初中数学人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程综合训练题

这是一份初中数学人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程综合训练题，共36页。试卷主要包含了利用二元一次方程组解应用题等内容，欢迎下载使用。

考点一：列一元一次方程解应用题的基本步骤：
审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。
技巧实际问题的常见类型：
行程问题：路程=时间×速度，时间=，速度=
（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）
工程问题：工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和
利润问题：利润=售价-进价，利润率=，售价=标价×（1-折扣）
等积变形问题：长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积
利息问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率
题型一：行程问题
1．（2022·昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校七年级期中）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之?意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·江苏·七年级专题练习）某人自驾车从A市前往B市，前五分之一路段为县道，中间的路段为高速公路，后十分之一路段也是县道．已知汽车在县道上行驶的速度为60km/h．在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A市前往B市一共行驶了1.8小时．求A、B两市之间的路程．
题型二：配套问题
3．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用钢材可做40个A部件或240个B部件。现要用钢材制作这种仪器，为了使制作的A、B部件恰好配套，设应用钢材制作A部件，则可列方程为（ ）
A．B．
C．4=D．
4．（2022·全国·七年级专题）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？
题型三：工程问题
5．（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）有一些相同的房间需要粉刷墙面，装修公司计划雇用A级技工和B级技工共10人粉刷房间．若1名B级技工晋级为A级技工，则A级技工和B级技工的人数恰好相等．
(1)求原计划中A级技工、B级技工各多少名？
(2)在实际工作中，一天3名A级技工去粉刷8个房间，结果其中有墙面未来得及粉刷；同样时间内5名B级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的墙面．每名A级技上比B级技工一天多粉刷墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积．
题型四：销售盈亏
7．（2022·全国·七年级专题练习）新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽绒服，标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，设这款服装的进价为x元，根据题意可列方程为（ ）
A．300×0.8−x＝60B．300−0.8x＝60
C．300×0.2−x＝60D．300−0.2x＝60
8．（2022·全国·七年级专题练习）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
题型五：比赛积分
9．（2022·全国·七年级专题练习）甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，设甲队胜了x场，则列方程为（ ）
A．x-3（10-x）=22B．3x-（10-x）=22
C．x+3（10-x）=22D．3x+（10-x）=22
10．（2022·全国·七年级专题练习）利用二元一次方程组解应用题：为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
题型六：方案选择
11．（2022·全国·七年级课时练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）十七中学刚完成校舍的修建，有一些相同的办公室需要粉刷墙面；一天5名一级技工去粉刷了8个办公室外还多粉刷了60平方米的展示厅墙面；同样时间内4名二级技工粉刷了7个办公室，结果有10平方米的墙面未来得及粉刷完，已知每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米的墙面．
(1)求每个办公室需要粉刷的墙面面积．
(2)已知每天需要给每名一级技工支付费用180元，每天需要给每名二级技工支付费用160元．十七中学有40个办公室的墙面和600平方米的展览墙需要粉刷，现有5名一级技工的甲工程队，4名二级技工的乙工程队，要来粉刷墙面．十七中学有两个选择方案，方案一：全部由甲工程队粉刷；方案二：全部由乙工程队粉刷；若使得总费用最少，十七中学应如何选择方案，请通过计算说明．
题型七：数字问题
13．（2022·全国·七年级专题练习）如图，现有的方格，每个小方格内均有不相同的个位数字，要求方格内每一行每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值为（ ）
A．21B．24C．27D．15
