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2023-2024学年辽宁省沈阳126中教育集团八年级（下）开学数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳126中教育集团八年级（下）开学数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若m>n，则下列不等式中正确的是( )
A. m−2−12nD. n−m>0
2.分式x+5x−2的值是零，则x的值为( )
A. 2B. 5C. −2D. −5
3.下列各式：①x2−x2y4=(x−xy2)(x+xy2)，
②x2−1+2x=(x−1)(x+1)+2x，③−a2+2ab−b2=−(a−b)2，
④1m2−1=(1m−1)(1m+1).属于正确的因式分解的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( )
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形
5.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是( )
A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④
6.如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
7.小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是( )
A. 5×2+2x≥30B. 5×2+2x≤30C. 2×2+2x≥30D. 2×2+5x≤30
8.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
9.如果关于x的方程2x+mx−1=1的解是正数，那么m的取值范围是( )
A. m>−1B. m>−1且m≠0
C. m<−1D. m<−1且m≠−2
10.随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小聪同学想乘公交车，他走到A、B两站之间的C处，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为700m(如图)，此时他有两种选择：
(1)与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
(2)与公交车同向而行，到B公交站去乘车．
假设公交车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为( )
A. 240mB. 260mC. 280mD. 300m
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：a2−9a=______．
12.如图，已知函数y=ax+2与y=bx−3的图象交于点A(2,−1)，则根据图象可得不等式ax>bx−5的解集是______．
13.在△ABC中，若∠B=45°，AB=10 2，AC=5 5，则△ABC的面积是______．
14.关于x的不等式组x+212>3−xx15.如图，已知点A(3,0)，点B在y轴正半轴上，连接AB，点C在AB的右侧，且∠BAC=60°，AB=AC，若点C的坐标为(7,h)，则h= ______．
三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
因式分解：(x2+4)2−16x2．
17.(本小题8分)
解不等式组：3x>−8−x2(x−1)≤6．
18.(本小题10分)
先化简，再求值：(1+1x+1)⋅x+1x2+4x+4，其中x=4．
19.(本小题12分)
近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年“五一”期间龙岩旅游订单(含酒店、景点门票)同比增长超2000%.世界文化遗产——福建土楼(龙岩⋅永定)是热门的旅游目的地之一.某土楼纪念品专卖店积极为“五一”黄金周作好宣传与备货工作.已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元；用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同.专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元，每个乙种纪念品售价定为8元．
(1)每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少？
(2)根据市场调查，专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个，假设这400个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案．
20.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，点E为OC的中点．
(1)求证：∠ADO=2∠OBE；
(2)若F，G分别是OD，AB的中点．
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG，BC=8时，直接写出线段BE的长______．
21.(本小题12分)
[问题提出]：如何解不等式|x−1|+|x−3|>x+2？
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题．
图①中给出了函数y=x+1和y=2x+3的图象，观察图象，我们可以得到：
当x>−2时，函数y=2x+3的图象在y=x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3>x+1的解集为______．
预备知识2：函数y=|x|=x(x≥0)−x(x<0)，称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值
的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号.比如化简|x−1|+|x−3|时，可令x−1=0和x−3=0，分别求得x=1，x=3(称1，3分别是|x−1|和|x−3|的零点值)，这样可以就x<1，1≤x<3，x≥3三种情况进行讨论：
(1)当x<1时，|x−1|+|x−3|=−(x−1)−(x−3)
(2)当1≤x<3时，|x−1|+|x−3|=(x−1)−(x−3)=2；
(3)当x≥3时，|x−1|+|x−3|=(x−1)+(x−3)=2x−4
所以|x−1+|x−3|就可以化简为4−2x(x<1)2(1≤x<3)2x−4(x≥3)
