山东省2024届高考数学模拟试题

这是一份山东省2024届高考数学模拟试题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．现有随机选出的20个数据，统计如下，则（ ）
7 24 39 54 61 66 73 82 82 82
87 91 95 8 98 102 102 108 114 120
A．该组数据的众数为102B．该组数据的极差为112
C．该组数据的中位数为87D．该组数据的80%分位数为102
2．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正项等比数列的前n项和为．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则B．若，且，则
C．若，且，则D．若，且，则
5．设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（ ）
A．833B．884C．5050D．5151
6．在平面直角坐标系中，设，，，动点满足，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（ ）

A．B．C．D．
8．已知直线：与椭圆：至多有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．
C．函数的图象关于点中心对称
D．函数在区间单调递减
10．已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在实数集单调递减
C．D．或
11．在棱长为2的正方体中，分别是侧棱的中点，是侧面（含边界）内一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点与顶点重合，则异面直线与所成角的大小为
B．若点在线段上运动，则三棱锥的体积为定值
C．若点在线段上，则
D．若点为的中点，则三棱锥的外接球的体积为
三、填空题
12．在中，，点满足，若，则的值为 .
13．已知，则等于 .
14．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率取值范围为 .
四、解答题
15．设函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(其中为自然对数的底数)
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值．
16．当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．
(1)求选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率；
(2)记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望．
17．如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，.
(1)证明: 平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．已知点、、是抛物线上的点，且．
(1)若点的坐标为，则动直线是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由．
(2)若，求面积的最小值．
19．已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：
①；
②.
则称这样的数表具有性质.
(1)若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；
(2)对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；
(3)对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值.
参考答案：
1．D
【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据众数，极差，百分位数的定义即可判断.
【详解】将数据按从小到大的顺序排列：
7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，
82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，
对于A，出现次数最多的是82，所以众数是82，故A错误；
对于B，极差为，故B错误；
对于C，，第10个数和第11个数的平均数为中位数，
即，故C错误；
对于D，，第16个数和第17个数的平均数为80%分位数，
即，故D正确.
故选：D.
2．D
【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得.
【详解】
如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①，
由余弦定理可得：，化简得：②，
由①式两边平方再减去②式，得：，
于是的面积为.
故选：D.
3．A
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式计算即可.
【详解】设正项等比数列的公比为q（）．
∵，∴．
∵，∴，故，解得（舍负值），
∴，
∴，∴．
故选：A．
4．D
【分析】构建正方体，利用其特征结合空间中直线与平面的位置关系一一判定选项即可.
【详解】
如图所示正方体，
对于A，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故A错误；
对于B，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故B错误；
对于C，若对应直线与平面，平面，显然符合条件，但，故C错误；
对于D，若，且，又，是两个不同的平面，则，故D正确.
故选：D
5．A
【分析】利用隔板法，然后排除有两个数相同的结果，再结合集合元素的无序性可得.
【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有种结果，
因为，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，
所以a、b、c三个数各不相等的结果共有个
因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，
所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为个.
故选：A
6．B
【分析】由已知条件可得，动点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可得三点共线，当与圆相切时，为锐角且最大，最大，求出 ，由，求值即可.
【详解】设点，则，，
所以，
整理可得，
动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
，，故三点共线，如图所示，
当与圆相切时， 为锐角且最大，最大，即，
由，此时，
则.
故选：B
7．D
【分析】作的四等分点，使得，然后在三角形与三角形中，使用余弦定理表示出，再结合，两次使用余弦定理，从而解得所需要的边长，解出.
【详解】设在三角形与三角形中，
解得：