14．（2021·江苏·兴化市乐吾实验学校七年级阶段练习）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
(1)判断674，243是否是“好数”？并说明理由；
(2)求出百位数字比十位数字小7的所有“好数”的个数，并说明理由．
题型八：和差倍分问题
15．（2022·全国·七年级专题练习）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．某校三个年级为疫情重灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款1916元，求其他两个年级的捐款数若设七年级捐款数为x元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2022·广东·惠东县多祝中学七年级期末）罗浮山是国家级风景名胜区和国家AAAAA级旅游景区，某校组织七年级540名学生参加社会实践，现租用大、小两种客车共10辆，恰好能一次性运完全部学生．已知一辆小客车限载40人，一辆大客车限载60人，求这两种客车各租用多少辆？
题型九：电费和水费问题
17．（2022·全国·七年级课时练习）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：
若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（ ）
A．13公里B．12公里C．11公里D．10公里
18．（2022·安徽·萧县城北初级中学七年级期中）我市为了提倡节约，用水吨，自来水收费实行阶梯水价元，收费标准如下表所示：
(1)若用水量达到8吨，则需要交水费______元；若用水量达到14吨，则需要交水费______元．
(2)用户5月份交水费54元，则用水为多少吨？
题型十：几何问题
19．（2023·辽宁·沈阳市第一三四中学七年级阶段练习）已知点A在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，且满足．现将A、之间的距离记作，定义．
(1)A点表示的数___________；点表示的数___________；___________；
(2)点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是3．则___________；如果，则___________；
(3)设点M在数轴上是有理数，对应数为m，请直接写出：有最小值时，取值的有___________个；
(4)设点在数轴上对应的数是，当时，的值为___________．
(5)设点在数轴上对应的数是，当时，的值为___________．
(6)是一个有理数，则的最小值是___________；
20．（2023·广东·深圳市福永中学七年级阶段练习）阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如： 表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：类似地，表示5、之间的距离．一般地，A，B两点在数轴上表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可以表示为．
解决问题：如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和8，数轴上另有一个点P对应的数为x，试探索：
(1)点P、A之间的距离 ；如图，折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示的点与表示 的点重合；
(2)若，则 ；
(3)若点P在点A，B两点之间，则：若，则点P表示的数x为 ；由此可得，P点到A、B两点的距离之和的最小值为11，若P表示的为整数，则这样的P点有 个；
(4)当点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍时，求x的值．
一、单选题
21．（2022·全国·七年级单元测试）今有若干人乘车，每3人共乘一车且坐满，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A．−9B．+2＝C．−2＝D．+9
22．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某次篮球比赛计分规则为：胜一场积2分，负一场积1分，没有平场，八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分，那么八一队胜了（ ）场。
A．6B．7C．8D．9
23．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级）某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母18个或螺栓12个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2022·民大附中海南陵水分校七年级期中）将一个周长为42的长方形的长减少3，宽增加2，能得到一个正方形．若设长方形的长为x，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
25．（2022·湖北·宜昌市东山中学七年级期中）两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是千米/时．
(1)4小时后两船相距多远？
(2)若甲船由B港到A港用了4小时36分钟，再立即由A港返回B港时，共花10小时，试求水流速度a．
26．（2022·吉林省实验中学七年级期中）如图1是2022年4月份的月历，小军同学用“ ”字形框在月历上框出四个数字，将该“ ”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期的某一个日期用x表示，如图2所示，求：