预备知识3：函数y=b(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示．
[知识迁移]
如图④，直线y=x+1与直线y=ax+b相交于点A(m,3)，则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是______．
[问题解决]：
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x−1|+x−3|>x+2.在平面直角坐标系内作出函数y=|x−1|+|x−3|的图象，如图⑤.在同一直角坐标系内再作出直线y=x+2的图象，如图⑥，可以发现函数y=|x−1|+|x−3|与y=x+2的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是______，______；
通过观察图象，便可得到不等式|x−1|+|x−3|>x+2的解集.这个不等式的解集为______．
22.(本小题14分)
如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=2，点A在x轴上，以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
(1)①求点B的坐标；
(2)如图2.将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长；
(3)如图1，连接BE，在线段BE上有一动点M，连接CM，OM，直接写出CM+OM+BM的最小值为______；
(4)若去掉题卡中OB=2这个条件，点F为△OBC外一点，连接OF，BF，CF，若OF=6，BF=2，则当线段CF的长度最小时，∠OFB= ______，CF的最小值是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.由m>n，得m−2>n−2，那么A错误，故A不符合题意．
B.由m>n，得−2m<−2n，推断出1−2m<1−2n，那么B正确，故B符合题意．
C.由m>n，得−12m<−12n，那么C错误，故C不符合题意．
D.由m>n，得n−m<0，那么D错误，故D不符合题意．
故选：B．
根据不等式的性质解决此题．
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．利用分式值为零的条件可得x+5=0，且x−2≠0，再解即可．
【解答】
解：由题意得：x+5=0，且x−2≠0，
解得：x=−5，
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：①x2−x2y4=x2(1−y4)=x2(1−y2)(1+y2)=x2(1+y)(1−y)(1+y2)，故原题因式分解错误；
②x2−1+2x=(x−1)(x+1)+2x，不是化为几个整式积的形式，故原题不是因式分解；
③−a2+2ab−b2=−(a−b)2，正确；
④等式左边不是多项式，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，
所以属于正确的因式分解的有1个．
故选：A．
根据因式分解的意义对各小题进行分析即可．
本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
4.【答案】A
【解析】解：设多边形的边数为n，
(n−2)⋅180°=900°，
解得：n=7．
故选：A．
根据多边形的内角和公式：(n−2)⋅180°列出方程，解方程即可得出答案．
本题考查了多边形的内角和，体现了方程思想，掌握多边形的内角和=(n−2)⋅180°是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：C．
确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解。
【解答】
解：如图所示，满足条件的有：
(1)三条公路围成的三角形的两个内角平分线的交点，共1处；
(2)三条公路围成的三角形的外角两两平分线的交点，共3处；
∴加油站的地址一共有4处。
故选D。
7.【答案】D
【解析】解：设小明还能买x支签字笔，
依题意得：2×2+5x≤30．
故选：D．
设小明还能买x支签字笔，利用总价=单价×数量，结合总价不超过30元，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
根据平行四边形的判定定理作出判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：两边同时乘(x−1)得，
2x+m=x−1，
解得：x=−1−m，
又∵方程的解是正数，且x≠1，
∴x>0x≠1，即−1−m>0−1−m≠1，
解得： m<−1m≠−2，
∴m的取值范围为：m<−1且m≠−2．
故答案为：D．
先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x=−1−m，利用x>0和x≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m的范围．
本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确求得分式方程的解并考虑产生增根的情形是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：设看手机时小聪到A站的距离为x m，到B站的距离为y m．
到A公交站：x≤700−x6，
解得：x≤100；
到B公交站：y≤700+y6，
解得：y≤140．
∴x+y≤100+140=240，
即A，B两公交站之间的距离最大为240m．
故选：A．
设看手机时小聪到A站的距离为x m，到B站的距离为y m.到A公交站，由小聪到A站所用时间不能多于公交车到A站所用时间，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可求出x的取值范围；到B公交站，由小聪到B站所用时间不能多于公交车到B站所用时间，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可求出y的取值范围，进而可得出(x+y)的取值范围，再取其最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
11.【答案】a(a−9)
【解析】解：原式=a(a−9)．
故答案为：a(a−9)．
原式提取公因式a即可．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12.【答案】x<2
【解析】解：∵ax>bx−5，
∴ax+2>bx−3，
从图象上看，在交点的左边，相同自变量的取值，y=ax+2的函数值大于y=bx−5的函数值，
∴ax>bx−5的解集是：x<2．
