上海市松江一中2023-2024学年高三下学期阶段测试1数学试卷

这是一份上海市松江一中2023-2024学年高三下学期阶段测试1数学试卷，共4页。
2024.3
考生注意：本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知复数，则的虚部为________．
2．若，则 ．
3．已知集合 ，，则______．
4．若________．
5．设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则 ．
6．已知，的对应值如表所示：
若与线性相关，且回归直线方程为，则 ．
7. 已知抛物线，位于第一象限的两点在抛物线上，焦点为，，则直线的倾斜角等于_______．
8．已知，则 ．
9．已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为 ．
10．向量满足，，，则的最大值为 ．
11.若直线与曲线和均相切，则直线的方程为 ．
12. 设函数的定义域为，满足．若，且在单调递增，则满足的的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．设、是平面外的两条直线，且，那么是的 条件
A．充分非必要B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
14. 已知分别为随机事件的对立事件，，则下列结论错误的
是 （ ）
A． B．
C．若互斥，则 D．若独立，则
15．已知函数的部分图像如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为 （ ）
A． B．C． D．
16．已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围
A．，B．，
C．，D．，
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编
号的规定区域内写出必要的步骤．
17.（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为与的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理得相关信息：
高一年级成绩分布表
（1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？
（2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为，用频率估计概率，求的分布列和期望．
19．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中．
（1）若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长；
（2）若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大．
20.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知双曲线离心率为，圆．
（1）若，双曲线的右焦点为，求双曲线方程；
（2）若圆过双曲线的右焦点，圆与双曲线的四个交点恰好四等分圆周，求的值；
（3）若，不垂直于轴的直线与圆相切，且与双曲线交于点，时总有，求离心率的取值范围．
21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若数列为自然底数），，，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围；
（3）数列满足，，．证明：对任意的，．
0
2
4
6
8
1
11
等级
成绩（分数）



人数
1
2
3
4
10