(1)四个日期的和（用含x的代数式表示）；
(2)和为38时，x的值是多少？
27．（2022·北京二中七年级期中）为响应国家节能减排政策，某班开展了节电竞赛活动．通过随手关灯、提高夏季空调温度、及时关闭电源等行为，小明和小玲两位同学半年共节电55度．据统计，节约1度电相当于节约0.4千克“标准煤”，在节电55度产生的节煤量中，小明“节煤量”的2倍比小玲多8千克．设小明半年节电x度．
请回答下面的问题：
(1)用含x的代数式表示小玲半年节电量为_______度，用含x的代数式表示这半年小明节电产生的“节煤量”为_______千克，用含x的代数式表示这半年小玲节电产生的“节煤量”为_______千克；（不需要化简）
(2)请列方程求出小明半年节电的度数．
一：选择题
28．（2022·全国·七年级专题练习）《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如图的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则的值为（ ）
A．﹣2B．4C．6D．8
29．（2023·广东·深圳市福永中学七年级阶段练习）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？（ ）
A．5秒B．5秒或者4秒C．5秒或者秒D．秒
30．（2022·浙江台州·七年级期末）习题：甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53min．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
31．（2021·四川省南充市高坪中学七年级期中）如图，宽为50cm的长方形图案由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
32．（2022·四川·安岳县九韶初级中学七年级阶段练习）如图是2020年1月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中个数（如、、、、）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的个数，则这个数的和可能为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
33．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）如图，把1，2，3，4，5，6这六个数分别填入“三角形”图案的六个圆圈中，使“三角形”图案每边上的三个数之和都相等（每个数字只能使用一次）．现在小明已填了1，3，6三个数，那么A处应填的数字为_____________．
34．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）制作一张桌子需要一个桌面和四个桌腿，1米木材可制作20个桌面或制作400条桌腿，现有12米的木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应安排___________米木料用来生产桌面．
35．（2022·四川·东辰国际学校七年级阶段练习）相传，大禹治水时，洛水中一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，也就是现在的三阶幻方，三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格．如图，在九宫格中填入适当的数，使得纵，横，斜三个方向的数相加之和均相等，则x的值为_______．
36．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）、B两地相距215千米，甲骑自行车从地去地，乙开汽车从地去地，若汽车的速度是自行车速度的4倍，若2小时后两车相距25千米，则自行车的速度为_________千米/时．
37．（2022·河南·郑州外国语中学七年级阶段练习）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是−10，7，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在射线CB上，并且，则C点表示的数是_______．
38．（2023·辽宁·沈阳市第一三四中学七年级阶段练习）如图，在数轴上，点表示1，现将点沿数轴做如下移动，第一次点向左移动2个单位长度到达点，第二次将点向右移动4个单位长度到达点，第三次将点向左移动6个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离是43，那么的值是___________．
三、解答题
39．（2023·江苏·七年级专题练习）某校新学期准备添置一批课桌椅，原计划订购50套，每套120元，店方提示：如果多购，可以优惠，结果该校实际订购了60套，每套减价5元，但商店获得了同样多的利润，求每套课桌椅的成本价．
40．（2023·江苏·七年级专题练习）在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规定时间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100套；如果每天生产350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原计划生产任务是多少？
41．（2022·全国·七年级专题练习）一套精密仪器由一个部件和两个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件，现在要用钢材制作这种仪器．
(1)请问用多少钢材做部件，多少钢材做部件，可以恰好制成整套的仪器？
