湖南省长沙市立信中学2023-2024学年+九年级下学期第一次月考数学试题

这是一份湖南省长沙市立信中学2023-2024学年+九年级下学期第一次月考数学试题，共8页。
时量：120分钟 总分：120分
注意事项：
1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚；
2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁；
4．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸
一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．春节期间，贴春联、送祝福一直是我们的优良传统，下列用篆书书写的春联中“五福临门”四个字，其中可以看成中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图的几何体，从左面看，得到的平面图是（ ）
A．B．C．D．
4．在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就，包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖亿人，其中亿用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线l1∥l2，l3与l1、l2分别相交于A、C两点，BC⊥l3交l1于点B，
若，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°
C．40°D．50°
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，，则旋转角α的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°

（第6题图） （第9题图） （第10题图）
7．2023年9月5日是第八个“中华慈善日”，主题为“携手参与慈善，共创美好生活”．某校为了响应中华慈善总会的号召，举行捐款活动。如表是某班的捐款金额统计情况，则该班捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A．5，3B．15，3C．15，5D．5，5
8．下列四个函数图象中，当，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，⊙O是△CDB的外接圆，AB为直径，若，则∠BDC的度数是（ ）
A．90°B．80°C．70°D．60°
10．如图，点E、F分別在长方形ABCD的BC、AD边上，将长方形沿EF折叠，使与CD重合，与AD相交于点G．若，则的度数是（ ）
A．55°B．125°C．70°D．135°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：_________．
12．一个多边形的外角和是内角和的2倍，这个多边形的边数为_________．
13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为_________cm．
14．木箱里装有仅颜色不同的12个红球和若干个蓝球，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在附近，则估计木箱中蓝球有____个．
15．设a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为_______．
16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，I为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最小值是_______．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解不等式组： ．
19．长沙摩天轮，位于新世纪体育文化中心，曾是亚洲第一高摩天轮，它建在屋顶之上，号称“长沙之眼”，在顶上一览夜景，非常震撼．如图，某人站在距离摩天轮60米的点A处（即米），以19°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C点，在原地再以63°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点．（人的身高忽略不计）
（1）求摩天轮的最低处到地面的距离CB的长；（精确到个位）
（2）求摩天轮圆轮直径CD的长．（精确到个位）
（参考数据：，，，，，）
20．中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽祥调查（每人选且仅选一项）的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受抽样调查的学生共有__________人；扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角度数为_________；
（2）若该校共有学生1200人，根据上述调查结果，可以估计该校学生中对心理健康知识“不了解”的人数约有_________人；
（3）某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取两人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到两名女生的概率．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作AE//BD，过点D作DE//AC交AE于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）连接OE，交AD于点M，过点D作DN⊥OE，垂足为点N，若，，求DN的长．
22．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用12万元购买A型充电桩与用18万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少?
（2）该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过15万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少?
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，，点D是AC的中点，连接OD，过点A作AB的垂线交OD延长线于点E，连接EC，并延长EC与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EC是⊙O的切线．
（2）若，，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
24．在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标和为10的点称为“圆梦点”：例如、…都是“圆梦点”．
（1）求图象上的“圆梦点”的坐标；
（2）若函数（，a为常数）图象上有且只有1个“圆梦点”，试求a的值与相应的“圆梦点”的坐标；
（3）已知抛物线关于x轴对称的抛物线上恰有两个“圆梦点”，两个“圆梦点”之间的线段长为．将抛物线C1绕点旋转180°，得到新函数C2，且C2图象上也存在两个“圆梦点”，请求出n的取值范围，并用含n的代数式表示C2上的两个“圆梦点”之间线段的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数图像与x轴交于、，与y轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，与抛物线的对称轴交于H点，若点H到x轴的距离是线段MN的，求线段MN的长：
（2）抛物线的顶点为D，过定点Q的直线与二次函数交于E、F，△DEF外接圆的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式．
备用图

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