把所求不等式进行整理可得与函数表达式相关的形式，找到在交点的哪一边，相同自变量的值，y=ax+2的函数值大于y=bx−5的函数值即可．
解决本题的关键是把所求的不等式整理为和所给函数相关的形式；两个函数图象进行比较，要从交点入手思考．
13.【答案】75或25
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理以及三角形的面积，求出AD，BC的长度是解题的关键．
过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．
【解答】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ABD中，AD= 22AB=10，BD=AD=10；
在Rt△ACD中，AD=10，AC=5 5，
∴CD= AC2−AD2=5，
∴BC=BD+CD=15或BC=BD−CD=5，
∴当BC=15时，S△ABC=12BC⋅AD=75．
当BC=5时，S△ABC=12BC⋅AD=25．
故答案为75或25．
14.【答案】−2【解析】解：x+212>3−x①x由①得x>−5；
由②得x故原不等式组的解集为−5又因为不等式组的所有整数解的和是−9，
所以当m<0时，这两个负整数解一定是−4和−3，由此可以得到−2当m>0时，则1故m的取值范围是−2首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
本题主要考查了无理数的估算，是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，临界数−1和−2的取舍是易错的地方，要借助数轴做出正确的取舍．
15.【答案】10 33
【解析】解：在x轴上分别取点E，F，使得∠BEA=60°，∠CFA=60°，
∵∠BEA=60°，
∴∠EBA+∠BAE=120°．
又∵∠BAC=60°，
∴∠CAF+∠BAE=120°，
∴∠EBA=∠CAF．
在△ABE和△CAF中，
∠EBA=∠CAF∠BEA=∠CFAAB=AC，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴BE=AF，AE=CF．
过点C作x轴的垂线，垂足为M，
∵点A坐标为(3,0)，点C的坐标为(7,h)，
∴OA=3，OM=7，
∴AM=7−3=4．
令MF=x，
∵∠MCF=90°−60°=30°，
∴CF=2MF=2x，
∴EA=CF=2x，
则EO=AE−OA=2x−3．
又∵∠EBO=90°−60°=30°，
∴BE=2EO=4x−6，
∵AF=AM+MF=4+x，
则4x−6=4+x，
解得x=103，
∴MF=103，CF=203．
在Rt△MCF中，
CM= CF2−MF2= (203)2−(103)2=10 33，
即h=10 33．
故答案为：10 33．
在x轴上分别取点E，F，使得∠BEA=60°，∠CFA=60°构造出全等三角形，再结合勾股定理即可解决问题．
本题考查坐标与图形性质，通过辅助线构造出全等三角形及勾股定理的巧妙运用是解题的关键．
16.【答案】解：原式=(x2+4+4x)(x2+4−4x)
=(x+2)2(x−2)2．
【解析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
17.【答案】解：3x>−8−x①2(x−1)≤6②，
由①移项得：3x+x>−8，
合并同类项得：4x>−8，
解得：x>−2，
由②去括号得：2x−2≤6，
移项得：2x≤6+2，
合并同类项得：2x≤8，
解得：x≤4，
∴不等式组的解集为−2【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：原式=(x+1x+1+1x+1)⋅x+1(x+2)2
=x+2x+1⋅x+1(x+2)2
=1x+2；
把x=4代入1x+2中，
原式=14+2=16．
【解析】应用分式的混合运算法则进行计算，化为最简，再把x=4代入计算即可得出答案．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值的方法进行求解是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)设每个甲种纪念品的进价是x元，则每个乙种纪念品的进价是(x−4)元，
由题意得：400x=240x−4，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，
∴x−4=10−4=6，
答：每个甲种纪念品的进价是10元，每个乙种纪念品的进价是6元；
(2)设该专卖店购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品(400−m)个，
由题意得：10m+6(400−m)≤3000，
解得：m≤150，
设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为W元，
由题意得：W=(13−10)m+(8−6)(400−m)=m+800，
∵1>0，
∴W随m的增大而增大，
∵m≤150，且m为正整数，
∴m的最大值是150，
∴当m=150时，W取最大值，W的最大值=150+800=950，
此时，400−m=400−150=250，
答：该专卖店购进甲种纪念品150个，乙种纪念品250个，获得的销售利润最大．
【解析】(1)设每个甲种纪念品的进价是x元，则每个乙种纪念品的进价是(x−4)元，由题意：用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设该专卖店购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品(400−m)个，由题意：专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个，列出一元一次不等式，解得m≤150，再设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为w元，由题意得出w关于m的一次函数，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
20.【答案】6
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，BD=2DO=2BO，
∴∠ADO=∠CBO，
∵BD=2AD，
∴AD=BO=BC，
∴△BOC是等腰三角形，
∵OE=CE，
∴∠OBE=∠CBE=12∠CBO=12∠ADO，
∴∠ADO=2∠OBE．
(2)①证明：∵△BOC是等腰三角形，E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA=90°，
∵G为AB中点，