(2)可以制成仪器 套．
(3)现在某公司要租赁这批仪器a套，每天的付费方案有两种选择：
方案一：当a不超过50套时，每套支付租金100元；当a超过50套时，超过的套数每套支付租金打八折；
方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元．
当a＞50时，请回答下列问题：
①若按照方案一租赁，公司每天需支付租金 元（用含a代数式表示）；
若按照方案二租赁，公司每天需支付租金 元（用含a代数式表示）．
②假如你是公司负责人，请你谋划一下，选择哪种租赁方案更合算？并说明理由．
42．（2022·全国·七年级专题练习）某校准备利用寒假期间走访慰问贫困家庭学生，并给每位贫困家庭学生赠送一份学习用品（计划购买40份以上），学习用品每份售价60元，某商场给出了两种团购（40份以上）优惠方案：方案一：5份学习用品享受爱心免费赠送，剩下的学习用品按售价打九折；方案二：所购买的学习用品全部按售价打八折．
(1)该校采购老师发现：该校无论选择哪种团购方案，要付的钱都是一样的，问该校需要购买多少份学习用品？
(2)若该校改变计划，需购买学习用品50份，选择哪种方案优惠？请说明理由．
43．（2022·广东·珠海市第九中学七年级期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，点表示A点和B点之间的距离，且a、b满足．
(1)点A表示的数为___________；点B表示的数为___________；
(2)若A、B两点之间存在一点C，且，求C点表示的数；
(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动：同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）乙球的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①用含t的式子表示，甲球到原点的距离：___________；乙球到原点的距离：___________；
②求甲、乙两球到原点的距离相等时经历的时间．
44．（2022·辽宁·沈阳市和平区南昌中学沈北分校七年级）一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第一次操作；在剩下的长方形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的图形为正方形，则称原图形为n元理想长方形．如图1，长方形中，若，，则称形为2元理想长方形．
(1)如图2，长形长为7，宽为3，它是_________元理想长方形，在图中画出裁剪线；
(2)已知长方形的一边长为20，另一边长为a，且它是3元理想长方形，请画出长方形及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过380元
不优惠
超过380元，但不超过500元
售价打九折
超过500元
售价打八折
行驶里程
计费方法
不超过3公里
起步价8元
超过3公里且不超过7公里的部分
每公里按标准租费收费
超过7公里且不超过25公里的部分
每公里再加收标准租费的50%
超过25公里且不超过100公里的部分
每公里再加收标准租费的75%
超过100公里的部分
每公里再加收标准租费的100%
说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；
行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．
月用水量吨
不超过12吨的部分
超过12吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
3.00
1．A
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
据题题意：240x=150x+12×150，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．150千米
【分析】设A、B两市之间的路程为skm，根据“汽车从A市前往B市一共行驶了1.8小时”建立方程，求解即可．
【详解】设A、B两市之间的路程为skm，
根据题意可知，，
解得：s＝150，
故答案为：A、B两地的距离为150千米．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间来解答．
3．A
【分析】设应用钢材制作A部件，根据“一套仪器由一个A部件和三个B部件构成”，列出方程即可．
【详解】解：应用钢材制作A部件，
根据题意得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系，列出方程是关键．
4．18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球
【分析】设分配x个工人生产塑料棒，则分配（34﹣x）个工人生产金属球，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出分配生产塑料棒的工人数，再将其代入（34﹣x）中即可求出分配生产金属球的工人数．
【详解】解：设分配x个工人生产塑料棒，则分配个工人生产金属球，
依题意得：，
解得：x＝18，
∴34﹣x＝34﹣18＝16．
答：应分配18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．D
【分析】由题意一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，可以得出甲每天做整个工程的，乙每天做整个工程的，根据文字表述得到题目中的相等关系是：甲完成的部分+两人共同完成的部分＝1．