作的四等分点，且,由题意知，，
又因为，所以,,
又，所以,
在三角形与三角形中，
化简得: ,代入解得：,
从而解得：
故选：D.
8．D
【分析】由直线：与椭圆：至多有一个公共点，即联立方程，化简整理得，即可理解为双曲线外部的点（可行域），转化为线性规划的题，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到的取值范围.
【详解】联立方程，化简整理得：
因为直线：与椭圆：至多有一个公共点，
所以，即，
即点满足双曲线外部的点，即可行域，如图所示，为x轴，k为y轴，
将变形为，平移直线，
由图可知，当直线与双曲线相切时为临界条件.
联立，化简整理得：
由题知，，解得
若可行域是双曲线右支外部的点，即临界条件切线需要往上平移，即；
若可行域是双曲线左支外部的点，即临界条件切线需要往下平移，即；
综上可知，的取值范围是
故选：D.
【点睛】本题考查直线与椭圆交点个数问题，考查用双曲线外部点作可行域，求线性目标函数的最值，考查学生的转化与化归思想，数形结合思想与运算求解能力，属于难题.
9．ABD
【分析】由条件可求的解析式，再利用余弦函数的性质逐项判断即可.
【详解】对选项A，依题意函数的周期为，所以选项A正确；
对选项B，因为，即，又，所以，所以选项B正确；
对选项C，因为，又，
所以点不是的中心对称，所以选项C错误；
对选项D，因为，所以，因为在单调递减，
所以函数在区间单调递减，所以选项D正确.
故选:ABD.
10．AC
【分析】根据函数的奇偶性可得出关于的方程组，即可得的解析式，从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据的解析式，求出的解析式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得，即可判断选项C与选项D.
【详解】A，因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以，
因为①，所以，即②，
由得：，，所以选项A正确；
B，因为函数在上均为增函数，
故在上单调递增，所以选项错误；
C、D，因为，
所以，
又，当，即时等号成立，，
设，对称轴，
当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
则，解得或（舍）；
当时，在上单调递增，，解得：，不符合题意.
综上，所以选项C正确，错误.
故选：.
11．BCD
【分析】利用异面直线所成角定义求出异面直线与所成角判断A，利用等体积法求出三棱锥的体积判断B，利用线面垂直判定定理和性质判断C，根据条件确定三棱锥的外接球的球心，求出半径，即可求出球的体积判断D.
【详解】A，因为，又点与顶点重合，所以是异面直线与所成角，其大小为，故A错误；
B，因为是侧棱的中点，所以，又点在线段上，
所以三棱锥的体积（定值），故B正确；
C，因为点在线段上，连接，
因为平面平面，则，
又为正方形，则，且平面，
则平面，且平面，可得，同理可得，
又平面，则平面，
因为平面，所以，故C正确；
D，因为点为的中点，连接，记与的交点为，
取的中点为，连接，则，
又，所以点为三棱锥的外接球的球心，
所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的体积为，故D正确.
故选:BCD.
12．
【分析】根据向量的加减运算即可得出答案.
【详解】由题意可得：
.
所以.
故答案为：.
13．
【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可.
【详解】.
故答案为：.
14．
【分析】由，可得，由余弦定理，设，利用函数单调性求取值范围即可.
【详解】设椭圆长轴长为，焦距为，
因为，由椭圆的定义可得，
所以.
又因为，，
中由余弦定理可得：.
化简得，
由对勾函数的性质可知，在区间上单调递增，所以，
所以，可得，
所以椭圆的离心率取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
与椭圆的焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．
15．(1)
(2)的单调减区间是，单调增区间是，极小值为
【分析】（1）根据题意可得切线的斜率为0，然后利用即可求解；
（2）讨论的正负即可得到函数的单调区间，继而得到极小值
【详解】（1）由可得，
因为在点处的切线与垂直，
所以此切线的斜率为0，即，解得；
（2）由（1）可得，
由得，由得，
所以的单调减区间是，单调增区间是，
所以当时，取得极小值
16．(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）分两种情况求出概率，相加得到答案；
（2）求出X的所有取值及对应的概率，得到分布列和期望值.
【详解】（1）选取的3个科技企业中，BAT中有2个的概率为，
BAT中有3个的概率为，
故选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率为．
（2）由题意，X的所有取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，可通过证明，，得平面；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案.
【详解】（1）证明：连接，，则，
在中，因为，则，
因为，，所以，，
所以，则，
又，、平面，所以平面
（2）解：因为，为的中点，则，又平面，
以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
所以，，，，
，，，
，
设平面法向量为，则，令，即，
设平面法向量为，则令，即，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
所以．
18．(1)证明见解析，直线过定点；
(2).
【分析】（1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由结合平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可得出、所满足的等式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标；
（2）分和两种情况讨论，在时，直接计算出的面积，在时，将的面积表示为的表达式，求出面积的取值范围，综合可得结果.
【详解】（1）解：设直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、，则且，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，同理，
，
所以，，可得，
故直线的方程为，
因此，直线过定点.
（2）解：由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，记线段的中点为点.
①当时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴，
因为，则点为坐标原点，又因为，则为等腰直角三角形，
则的两腰所在直线的方程为，联立，解得或，
此时，，；
②当时，，，即点，
因为，则，
设点，其中且，，，
由已知可得
，
所以，，则，
直线的斜率为，可得，
所以，，当时，等式不成立，
所以，且，
所以，，则
，
所以，，
故.
综上所述，.
因此，面积的最小值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意写出满足性质的所有数表，再分别计算即可；
（2）根据题意，可知当取最大值时，存在，使得，由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为，再利用反证法证明即可；
（3）结合性质可得，，两式相加可得得，结合，可得，构造数表，结合性质进而可以求解.
【详解】（1）满足条件的数表为，
所以的值分别为5，5，6.
（2）若当取最大值时，存在，使得.
由数表具有性质可得为奇数，
不妨设此时数表为.
①若存在（为偶数，），使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得.
②若对任意的（为偶数，），都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，此时转化为①的情况.
综上可知，存在正整数，使得.
（3）当n为偶数时，令，，对任意具有性质数表，
一方面，，
因此．①
另一方面，，
因此.②
记．
由①+②得.
又，可得.
构造数表
可知数表具有性质，且.
综上可知，当n为偶数时，的最大值为.
【点睛】方法点睛：在证明抽象问题时，常常使用反证法：先设题设不成立，结合条件推出矛盾，即可说明题目成立.
X
0
1
2
3
P