∴EG=12AB，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF=12CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴EG=EF，
∴△EFG是等腰三角形．
②解：由题意知，EF//CD//BG，
∴EF=12CD=12AB=BG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴∠EFG=∠GBE，
∵∠FEG=∠AEB=90°，
∴△EFG∽△EBA，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
∴EG⊥AB，
设AG=GE=x，则BE=AE= 2x，CE= 2x3，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，BC2=BE2+CE2，即82=( 2x)2+( 2x3)2，
解得x=12 55或x=−12 55(不合题意，舍去)，
∴BE=6．
故答案为：6．
(1)由平行四边形的性质可知，AD//BC，AD=BC，BD=2DO=2BO，则∠ADO=∠CBO，AD=BO=BC，可得△BOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知∠OBE=∠CBE=12∠CBO=12∠ADO，进而结论得证；
(2)①由等腰三角形的性质可知∠BEA=90°，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得EG=12AB，由中位线的性质可知EF=12CD，由平行四边形的性质可知AB=CD，可得EG=EF，进而结论得证；②证明四边形BEFG是平行四边形，则∠EFG=∠GBE，证明△EFG∽△EBA，则△ABE是等腰三角形，∠BAE=∠ABE=45°，设AG=GE=x，则BE=AE= 2x，CE= 23x，在Rt△BCE中，由勾股定理BC2=BE2+CE2求出满足要求的x值，进而可得BE．
本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21.【答案】x>−2 x≤2 (23,83) (6,8) x<23或x>6
【解析】解：[问题提出]，如图，
∵当>−2时，函数y=2x+3的图象在y=x+1的图象上方，
∴不等式2x+3>x+1的解集为：x>−2，
故答案为：x>−2；
[知识迁移]，如图，
∵点A(m,3)在y=x+1上，
∴m+1=3，
解得：m=2，
∴A(2,3)，
∵当x≤2时，直线y=ax+b的图象在y=x+1的图象的上方，
∴不等式ax+b≥x+1，
即x+1≤ax+b的解集为：x≤2，
故答案为：x≤2；
[问题解决]，如图，
设y=|x−1|+|x−3|，
根据题意得：
y=|x−1|+|x−3|=4−2x(x<1)2(1≤x<3)2x−4(x≥3)，
由函数图象得：
y=4−2x与y=x+2有交点，
则y=4−2xy=x+2，
解得：x=23y=83，
y=2x−4与y=x+2有交点，
则y=2x−4y=x+2，
解得：x=6y=8，
∴y=|x−1|+|x−3|与y=x+2的两个交点坐标分别为：(23,83)；(6,8)，
故答案为：(23,83)；(6,8)；
由函数图象可知，当x<23时，y=|x−1|+|x−3|的图象在y=x+2的上方，
当x>6时，y=|x−1|+|x−3|的图象在y=x+2的上方，
故不等式|x−1|+|x−3|>x+2的解集为：x<23或x>6，
故答案为：x<23或x>6．
【问题提出】观察图象即可得出答案；
【知识迁移】由点A(m,3)在y=x+1上，可求出m的值，观察图象即可；
【问题解决】由y=|x−1|+|x−3|=4−2x(x<1)2(1≤x<3)2x−4(x≥3)，求出y=|x−1|+|x−3|与y=x+2的两个交点坐标分别为：(23,83)；(6,8)，画出图象即可解决问题．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键．
22.【答案】2 3 60° 4
【解析】解：(1)在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=2，
∴AB=12OB=1，OA= OB2−AB2= 22−12= 3，
∴点B的坐标为( 3,1)；
(2)如图，设OG=y，
∵△OBC是等边三角形，
∴OC=OB=BC=2，
∴CG=OC−OG=2−y，
由折叠得AG=CG=2−y，
在Rt△AOG中，OG2+OA2=AG2，
即y2+( 3)2=(2−y)2，
解得：y=14，
∴OG的长为14；
(3)如图，将△BCM绕点B顺时针旋转60°得到△BC′M′，连接MM′，
则BM′=BM，BC′=BC，C′M′=CM，∠C′BC=∠M′BM=60°，
∴△BMM′是等边三角形，
∴MM′=BM，
∴CM+OM+BM=C′M′+OM+MM′，
当O、M、M′、C′在同一条直线上时，CM+OM+BM=C′M′+OM+MM′=OC′为最小值，
∵D是OB的中点，∠OAB=90°，
∴AD=OD=BD=AB=1，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ODE=∠ADB=60°，
∵∠DOE=90°−30°=60°，
∴△ODE是等边三角形，
∴OE=OD=1，
∴点E是OC的中点，
∴∠CBE=∠OBE=30°，
∴∠ABO+∠OBC+∠CBC′=60°+60°+60°=180°，
∴A、B、C′三点在同一条直线上，
∴AC′=AB+BC′=1+2=3，
∴OC′= OA2+AC′2= ( 3)2+32=2 3，
故答案为：2 3；
(4)如图，以BF为边在△OBF内部作等边三角形BFG，连接OG，
则BG=FG=BF=2，∠FBG=∠BFG=60°，
∵△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
∴∠CBF=∠OBG，
在△BCF和△BOG中，
BF=BG∠CBF=∠OBGBC=BO，
∴△BCF≌△BOG(SAS)，
∴CF=OG，
当线段CF的长度最小时，OG最小，
∵OG≥OF−FG=6−2=4，
∴OG的最小值为4，此时点G落在线段OF上，∠OFB=∠BFG=60°，
∴CF的最小值为4；
故答案为：60°，4．
(1)利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案；
(2)设OG=y，则AG=CG=2−y，运用勾股定理建立方程求解即可求得答案；
(3)将△BCM绕点B顺时针旋转60°得到△BC′M′，连接MM′，可得CM+OM+BM=C′M′+OM+MM′，当O、M、M′、C′在同一条直线上时，CM+OM+BM=C′M′+OM+MM′=OC′为最小值，再运用勾股定理即可求得OC′= OA2+AC′2= ( 3)2+32=2 3；