【详解】解：设整个工程为1，根据关系式甲完成的部分+两人共同完成的部分＝1列出方程式为：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决这类问题关键是找到等量关系．
6．(1)原计划中A级技工有名，则B级技工有名．
(2)每个房间需要粉刷的墙面面积为：
【分析】（1）原计划中A级技工有名，则B级技工有名，再根据B级技工减1人等于A级技工加1人，可得方程，再解方程可得答案；
（2）设每名A级技工每天粉刷的墙面，则每名B级技工每天粉刷的墙面，再根据每个房间的面积相等列方程，再解方程并求解每个房间需要粉刷的面积即可．
【详解】（1）解：原计划中A级技工有名，则B级技工有名，
∴
解得：
∴
答：原计划中A级技工有名，则B级技工有名．
（2）设每名A级技工每天粉刷的墙面，则每名B级技工每天粉刷的墙面，则

整理得：
解得：
∴每个房间的面积为：
答：每个房间的面积为：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
7．A
【分析】根据标价×（打折数÷10）-成本=利润，可以列出相应的方程．
【详解】解：设这款服装的进价是每件x元，由题意，得
．
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
8．(1)60，
(2)购进甲商品40件，乙商品10件
(3)13或14件
【分析】（1）根据题意直接列式计算即可；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可；
（3）设第一天购买乙种商品a件，设第二天购买甲种商品b件，然后分别列方程求得，最后求和即可．
【详解】（1）解：（元），
所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为．
故答案为：60，．
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
解得：，则．
答：购进甲商品40件，乙商品10件．
（3）解：设第一天购买乙种商品a件，
依题意得，，
解得或4.5（舍去），
所以第一天购买乙种商品5件．
设第二天购买甲种商品b件，
依题意得，，
解得或9（舍去），
所以第二天购买甲种商品8或9件，
（件）或（件）．
答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是解答本题的关键．
9．D
【分析】根据题意可知，甲队的胜场积分平场积分总积分，然后即可列出相应的方程．
【详解】解：设甲队胜了场，则平了场，
由题意可得：，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出方程．
10．该队获胜7场
【分析】设该队获胜x场，则平（11−x）场，利用总得分＝3×获胜场次数＋1×平的场次数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该队获胜x场，则平（11−x）场，
依题意得：3x＋（11−x）＝25，解得：x＝7，
∴11−x＝11−7＝4，
答：该队获胜7场．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．A
【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．
【详解】解：设合伙人数为x，则可列方程为
；
故选：A
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
12．(1)30平方米
(2)选择方案一：全部由甲工程队粉刷，计算过程见解析
【分析】（1）设每个办公室需要粉刷的墙面面积为x平方米，再根据一天5名一级技工去粉刷了8个办公室外还多粉刷了60平方米的展示厅墙面；同样时间内4名二级技工粉刷了7个办公室，结果有10平方米的墙面未来得及粉刷完，已知每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米的墙面列出方程求解即可；
（2）分别求出两个方案需要的花费即可得到答案．
【详解】（1）解：设每个办公室需要粉刷的墙面面积为x平方米，
由题意得，
解得，
∴每个办公室需要粉刷的墙面面积为30平方米；
（2）解：方案一的化花费：元，
方案二花费：元，
∵，
∴选择方案一：全部由甲工程队粉刷．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意列出对应的方程和式子是解题的关键．
13．C
【分析】先在方格中设出字母，然后用含c的式子表示出d和e，最后代入求解即可．
【详解】解：如图，
此时，，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题时注意“每个小方格内均有不相同的个位数字”仅指每个数的个位数字不同，不代表9个方格内均为个位数．
14．(1)674不是“好数”，243是“好数”，理由见解析
(2)4个，理由见解析
【分析】（1）根据“好数”的定义判断；
（2）根据“好数”的定义及“百位数字比十位数字小7”，进行推理求解．
（1）
解：674不是“好数”，243是“好数”．理由如下：
因为6、7、4都不为0，且6+7=13，13不能被4整除，
所以674不是“好数”，
因为2、4、3都不为0，且2+4=6，6能被3整除，
所以243是“好数”；
（2）
解：设十位数字为a，则百位数字为a-7（7＜a≤9，且a是整数），
所以a+a-7=2a-7，
当a=8时，2a-7=9，
因为9能被1、3、9整除，
所以满足条件的三位数有181、183、189．
当a=9时，2a-7=11，
因为11能被1整除，
所以满足条件的三位数有291．
综上所述，满足条件的三位自然数有181、183、189、291共4个．
【点睛】本题考查了新定义，解题的关键是正确理解好数的概念，列方程也是解题的关键．
15．A
【分析】根据七年级的捐款为x元，可以求得三个年级的总的捐款数，然后即可得到八年级的捐款数，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
