北京市2024届高考数学模拟试题（二）

这是一份北京市2024届高考数学模拟试题（二），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则=（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数，则=（ ）
A．B．5C．3D．
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．10C．D．80
4．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在△中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知抛物线C：的焦点为F，O是坐标原点，点M在C上．若，则=（ ）
A．B．C．D．4
7．已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（ ）
A．有且仅有1个值B．有且仅有2个值C．有且仅有3个值D．有无数多个值
8．一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，，P是曲线上一个动点，则的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
10．设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
二、填空题
11．已知向量，若，则实数 .
12．设数列的前项和，则 ；使得命题“，都有”为真命题的一个的值为 .
13．已知圆，若点在圆上，并且点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为 .
14．已知函数满足：，，且在上单调递减，则 ； .
15．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：

①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为；
②在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3；
③阴影部分的面积为；
④阴影部分的内外边界曲线长为.
其中正确的有 .
三、解答题
16．在△ABC中，已知
(1)求B的大小；
(2)在下面3个条件中选一个，使得△ABC唯一存在，并求其面积．
①②③
17．某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
(1)从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
(2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；
(3)下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
18．如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点．

(1)求证：∥；
(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
19．已如．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)判断极值点个数，并说明理由；
(3)解不等式．
20．已知椭圆C：的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当直线l的斜率为k时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
21．设A是由个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
(1)数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：
表1
(2)数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值：
表2
(3)对由个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．
1
2
3
1
0
1
a
参考答案：
1．B
【分析】先解一元二次不等式确定集合的元素，再由交集运算即可求解；
【详解】由解得，又，所以.
于是.
故选：B.
2．D
【分析】由复数乘法以及模的运算公式即可求解.
【详解】由题意，则.
故选：D.
3．A
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出的系数.
【详解】在的展开式中，项为，
所以的系数为.
故选：A
4．C
【分析】根据各选项中函数式，直接判断单调性即得.
【详解】函数在区间上单调递增，A不是；
函数在上单调递增，B不是；
函数在R上单调递减，C是；
函数在上单调递增，D不是.
故选：C
5．B
【解析】由，则或和，则，则，可得出答案.
【详解】若，则或，即或，
所以在△中，“”是“”的不充分条件
若，则，则，
所以在△中，“”是“”的必要条件.
故选：B.
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.
6．A
【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求出.
【详解】设，则，
由C：得，即，则，解得，
于是，即，则.
所以.
故选：A.
7．A
【分析】根据题意求公差和公比，令，分情况讨论，结合数列单调性分析判断.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，，，
则，解得，
令，
可得，此时满足只有成立；
若，则，
（1）若为奇数，则，不满足；
（2）若为偶数，则，且，
即，可得，即不成立；
综上所述：满足的数值m有且仅有1个值，该值为1.
故选：A.
8．B
【分析】根据给定条件，结合正四棱锥的结构特征，求出正四棱锥的斜高及底面边心距即可计算得解.
【详解】依题意，正四棱锥的底面正方形边长为6，斜高为，则底面正方形边心距为，
于是正四棱锥的高为，
所以这个容器侧面与底面的夹角正切值为.
故选：B
9．D
【分析】根据向量数量积的坐标运算可得，再利用直线与圆利用数形结合即可得解.
【详解】因为，即，
则曲线表示以坐标原点O为圆心，半径为1的上半圆，
设点，则，
所以，令，则，
故直线（斜率为-1，纵截距为）与曲线有公共点，如图所示：
直线过点，则，即，
直线与曲线相切，则，解得或（舍去），
所以，则，所以的最大值为.
故选：D.
10．C
【分析】根据直线的垂直关系可得点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得.
【详解】由以及可得直线的方程为，
联立，消去整理可得；
所以可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆；
因此.
故选：C
11．
【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式即可求出结果.
【详解】因为向量且，
所以,解得，
故答案为：
12． 3（答案不唯一，）
【分析】根据给定的前项和求出通项即可，由求出的取值范围作答.
【详解】数列的前项和，当时，，
当时，，显然不满足上式，
所以；
当时，，不等式不成立，
当时，，
不等式，而，解得，
因此对，不等式恒成立，
所以“，都有”为真命题的，取的一个值为3.
故答案为：；3
13．3
【分析】设，根据点P到直线的距离为，求得，再由在圆上，得到，取得或，进而求得满足条件的点的个数，得到答案.
【详解】设，由点P到直线的距离为，得
两边平方整理得到①
因为在圆上，所以，即②
联立①②得，
解得或，
当时，由①②可得，解得或，即或
当时，由①②可得，解得或，即或
综上，满足条件的点P的个数为.
故答案为：3.
14． 2 /
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期及对称中心，结合单调递减区间求解作答.
【详解】由，得，因此是函数的一个周期，
又函数在上单调递减，则函数的周期，
因此函数的最小正周期为，则，
由知，函数图象的一个对称中心为，
即有，而，于是，
此时，当时，，
正弦函数在上单调递增，于是函数在上单调递减，
所以，.
故答案为：2；
15．①②④
【分析】对于①，令,求出，求出点坐标即得解；对于②，利用圆的参数方程设点，再利用绝对值三角不等式得解；对于③，利用割补法求解；对于④，求出阴影部分的内外边界曲线的各个部分即得解.
【详解】对于①，由于，令时，整理得，
解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A，
则点A的坐标为，点，
白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为,故①正确；
对于②，由于，整理得：，
所以，所以到坐标轴的距离为或，
因为，
所以，，
所以到坐标轴的距离小于等于3，故②正确；
对于③，由于，令时，整理得，
解得，
因为表示以为圆心，半径为的圆，
则，
且，则在x轴上以及x轴上方，
故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，
根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，
设，则，即所对的圆心角为，
同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为，
阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，
设，可得，所对的圆心角为，
同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为，