(4)以BF为边在△OBF内部作等边三角形BFG，连接OG，可证得△BCF≌△BOG(SAS)，得出CF=OG，当线段CF的长度最小时，OG最小，即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠变换和旋转变换的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，正确添加辅助线是解题关键．
1.若m>n，则下列不等式中正确的是( )
A. m−2
2.分式x+5x−2的值是零，则x的值为( )
A. 2B. 5C. −2D. −5
3.下列各式：①x2−x2y4=(x−xy2)(x+xy2)，
②x2−1+2x=(x−1)(x+1)+2x，③−a2+2ab−b2=−(a−b)2，
④1m2−1=(1m−1)(1m+1).属于正确的因式分解的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( )
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形
5.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是( )
A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④
6.如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
7.小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是( )
A. 5×2+2x≥30B. 5×2+2x≤30C. 2×2+2x≥30D. 2×2+5x≤30
8.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
9.如果关于x的方程2x+mx−1=1的解是正数，那么m的取值范围是( )
A. m>−1B. m>−1且m≠0
C. m<−1D. m<−1且m≠−2
10.随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小聪同学想乘公交车，他走到A、B两站之间的C处，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为700m(如图)，此时他有两种选择：
(1)与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
(2)与公交车同向而行，到B公交站去乘车．
假设公交车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为( )
A. 240mB. 260mC. 280mD. 300m
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：a2−9a=______．
12.如图，已知函数y=ax+2与y=bx−3的图象交于点A(2,−1)，则根据图象可得不等式ax>bx−5的解集是______．
13.在△ABC中，若∠B=45°，AB=10 2，AC=5 5，则△ABC的面积是______．
14.关于x的不等式组x+212>3−xx
三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
因式分解：(x2+4)2−16x2．
17.(本小题8分)
解不等式组：3x>−8−x2(x−1)≤6．
18.(本小题10分)
先化简，再求值：(1+1x+1)⋅x+1x2+4x+4，其中x=4．
19.(本小题12分)
近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年“五一”期间龙岩旅游订单(含酒店、景点门票)同比增长超2000%.世界文化遗产——福建土楼(龙岩⋅永定)是热门的旅游目的地之一.某土楼纪念品专卖店积极为“五一”黄金周作好宣传与备货工作.已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元；用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同.专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元，每个乙种纪念品售价定为8元．
(1)每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少？
(2)根据市场调查，专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个，假设这400个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案．
20.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，点E为OC的中点．
(1)求证：∠ADO=2∠OBE；
(2)若F，G分别是OD，AB的中点．
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG，BC=8时，直接写出线段BE的长______．
21.(本小题12分)
[问题提出]：如何解不等式|x−1|+|x−3|>x+2？
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题．
图①中给出了函数y=x+1和y=2x+3的图象，观察图象，我们可以得到：
当x>−2时，函数y=2x+3的图象在y=x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3>x+1的解集为______．
预备知识2：函数y=|x|=x(x≥0)−x(x<0)，称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值
的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号.比如化简|x−1|+|x−3|时，可令x−1=0和x−3=0，分别求得x=1，x=3(称1，3分别是|x−1|和|x−3|的零点值)，这样可以就x<1，1≤x<3，x≥3三种情况进行讨论：
(1)当x<1时，|x−1|+|x−3|=−(x−1)−(x−3)
(2)当1≤x<3时，|x−1|+|x−3|=(x−1)−(x−3)=2；
(3)当x≥3时，|x−1|+|x−3|=(x−1)+(x−3)=2x−4
所以|x−1+|x−3|就可以化简为4−2x(x<1)2(1≤x<3)2x−4(x≥3)
预备知识3：函数y=b(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示．
[知识迁移]