七年级捐款数为元，则三个年级的总的捐款数为：，
故八年级的捐款为：，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
16．租用小客车3辆，大客车7辆
【分析】设租用小客车x辆，大客车y辆，根据540名学生共需大、小客车10辆，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设租用小客车x辆，大客车y辆．
依题意，得：，
解得：．
答：租用小客车3辆，大客车7辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．C
【分析】设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．根据题意列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．
若，根据题意得，不成立．
若，根据题意得．
解得（舍）．
若，根据题意得．
解得．
若，根据题意得．
解得（舍）．
若时，根据题意得．
解得（舍）．
∴若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为11公里．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．
18．(1)16，30
(2)22吨
【分析】（1）按照单价×总量=总价计算即可，超过12吨的部分则分两段计算即可；
（2）设5月份用水x吨，显然用水量超过了12吨，根据等量关系：12吨的水费＋超过12吨的水费=5月份的水费，列出方程，解方程即可．
（1）
用水量达到8吨，则需要交水费：8×2.00=16（元）；
用水量达到14吨，则需要交水费：12×2.00＋(14-12)×3.00=24＋6=30（元）；
故答案为：16，30
（2）
设5月份用水x吨，由于54元>12×2=24（元），表明5月份用水量超过了12吨，
由题意得：12×2＋(x－12)×3=54，
解得：x=22，
即5月份用水22吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：分段计费问题，弄懂题意，找到等量关系并正确列出方程是解题的关键．
19．(1)，1，6
(2)，0或6
(3)无数
(4)或
(5)或
(6)9
【分析】（1）根据绝对值的非负性得到，求出，即可得到答案；
（2）根据两点之间的距离公式求出，由＝3，解绝对值方程即可求出；
（3）当点在线段上时有最小值，据此解答便可；
（4）分两种情况：点在延长线上时；点在延长线上时，分别列出方程解答便可；
（5）根据 ，列出方程解答便可；
（6）根据时，原式取最小值，据此求出结果便可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴A点表示的数是；点表示的数是1，，
故答案为：，1，6；
（2）点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是3．则，
∵，
∴＝3，
解得0或6，
故答案为：，0或6；
（3）设点在数轴上对应的数是，
当点在线段上时有最小值，则，
∴取值的有无数个，
故答案为：无数；
（4）设点在数轴上对应的数是，
∵，
∴，
∴点在延长线上时，得，解得，
点在延长线上时，得，解得，
综上，的值为或；
故答案为：或；
（5）设点在数轴上对应的数是，
∵，
∴当时，，无解；
当时，，解得或，
综上，的值为或；
故答案为：或；
（6） 表示与、4三个数表示的点的距离之和，
当时，的值最小为： ，
故答案为： 9．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时的取值的一般规律是解题的关键．
20．(1)，9
(2)4或；
(3)或；10
(4)或．
【分析】（1）由两点间距离的定义可得，设表示的点与表示m的点M重合，且点M到点B和表示的点与点A的距离相等，即可求得答案；
（2）由，得到x和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7，即可得到答案；
（3）分点P在点A左侧和点P在点B右侧两种情况即可求得点P表示的数x，由P点到A、B两点的距离之和的最小值为11，若P表示的为整数，则由数轴可知P表示的整数的个数；
（4）分点P在线段AB上和点P位于点B右侧两种情况列方程求解即可．
（1）
解：由题意得，点P、A之间的距离，
设表示的点与表示m的点M重合，
∵数轴上两点A、B对应的数分别为和8，
∴，即点M到点B和表示的点与点A的距离相等，
∴或，
∵表示的点在点A的左边，
∴点M在点B的右边，
即不合题意，舍去，
即；
即表示的点与表示9的点重合；
故答案为：，9
（2）
∵，
∴x和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7，
∴x＝4或者x＝，
故答案为：4或；
（3）
∵，
∴点P到到点A和点B的距离之和等于13，
∵两点A、B对应的数分别为和8，
∴，
当点P在点A左侧时，如图1，
则，
∴，
即，此时点P表示的数x为，
当点P在点B右侧时，如图2，
则，
∴，
即，此时点P表示的数x为，
则点P表示的数x为或；
P点到A、B两点的距离之和的最小值为11，若P表示的为整数且在A、B两点之间，则由数轴可知P表示的整数为10个，即﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7；
故答案为：或；10
（4）
∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍，
∴当点P在线段AB上时，
得，
解得，
当点P位于点B右侧时，
得，
解得，
即x的值为或．