故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，
所以它的面积是.
轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为,
第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，
且等于，
所以阴影部分的面积为，故③错误；
对于④，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，
轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，
所以阴影部分的内外边界曲线长为，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点睛：解答本题有三个关键，其一是写出圆的参数方程，设出点的坐标，其二是利用割补法求不规则图形的面积，其三是利用三角函数的值域求出图形与坐标轴的交点的坐标.
16．(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）利用正弦定理将边变角，然后整理化简可得B的大小；
（2）利用正弦余弦定理求出三角形其他边角，再利用面积公式求出面积.
【详解】（1）
由正弦定理得
，
，即，
又，；
（2）选①：
或，所以△ABC不唯一存在
所以①不能选；
选②：，即
选③
即
或（舍）
.
17．(1)
(2)分布列见解析，
(3)3月3日
【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.
（2）根据题意得到，，，，再写出分布列数学期望即可.
（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.
【详解】（1）令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，
从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，
甲乙微信记步数都不低于10000，
故.
（2）由（1）知：，
，，，
的分布列为：
（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在，，，，
（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，
人，人，人，
由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，
根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.
由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，
根据折线图知：只有3月3日和3月6日，
所以3月3日符合要求.
18．(1)证明见详解
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明；
（2）根据题意可在平面，建系，利用空间向量求面面夹角；
（3）设，求点G的坐标，根据线面平行的向量关系分析运算.
【详解】（1）因为//，平面，平面，
所以//平面，
又因为平面，平面平面直线l，
所以∥.
（2）取的中点，连接，
由题意可得：//，且，
则为平行四边形，可得//，
且平面PAD，则平面PAD，
由平面PAD，则，
又因为△PAD为等边三角形，则为的中点，可得，
，平面，则平面，
如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，即，
由题意可知：平面PAD的法向量，
可得，
所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值.

（3）由（2）可得：，
设，，则，
可得，解得，
即，可得，
若∥平面AEF，则，
可得，解得，
所以存在点，使得∥平面AEF，此时.
19．(1)；
(2)函数极值点个数为，理由见解析；
(3)不等式的解集为.
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程；
（2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理求零点，并判断其两侧的导数值的正负，由此确定函数的极值点的个数；
（3）根据函数的单调性，极值及确定不等式的解集.
【详解】（1）函数的定义域为，导函数，
所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为1，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）设，则，
令，可得，又为上的增函数，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，，
所以存在使得，
当时，，即，函数在上单调递增，
当时，，即，函数在上单调递减，
当时，，即，函数在上单调递增，
所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数有两个极值点；
（3）因为函数在上单调递增，，，
所以当时，不等式的解为，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的最小值为，
因为，，
所以，
所以当时，不等式的解为，
所以不等式的解集为.
20．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；
（2）根据题意分析可得x轴为直线PA与直线PB的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，
由题意可得，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由（1）可得：，
根据题意可设直线，
联立方程，消去y得，
则，
可得，①
由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则，
可得，
因为，可得，
整理得，②
将①代入②得：，解得，
所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时.

【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
21．(1)答案见解析；
(2)或
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）；
（2） 每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1；①如果先操作第三列，第一行之和为，第二行之和为，再考虑第二次操作，由此列出不等关系解得；②如果操作第一行，再根据各列的和考虑第二次操作，由条件列不等式求，（3） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，由此证明结论．
【详解】（1）法1：
法2：
法3：
（写出一种即可）
（2）数表A
每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;
①如果先操作第三列，则
则第一行之和为，第二行之和为，
若，则，即，
再操作第二行，则
此时第四列为负数，不满足要求；
若，则，即，
再操作第一行，则
由已知，，又a为整数，
解得或，
若，则
若，则
所以或满足要求，
②如果先操作第一行，则
则第一列的所有数的和为，第二列的所有数的和为，
第三列的所有数的和为，第四列的所有数的和为，
若，则，与已知矛盾，
若，则，与已知矛盾，
若，则，又a为整数，
由已知，所以或，
若，则
再操作第三列即可，
若，则
再操作第三列即可.
综上，或，
（3）按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立.
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
1
2
3
改变第四列
1
2
3
改变第二行
1
2
3
1
0
1
1
0
0
1
2
3
改变第二行
1
2
3
改变第四列
1
2
3
1
0
1
0
0
1
2
3
改变第一列
2
3
改变第四列
2
3
1
0
1
0
0