如图④，直线y=x+1与直线y=ax+b相交于点A(m,3)，则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是______．
[问题解决]：
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x−1|+x−3|>x+2.在平面直角坐标系内作出函数y=|x−1|+|x−3|的图象，如图⑤.在同一直角坐标系内再作出直线y=x+2的图象，如图⑥，可以发现函数y=|x−1|+|x−3|与y=x+2的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是______，______；
通过观察图象，便可得到不等式|x−1|+|x−3|>x+2的解集.这个不等式的解集为______．
22.(本小题14分)
如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=2，点A在x轴上，以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
(1)①求点B的坐标；
(2)如图2.将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长；
(3)如图1，连接BE，在线段BE上有一动点M，连接CM，OM，直接写出CM+OM+BM的最小值为______；
(4)若去掉题卡中OB=2这个条件，点F为△OBC外一点，连接OF，BF，CF，若OF=6，BF=2，则当线段CF的长度最小时，∠OFB= ______，CF的最小值是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.由m>n，得m−2>n−2，那么A错误，故A不符合题意．
B.由m>n，得−2m<−2n，推断出1−2m<1−2n，那么B正确，故B符合题意．
C.由m>n，得−12m<−12n，那么C错误，故C不符合题意．
D.由m>n，得n−m<0，那么D错误，故D不符合题意．
故选：B．
根据不等式的性质解决此题．
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．利用分式值为零的条件可得x+5=0，且x−2≠0，再解即可．
【解答】
解：由题意得：x+5=0，且x−2≠0，
解得：x=−5，
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：①x2−x2y4=x2(1−y4)=x2(1−y2)(1+y2)=x2(1+y)(1−y)(1+y2)，故原题因式分解错误；
②x2−1+2x=(x−1)(x+1)+2x，不是化为几个整式积的形式，故原题不是因式分解；
③−a2+2ab−b2=−(a−b)2，正确；
④等式左边不是多项式，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，
所以属于正确的因式分解的有1个．
故选：A．
根据因式分解的意义对各小题进行分析即可．
本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
4.【答案】A
【解析】解：设多边形的边数为n，
(n−2)⋅180°=900°，
解得：n=7．
故选：A．
根据多边形的内角和公式：(n−2)⋅180°列出方程，解方程即可得出答案．
本题考查了多边形的内角和，体现了方程思想，掌握多边形的内角和=(n−2)⋅180°是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：C．
确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解。
【解答】
解：如图所示，满足条件的有：
(1)三条公路围成的三角形的两个内角平分线的交点，共1处；
(2)三条公路围成的三角形的外角两两平分线的交点，共3处；
∴加油站的地址一共有4处。
故选D。
7.【答案】D
【解析】解：设小明还能买x支签字笔，
依题意得：2×2+5x≤30．
故选：D．
设小明还能买x支签字笔，利用总价=单价×数量，结合总价不超过30元，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
根据平行四边形的判定定理作出判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：两边同时乘(x−1)得，
2x+m=x−1，
解得：x=−1−m，
又∵方程的解是正数，且x≠1，
∴x>0x≠1，即−1−m>0−1−m≠1，
解得： m<−1m≠−2，
∴m的取值范围为：m<−1且m≠−2．
故答案为：D．
先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x=−1−m，利用x>0和x≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m的范围．
本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确求得分式方程的解并考虑产生增根的情形是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：设看手机时小聪到A站的距离为x m，到B站的距离为y m．
到A公交站：x≤700−x6，
解得：x≤100；
到B公交站：y≤700+y6，
解得：y≤140．
∴x+y≤100+140=240，
即A，B两公交站之间的距离最大为240m．
故选：A．
设看手机时小聪到A站的距离为x m，到B站的距离为y m.到A公交站，由小聪到A站所用时间不能多于公交车到A站所用时间，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可求出x的取值范围；到B公交站，由小聪到B站所用时间不能多于公交车到B站所用时间，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可求出y的取值范围，进而可得出(x+y)的取值范围，再取其最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
11.【答案】a(a−9)
【解析】解：原式=a(a−9)．
故答案为：a(a−9)．
原式提取公因式a即可．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12.【答案】x<2
【解析】解：∵ax>bx−5，
∴ax+2>bx−3，
从图象上看，在交点的左边，相同自变量的取值，y=ax+2的函数值大于y=bx−5的函数值，
∴ax>bx−5的解集是：x<2．
把所求不等式进行整理可得与函数表达式相关的形式，找到在交点的哪一边，相同自变量的值，y=ax+2的函数值大于y=bx−5的函数值即可．
解决本题的关键是把所求的不等式整理为和所给函数相关的形式；两个函数图象进行比较，要从交点入手思考．