【点睛】此题考查了数轴上两点间的距离，关键是能分情况讨论，利用数轴列出算式或一元一次方程．
21．B
【分析】设共有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：+2＝．
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．D
【分析】设八一队胜了x场，根据八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分列方程，即可求解．
【详解】解：设八一队胜了x场，由题意得，

解得，
即八一队胜了9场，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列方程是解题的关键．
23．C
【分析】设分配x名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，根据生产的螺母数量为螺栓的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，
依题意，得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．D
【分析】根据长方形的长减少3，宽增加2，能得到一个正方形列方程求解即可．
【详解】设长方形的长为x，则宽是，
根据长方形的长减少3，宽增加2，能得到一个正方形，即长减少3等于宽增加2，列出方程得：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，此题用到了长方形的周长公式：周长=2×（长+宽）．掌握长方形的周长公式是解答此题的关键．
25．(1)4小时后两船相距千米
(2)水流速度a为千米/时
【分析】（1）反向出发，两船相距的路程为：甲路程乙路程顺水速度逆水速度；
（2）根据来回的路程相等列出方程求解即可．
【详解】（1）解：4小时后两船的距离为：千米，
答：4小时后两船相距千米；
（2）∵B港到A港用了4小时36分钟小时，来回共花10小时，
∴港到港的时间为小时，
则根据题意得：，
解得：千米/时，
答：水流速度a为千米/时．
【点睛】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用，熟知：顺水速度船速水流速度，逆水速度船速水流速度，是解本题的关键．
26．(1)
(2)6
【分析】（1）根据日历中同一排后面的数比前一个数大1，下面的数比上面的数大7列出代数式即可求解；
（2）根据题意列出关于x的方程，求出方程组的解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得；
（2）解：根据题意，得，
解得．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
27．(1)，，
(2)
【分析】（1）根据两位同学共节电度，小明半年节电x度，则可表示出小玲半年节电量；根据节约1度电相当于节约0.4千克“标准煤”，可表示出小明及小玲节电产生的“节煤量”；
（2）根据等量关系：小明“节煤量”的2倍比小玲多8千克，列出方程并解方程即可．
【详解】（1）解：小玲半年节电量为度，小明节电产生的“节煤量”为千克，小玲节电产生的“节煤量”为千克；
故答案为：，，；
（2）解：由题意得：，
解方程得：，
即小明半年节电度．
【点睛】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，列方程的关键是找到等量关系，并列出方程．
28．C
【分析】根据图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再结合即可求出的值．
【详解】解：依题意得：,
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及代数式求值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
29．C
【分析】根据点A表示的数为，可得点B对应的数，设经过x秒，根据点M、点N到原点O的距离相等，列出方程可解出时间x的值．
【详解】解：∵点A表示的数为，
∴，
∴点B表示的数为，
设经过x秒，点M、点N到原点O的距离相等，则点M表示的数为，点N表示的数为，
根据题意得：，
∴或，
解得：或，
答：经过5秒或秒后，点M，点N到原点O的距离相等；
故选：C
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值等知识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
30．C
【分析】根据小红列出的方程可知，小红设从甲地到乙地上坡为xkm，平路为ykm，下坡为km，因此从乙地到甲地上坡为km，平路为ykm，则下坡为xkm，根据从乙地到甲地需53min，列出方程即可．
【详解】解：∵小红列的方程为，
∴小红是设从甲地到乙地上坡为xkm，平路为ykm，下坡为km，
∴从乙地到甲地上坡为km，平路为ykm，则下坡为xkm，
∵从乙地到甲地需53min，
∴可以列方程为：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出x、y表示的意义，找出等量关系，是解题的关键．
31．A
【分析】设小长方形的宽为cm，长为cm，根据题意列方程组求解即可．
【详解】设小长方形的宽为cm，长为cm，根据题意得，解得，
一个小长方形的面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，能够根据题意列出方程组并准确求解是解题的关键．
32．D
【分析】设阴影十字框中间的数为x，得到其余4个数的代数式，把这5个数相加，可得和为5x，再逐一分析各选项中的数即可．
【详解】解：设阴影十字框中正中间的数为x，则这个数的和为
，
即这个数的和为5的倍数，
