2024高考数学专题-“8+3+3”小题强化训练（17）（新高考九省联考题型）（原卷+解析版）

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1．直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由抛物线的焦点为，
又由直线在轴与轴的截距相同，可得直线方程为，
将点代入，可得，所以直线的长为.
故选：A.
2．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，所以
又因为，所以.
故选：A．
3．平面向量，若，则（ ）
A. 6B. 5C. D.
【答案】B
【解析】因，，
所以，解得，
所以，
因此.
故选：B．
4．设，，表示平面，l表示直线，则下列说法中，错误的是（ ）.
A. 如果，那么内一定存在直线平行于
B. 如果，，，那么
C. 如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于
D. 如果，，则
【答案】D
【解析】对于选项A：根据线面关系可知：对于与的位置关系是平行或相交，在内均存在直线平行于，故A正确；
对于选项B：构造正方体（如图），取平面，为平面，为平面，
直线l即为直线，故B正确；
对于选项C：可用反证法假设，，与已知矛盾，故C正确；
对于选项D：如果，，与的位置关系为：平行或相交.
故选：D.
5．已知，则（ ）
A. 0B. 1C. -1D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，则，即，
所以.
故选：C
6．已知双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图所示，一镜面的轴截面图是双曲线的一部分，是它的一条对称轴，是它的左焦点，光线从焦点发出，经过镜面上点，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】以所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，
设双曲线的右焦点为，依题意可知直线过，
依题意，，，则，
所以三角形是等腰直角三角形，
设双曲线的方程为，，由，
解得（负根舍去），由于，
所以，
，两边除以得，
解得（负根舍去）.
故选：C
7．已知函数，若任意在上有零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，可得，
令，因为任意在上有零点，
则在上有解，
又因为在内有解的最短区间长度为，
所以，解得.
故选：C.
8．已知函数，若，且，恒有，则正实数t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不妨设，又，则，
所以，即恒成立，
故单调递减，则恒成立，
即．当时，成立，符合题意；
当时，设，则，故单调递增，
由得恒成立，即成立．
设，，
则时，，当时，，
即在单调递增，在单调递减，
，所以.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，设，当取大于的一组实数、、、、时、所得的值依次为另一组实数、、、、，则（ ）
A. 两组数据的中位数相同B. 两组数据的极差相同
C. 两组数据的方差相同D. 两组数据的均值相同
【答案】BC
【解析】因为，则，则，
所以，，不妨设，则，
对于A选项，值的中位数为，值的中位数为，且，A错；
对于B选项，值的极差为，值的极差为，
且，故两组数据的极差相同，B对；
对于C选项，记，
，
值的方差为，
值的方差为
，
故两组数据的方差相同，C对；
对于D选项，由C选项可知，，D错.
故选：BC.
10．如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于A，B两点，且，过点A任作一条直线与圆相交于M，N两点，则（ ）
A. 圆C的方程为
B. 圆C与圆的相交弦所在直线方程为
C.
D.
【答案】AC
【解析】由圆C与x轴相切于点T（1，0），可设圆C的方程为，
所以，所以圆C的方程为，故A正确；
圆C与圆O的方程相减得，此方程即为其相交弦所在直线方程，故B错误；
设为圆O上任意一点，则，
所以，所以，，
故C正确，D错误，
故选:AC．
11．已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 是奇函数D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】令，可得.
令，可得.因为当时，，所以.
令，可得.
因为，所以当时，.
又因为当时，，所以当时，.
令，可得，①
所以，两式相加可得.
令，可得.②
①-②可得，
化简可得，所以是奇函数，C正确.
由，可得：
，B错误.
由可得解得，A正确.
令，可得.
令，则.
因为当时，，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
因为为奇函数，所以在上单调递增，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．甲、乙、丙、丁共四名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第4名的名次，已知甲不是第1名，乙不是第4名，则这4个人名次排列的可能情况共有______种．
【答案】14
【解析】直接法：当乙是第1名时，甲、丙、丁共3名同学有种排法；
当乙不是第1名时，先排乙、甲，再排丙，丁，4名同学共有种排法，
所以这4个人名次排列共有14种．
间接法：这4个人名次排列的可能情况共有种．
故答案为：14
13.已知数列满足，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】数列中，，，显然，
则有，即，而，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
故答案为：
14.已知球的表面积为，三棱锥的顶点都在该球面上，则三棱锥体积的最大值为__________．
【答案】
【解析】根据题意，设球的半径为，则有，解得，
设底面的外接圆的圆心为，
需要的面积越大，先定住点，
若要的面积最大，则得为等腰三角形，
且在的底边的高线上，如图所示，
设到线段的距离为，底面的外接圆半径为，故，
，，
令，，
故，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，此时的面积最大，
此时，即，
所以是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，
设正三角形的底面边长为，，三棱锥的高为，
则，故，
所以三棱锥的体积：，
令，，
由，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，取最大值，
即三棱锥的体积取得最大值为，
故答案为：.