13.【答案】75或25
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理以及三角形的面积，求出AD，BC的长度是解题的关键．
过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．
【解答】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ABD中，AD= 22AB=10，BD=AD=10；
在Rt△ACD中，AD=10，AC=5 5，
∴CD= AC2−AD2=5，
∴BC=BD+CD=15或BC=BD−CD=5，
∴当BC=15时，S△ABC=12BC⋅AD=75．
当BC=5时，S△ABC=12BC⋅AD=25．
故答案为75或25．
14.【答案】−2
由②得x
所以当m<0时，这两个负整数解一定是−4和−3，由此可以得到−2
本题主要考查了无理数的估算，是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，临界数−1和−2的取舍是易错的地方，要借助数轴做出正确的取舍．
15.【答案】10 33
【解析】解：在x轴上分别取点E，F，使得∠BEA=60°，∠CFA=60°，
∵∠BEA=60°，
∴∠EBA+∠BAE=120°．
又∵∠BAC=60°，
∴∠CAF+∠BAE=120°，
∴∠EBA=∠CAF．
在△ABE和△CAF中，
∠EBA=∠CAF∠BEA=∠CFAAB=AC，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴BE=AF，AE=CF．
过点C作x轴的垂线，垂足为M，
∵点A坐标为(3,0)，点C的坐标为(7,h)，
∴OA=3，OM=7，
∴AM=7−3=4．
令MF=x，
∵∠MCF=90°−60°=30°，
∴CF=2MF=2x，
∴EA=CF=2x，
则EO=AE−OA=2x−3．
又∵∠EBO=90°−60°=30°，
∴BE=2EO=4x−6，
∵AF=AM+MF=4+x，
则4x−6=4+x，
解得x=103，
∴MF=103，CF=203．
在Rt△MCF中，
CM= CF2−MF2= (203)2−(103)2=10 33，
即h=10 33．
故答案为：10 33．
在x轴上分别取点E，F，使得∠BEA=60°，∠CFA=60°构造出全等三角形，再结合勾股定理即可解决问题．
本题考查坐标与图形性质，通过辅助线构造出全等三角形及勾股定理的巧妙运用是解题的关键．
16.【答案】解：原式=(x2+4+4x)(x2+4−4x)
=(x+2)2(x−2)2．
【解析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
17.【答案】解：3x>−8−x①2(x−1)≤6②，
由①移项得：3x+x>−8，
合并同类项得：4x>−8，
解得：x>−2，
由②去括号得：2x−2≤6，
移项得：2x≤6+2，
合并同类项得：2x≤8，
解得：x≤4，
∴不等式组的解集为−2
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：原式=(x+1x+1+1x+1)⋅x+1(x+2)2
=x+2x+1⋅x+1(x+2)2
=1x+2；
把x=4代入1x+2中，
原式=14+2=16．
【解析】应用分式的混合运算法则进行计算，化为最简，再把x=4代入计算即可得出答案．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值的方法进行求解是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)设每个甲种纪念品的进价是x元，则每个乙种纪念品的进价是(x−4)元，
由题意得：400x=240x−4，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，
∴x−4=10−4=6，
答：每个甲种纪念品的进价是10元，每个乙种纪念品的进价是6元；
(2)设该专卖店购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品(400−m)个，
由题意得：10m+6(400−m)≤3000，
解得：m≤150，
设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为W元，
由题意得：W=(13−10)m+(8−6)(400−m)=m+800，
∵1>0，
∴W随m的增大而增大，
∵m≤150，且m为正整数，
∴m的最大值是150，
∴当m=150时，W取最大值，W的最大值=150+800=950，
此时，400−m=400−150=250，
答：该专卖店购进甲种纪念品150个，乙种纪念品250个，获得的销售利润最大．
【解析】(1)设每个甲种纪念品的进价是x元，则每个乙种纪念品的进价是(x−4)元，由题意：用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设该专卖店购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品(400−m)个，由题意：专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个，列出一元一次不等式，解得m≤150，再设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为w元，由题意得出w关于m的一次函数，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
20.【答案】6
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，BD=2DO=2BO，
∴∠ADO=∠CBO，
∵BD=2AD，
∴AD=BO=BC，
∴△BOC是等腰三角形，
∵OE=CE，
∴∠OBE=∠CBE=12∠CBO=12∠ADO，
∴∠ADO=2∠OBE．
(2)①证明：∵△BOC是等腰三角形，E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA=90°，
∵G为AB中点，
∴EG=12AB，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF=12CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴EG=EF，
∴△EFG是等腰三角形．
②解：由题意知，EF//CD//BG，
∴EF=12CD=12AB=BG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴∠EFG=∠GBE，
∵∠FEG=∠AEB=90°，
