米)关于时间t(分钟)的函数解析式的斜率；
(3)甲修车后行驶路程是3km，所用时间是20min，即可求出速度；
(4)甲乙相遇，体现在(1)中的图形即是它们的交点，即求出交点得出答案．
本题考查了一次函数的实际应用，难度不大，读懂题意是关键，同时注意与图形结合解答问题．
20.【答案】解：原式=4 3+6(1+ 3)1−3− 6×2+ 6×32
=4 3−3−3 3−2 3+3
=− 3.
【解析】先分母有理化，再根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意得：4−3x≥04x−2>0，
解得：12∴函数的定义域为{x|12(2)∵f(1)=3时，
∴a2 4−3×1−4a 4×1−2=3，
整理得：a2−2 2a−3=0，
解得：a= 2+ 5或a= 2− 5.
【解析】(1)根据二次根式 a(a≥0)以及分母不为0可得：4−3x≥04x−2>0，然后进行计算即可解答；
(2)根据已知易得：a2 4−3×1−4a 4×1−2=3，然后整理可得：a2−2 2a−3=0，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，函数自变量的取值范围，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：根据题意得k+2≠0且Δ=(−2k)2−4(k+2)(k−1)≥0，
解得k≤2且k≠−2，
∵关于x的方程(k+2)x2−2kx+k−1=0的两个实数根为α、β，
∴α+β=2kk+2，
∵α2=β2，
∴α=β或α=−β，
当α=β时，Δ=(−2k)2−4(k+2)(k−1)=0，解得k=2；
当α=−β时，α+β=2kk+2，解得k=0，
综上所述，k的值为0或2.
【解析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k+2≠0且Δ=(−2k)2−4(k+2)(k−1)≥0，解得k≤2且k≠−2，再利用根与系数的关系得到α+β=2kk+2，所以当α=β时，利用判别式的意义得到Δ=(−2k)2−4(k+2)(k−1)=0；当α=−β时，α+β=2kk+2，然后分别解方程得到k的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.
23.【答案】解：设小圆半径为x米，则大圆半径为(2x+1)米，根据题意得：
π[(2x+1)2−x2]=40π，
整理，得3x2+4x−39=0，
(3x+13)(x−3)=0，
解得x1=−133(不符合题意，舍去)，x2=3，
∴小圆半径为3米，大圆半径为7米，
2π×(3+7)=20π(米)
即围成圆环铁丝的总长度为20π米．
【解析】设小圆半径为x米，则大圆半径为(2x+1)米，根据圆环面积列方程解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练应用圆的周长和面积的计算公式是解答本题的关键．
24.【答案】PQ=2AC
【解析】操作：解：图形如图所示：
猜想：解：结论：PQ=2AC.
故答案为：PQ=2AC.
证明：取PQ的中点T，连接CT.
∵AD//BC，CE⊥AD，
∴CE⊥BC，
∴∠PCQ=90∘，
∵PT=TQ，
∴CT=TP=TQ，
∴∠TPC=∠TCP，
∵AD//CP，
∴∠DAP=∠TPC，
∵AP平分∠DAB，∠DAB=2∠CAB，
∴∠DAP=∠PAB=∠BAC，
∵TC=TP，
∴∠TPC=∠TCP，
∵∠ACT=∠TPC+∠TCP=2∠DAP，∠CAT=2∠DAP，
∴∠CTA=∠CAT，
∴CT=CA，
∵PQ=2CT，
∴PQ=2AC.
操作：根据要求作出图形即可
猜想：QP=2AC.
证明：取PQ的中点T，连接CT，证明PQ=2CT，AC=CT即可．
本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
25.【答案】解：(1)∵点A在正比例函数y= 3x第一象限的图象上，OA=4，
∴设点A(m, 3m)，
∴ m2+( 3m)2=4，
解得m=2(舍去负值)，
∴A(2,2 3)，
设反比例函数的解析式为y=kx，
∴2 3=k2，
∴k=4 3，
∴反比例函数的解析式为y=4 3x；
(2)∵△PQB为等边三角形，
∴∠PBQ=60∘，
过点P作PH⊥BQ于H，
∴BH=HQ，
∵A(2,2 3)，
∴tan∠AOB= 3，
∴∠AOB=60∘，
∵AB=AO=4.
∴△AOB为等边三角形，OB=4，
设P(a,4 3a)，
则BH=PHtan60∘=4 3a 3=4a，
当点P在第一象限且点Q在点B的左侧时，OH=OB−BH=4−4a=a，
解得a=2，
∴BH=2，
∴P(2,2 3)，
∵点P与点A不重合，
∴这种情况不符合题意；
当点P在第一象限且点Q在点B的右侧时，OH=OB+BH=4+4a=a，
解得a=2+2 2(负值舍去)，
∴P(2+2 2,2 6−2 3)，
∴BH=2 2−2，
∴BQ=2BH=4 2−4，
∴OQ=OB+BQ=4 2；
∴Q(4 2,0)，
当点P在第三象限时，OH=BH−OB=4a−4=−a，
解得a=−2，
∴P(−2,−2 3)，
∴BH=6，
∴BQ=12，
∴OQ=8，
∴Q(−8,0)，
综上所述，点Q的坐标为(4 2,0)或(−8,0).
【解析】(1)设点A(m, 3m)，根据勾股定理得到 m2+( 3m)2=4，求得A(2,2 3)，设反比例函数的解析式为y=kx，于是得到结论；
(2)过点P作PH⊥BQ于H，根据等边三角形的性质得到BH=HQ，根据三角函数的定义得到∠AOB=60∘，求得OB=4，设P(a,4 3a)，得到BH=PHtan60∘=4 3a 3=4a，当点P在第一象限且点Q在点B的左侧时，当点P在第一象限且点Q在点B的右侧时，OH=OB+BH=4+4a=a，当点P在第三象限时，解方程即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，分类讨论是解题的关键．
26.【答案】(1)解：∠DBE=90∘+∠A2，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=90∘−∠A2，
∵∠CDE=∠CBE=∠A，
∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90∘−∠A2+∠A=90∘+∠A2；
(2)证明：如图，延长EB至H，使DB=DH，
∵∠DBE=90∘+∠A2，
∴∠DBH=90∘−∠A2，
∵DB=DH，
∴∠H=∠DBH=90∘−∠A2=∠DBC，
∴∠BDH=∠A，
∴∠BDH=∠CDE，
∴∠CDB=∠EDH，
在△DBC和△DHE中，
∠CDB=∠EDHDB=DH∠DBC=∠H，
∴△DBC≌△DHE(ASA)，
∴CD=DE.
【解析】(1)由等腰三角形的性质可得∠ABC=90∘−∠A2，即可求解；
(2)由“ASA”可证△DBC≌△DHE，可得CD=DE.
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．