2024高考数学专题-“8+3+3”小题强化训练（12）（新高考九省联考题型）（原卷+解析版）

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1．小李同学参加了高三以来进行的6次数学测试，6次成绩依次为： 90分、100分、120分、115分、130分、125分.则这组成绩数据的上四分位数为（ ）
A. 120B. 122.5C. 125D. 130
【答案】C
【解析】将6次成绩分数从小到大排列依次为：，
由于，故这组成绩数据的上四分位数为第5个数125，
故选：C
2．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，解得，
所以，
因为，
所以以，
所以，
所以.
故选：B.
3．已知数列满足，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以，，，
所以数列的周期为3.
所以.
故选:D.
4．设是两条异面直线，下列命题中正确是（ ）
A. 过且与平行的平面有且只有一个
B. 过且与垂直的平面有且只有一个
C. 过空间一点与均相交的直线有且只有一条
D. 过空间一点与均平行的平面有且只有一个
【答案】A
【解析】
对于A，过上一点作的平行直线，则与确定一平面，由平面，
平面，所以平面，故A正确；
对于B，设过的平面为，若平面，则，故若与不垂直，则不存在过的平面与垂直，故B错误；
对于C，当点与确定一个平面，且与平行时，如图，则过空间一点与均相交的直线不存在，故C错误；

对于D，当点与中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D错误.

故选：A.
5．2023 年11月30日，重庆市轨道交通新开通 6 个站点，包括5号线中段忠恕沱、红岩村、歇台子3个站点和10号线南湖、万寿路、兰花路3个站点，为广大市民的出行提供了更多便利.某同学从中随机选择4个站点实地考察周边情况，则在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在红岩村被选中的条件下，还需从其它5个站点中选择3个，共有种选法，
其中10号线不少于2个站点的选法有种，
故在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为，
故选：B
6．公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为的水平截面的面积可以近似用函数，拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
圆锥的高和底面半径为，平行于圆锥底面的截面角圆锥的母线于点，
设截面圆圆心为点，且，则，
易知，则，即，可得，
所以，截面圆圆的半径为，圆的面积为，
又因为，
根据祖暅原理知，该“睡美人城堡”的体积与一个底面圆半径为，
高为的圆锥的体积近似相等，
所以该“睡美人城堡”的体积约为，
故选：D.
7．设为抛物线的焦点，为上一点且在第一象限，在点处的切线交轴于，交轴于，若，则直线的斜率为（ ）
A. －2B. C. D.
【答案】D
【解析】
易知，设，
则在点处的切线方程为，
所以，显然N为中点，
由抛物线定义可知，
即为以F为顶点的等腰三角形，所以，即，
所以直线的斜率为.
故选：D
8．在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】结合题意建立直角坐标，如图所示：
.
则，，，，，，
则，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，∴，∴，
∴，故，即.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】由题意，
A项，，故A正确；
B项，在中，，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；
C项，，，故，当且仅当即时等号成立，C错误；
D项，，，只有当时才有，当且仅当即时等号成立，故D错误.
故选：AB
10．已知点在圆上，点，，则（ ）
A. 存在点，使得B.
C. 存在点，使得D.
【答案】ABD
【解析】圆即，圆心，半径，又，
所以，因为点在圆上，所以，
所以存在点，使得，故A对．
因为，所以点在圆外，又，点在圆内，
所以当与圆相切时，取最大值，
此时，所以，故B对．
对于D，设，若
，
又点在圆上，一定成立，故D对，C错.
故选：ABD．
11．在正方体中，，为的中点，是正方形内部一点（不含边界），则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 平面内存在一条直线与直线成角
C. 若到边距离为，且，则点的轨迹为抛物线的一部分
D. 以的边所在直线为旋转轴将旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是
【答案】ACD
【解析】A.如图， 连结，则，
因为平面，平面，所以，
且，平面，
所以平面，平面，
所以，同理，且，且平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面，故A正确；

B.将正方体中，分离出四棱锥，取的中点，连结，
因为平面，，，
即，
则与平面所成角的最小值是，，
所以，
因为线面角是线与平面内的线所成的最小角，所以平面内不存在一条直线与直线成角，故B错误；

C.如图，取的中点，连结，平面，作于点，则
因为，则，即点到点的距离和点到的距离相等，即可点形成的轨迹是抛物线，故C正确；

D.连结交于点，取的中点，连结，
则点的运动轨迹是平面内以为圆心，为半径的圆，
易知，由，知，，且平面，
所以平面,平面，
所以平面平面，
，
如图，与圆的交点分别为，
当点位于点时，点到平面的距离分别取得最大值和最小值，
且距离的最大值为,
距离的最小值为,
所以点到平面的距离的取值范围是，故D正确.

故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率为__________.
【答案】2
【解析】由题意得，易知双曲线，即的渐近线方程为得
所以该双曲线的离心率
故答案为：.
13.已知函数，若的最小值为，则________．
【答案】
【解析】，，或，
．
故答案为: .
14.已知函数（，）且），若恒成立，则的最小值为______.
【答案】
【解析】函数的定义域为，
当时，可得在上单调递增，，不合题意；
当时，，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，有极小值，也是最小值，
又因为且，所以，
则，得，所以，
设，，令，得，
当，，
当，，
所以在区间单调递减，单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：.