∴△EFG∽△EBA，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
∴EG⊥AB，
设AG=GE=x，则BE=AE= 2x，CE= 2x3，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，BC2=BE2+CE2，即82=( 2x)2+( 2x3)2，
解得x=12 55或x=−12 55(不合题意，舍去)，
∴BE=6．
故答案为：6．
(1)由平行四边形的性质可知，AD//BC，AD=BC，BD=2DO=2BO，则∠ADO=∠CBO，AD=BO=BC，可得△BOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知∠OBE=∠CBE=12∠CBO=12∠ADO，进而结论得证；
(2)①由等腰三角形的性质可知∠BEA=90°，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得EG=12AB，由中位线的性质可知EF=12CD，由平行四边形的性质可知AB=CD，可得EG=EF，进而结论得证；②证明四边形BEFG是平行四边形，则∠EFG=∠GBE，证明△EFG∽△EBA，则△ABE是等腰三角形，∠BAE=∠ABE=45°，设AG=GE=x，则BE=AE= 2x，CE= 23x，在Rt△BCE中，由勾股定理BC2=BE2+CE2求出满足要求的x值，进而可得BE．
本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21.【答案】x>−2 x≤2 (23,83) (6,8) x<23或x>6
【解析】解：[问题提出]，如图，
∵当>−2时，函数y=2x+3的图象在y=x+1的图象上方，
∴不等式2x+3>x+1的解集为：x>−2，
故答案为：x>−2；
[知识迁移]，如图，
∵点A(m,3)在y=x+1上，
∴m+1=3，
解得：m=2，
∴A(2,3)，
∵当x≤2时，直线y=ax+b的图象在y=x+1的图象的上方，
∴不等式ax+b≥x+1，
即x+1≤ax+b的解集为：x≤2，
故答案为：x≤2；
[问题解决]，如图，
设y=|x−1|+|x−3|，
根据题意得：
y=|x−1|+|x−3|=4−2x(x<1)2(1≤x<3)2x−4(x≥3)，
由函数图象得：
y=4−2x与y=x+2有交点，
则y=4−2xy=x+2，
解得：x=23y=83，
y=2x−4与y=x+2有交点，
则y=2x−4y=x+2，
解得：x=6y=8，
∴y=|x−1|+|x−3|与y=x+2的两个交点坐标分别为：(23,83)；(6,8)，
故答案为：(23,83)；(6,8)；
由函数图象可知，当x<23时，y=|x−1|+|x−3|的图象在y=x+2的上方，
当x>6时，y=|x−1|+|x−3|的图象在y=x+2的上方，
故不等式|x−1|+|x−3|>x+2的解集为：x<23或x>6，
故答案为：x<23或x>6．
【问题提出】观察图象即可得出答案；
【知识迁移】由点A(m,3)在y=x+1上，可求出m的值，观察图象即可；
【问题解决】由y=|x−1|+|x−3|=4−2x(x<1)2(1≤x<3)2x−4(x≥3)，求出y=|x−1|+|x−3|与y=x+2的两个交点坐标分别为：(23,83)；(6,8)，画出图象即可解决问题．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键．
22.【答案】2 3 60° 4
【解析】解：(1)在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=2，
∴AB=12OB=1，OA= OB2−AB2= 22−12= 3，
∴点B的坐标为( 3,1)；
(2)如图，设OG=y，
∵△OBC是等边三角形，
∴OC=OB=BC=2，
∴CG=OC−OG=2−y，
由折叠得AG=CG=2−y，
在Rt△AOG中，OG2+OA2=AG2，
即y2+( 3)2=(2−y)2，
解得：y=14，
∴OG的长为14；
(3)如图，将△BCM绕点B顺时针旋转60°得到△BC′M′，连接MM′，
则BM′=BM，BC′=BC，C′M′=CM，∠C′BC=∠M′BM=60°，
∴△BMM′是等边三角形，
∴MM′=BM，
∴CM+OM+BM=C′M′+OM+MM′，
当O、M、M′、C′在同一条直线上时，CM+OM+BM=C′M′+OM+MM′=OC′为最小值，
∵D是OB的中点，∠OAB=90°，
∴AD=OD=BD=AB=1，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ODE=∠ADB=60°，
∵∠DOE=90°−30°=60°，
∴△ODE是等边三角形，
∴OE=OD=1，
∴点E是OC的中点，
∴∠CBE=∠OBE=30°，
∴∠ABO+∠OBC+∠CBC′=60°+60°+60°=180°，
∴A、B、C′三点在同一条直线上，
∴AC′=AB+BC′=1+2=3，
∴OC′= OA2+AC′2= ( 3)2+32=2 3，
故答案为：2 3；
(4)如图，以BF为边在△OBF内部作等边三角形BFG，连接OG，
则BG=FG=BF=2，∠FBG=∠BFG=60°，
∵△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
∴∠CBF=∠OBG，
在△BCF和△BOG中，
BF=BG∠CBF=∠OBGBC=BO，
∴△BCF≌△BOG(SAS)，
∴CF=OG，
当线段CF的长度最小时，OG最小，
∵OG≥OF−FG=6−2=4，
∴OG的最小值为4，此时点G落在线段OF上，∠OFB=∠BFG=60°，
∴CF的最小值为4；
故答案为：60°，4．
(1)利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案；
(2)设OG=y，则AG=CG=2−y，运用勾股定理建立方程求解即可求得答案；
(3)将△BCM绕点B顺时针旋转60°得到△BC′M′，连接MM′，可得CM+OM+BM=C′M′+OM+MM′，当O、M、M′、C′在同一条直线上时，CM+OM+BM=C′M′+OM+MM′=OC′为最小值，再运用勾股定理即可求得OC′= OA2+AC′2= ( 3)2+32=2 3；
(4)以BF为边在△OBF内部作等边三角形BFG，连接OG，可证得△BCF≌△BOG(SAS)，得出CF=OG，当线段CF的长度最小时，OG最小，即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠变换和旋转变换的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，正确添加辅助线是解题关键．
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