A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据所给数据得到阴影十字框中的五个数字之和是5的倍数．
33．4
【分析】根据题意，，即可求出的值．
【详解】解：根据题意得，，
解得：，
答：处应填4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．正确理解题意是解题的关键．
34．10
【分析】设安排米木料生产桌面，安排米生产桌腿，根据题意列方程求解即可．
【详解】设安排米木料生产桌面，则安排米生产桌腿，
根据题意得：，
解得：，
故答案为10．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用与求解，根据题意正确列出方程式是解题关键．
35．
【分析】利用纵，横，斜三个方向的数相加之和均相等列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
36．19或24
【分析】设自行车的速度为x千米/时，分两种情况：①相遇前，距离25千米②相遇后，距离25千米，再利用两车速度和×时间t=路程列出方程，再算出x的值即可．
【详解】解：设自行车的速度为x千米/时，
①相遇前，两车相距25千米，由题意得：
，
解得：，
②相遇后，两车相距25千米，由题意得：
，
解得：，
故答案为：19或24
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
37．−2或−1##或
【分析】设点表示的数为，分两种情况：当点落在线段CB上时，当点落在线段CB的延长线上时，分别表示出点表示的数，利用，建立方程计算即可．
【详解】解：设点表示的数为，
当点落在线段CB上时，
，点B表示的数是7，
点表示的数为，
，点A表示的数是，
，
解得；
当点落在线段CB的延长线上时，
，点B表示的数是7，
点表示的数为，
，点A表示的数是，
，
解得；
综上，点C表示的数是或．
故答案为或．
【点睛】本题考查了数轴及解一元一次方程，能够利用分类讨论的思想是解题的关键．
38．42或43
【分析】根据题意可以分别写出点A移动的规律，当点A奇数次移动后对应数的都是负数，偶数次移动对应的数都是正数，从而可知与原点的距离等于43分两种情况，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
第奇数次移动的点表示的数是：，
第偶数次移动的点表示的数是：，
∵点与原点的距离等于43，
∴当点n为奇数时，则，
解得，；
当点n为偶数，则，
解得．
故答案为：42或43．
【点睛】本题考查数字的变化规律，数轴，解题的关键是明确题意，可以分别写出点A奇数次和偶数次移动的关系式．
39．90元
【分析】设每套课桌椅的成本价是x元，根据利润相同列方程求解即可．
【详解】解：设每套课桌椅的成本价是x元，
根据题意得：50（120﹣x）＝60（120﹣5﹣x），
解得x＝90，
答：每套课桌椅的成本价是90元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键．
40．3100套
【分析】设这批防护服原计划生产任为x套，根据完成的时间关系列出等量关系式即可．
【详解】解：设这批防护服原计划生产任为x套，
依题意得：，
解得：x＝3100，
答：这批防护服原计划生产任为3100套．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
41．(1)用钢材做部件，用钢材做部件
(2)120套
(3)①，；②，选方案二；，两种方案费用相同；，选方案一，理由见解析
【分析】（1）设用钢材做部件，用钢材做部件，根据共有钢材，一个部件和两个部件刚好配成套，列方程组求解．
（2）根据部件的数量即可得到制作套数；
（3）①方案一租金根据当a超过50套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支付租金90元列式计算可得；
②根据，得到．分三种情况分析即可．
【详解】（1）解：设用钢材做部件，用钢材做部件，则
解得：，
则．
答：用钢材做部件，用钢材做部件，可以恰好制成整套的仪器；
（2）（套）．
答：可以制成仪器120套．
故答案为：120；
（3）①方案一：元，
方案二：元；
②依题意有：，
解得．
故，选方案二节省费用一些；
，两种方案费用相同；
，选方案一节省费用一些．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，正确理解题意列得方程或列式计算是解题的关键．
42．(1)45份
(2)方案二，理由见解析
【分析】（1）设该校需要购买x份学习用品，根据两种方案付款相同列出方程，解方程即可；
（2）分别求出方案一和方案二的花费，然后进行对比即可．
【详解】（1）解：设该校需要购买x份学习用品，由题意得：，
解得：．
答：该校需要购买45份学习用品．
（2）解：方案一：（元），
方案二：（元），
∵，
∴选择方案二，
答：选择方案二优惠．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程．
43．(1)，6
(2)
(3)①，或，②秒或秒
【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可；
（2）设点C表示的数为c，根据列等式求解即可；
（3）①甲球到原点的距离原点甲球对应的数，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时乙球折返前对应的数减去原点即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球折返后对应的数减去原点即为乙球到原点的距离；
②分两种情况：（Ⅰ），（Ⅱ），根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
故答案为：，6．
（2）解：∵点C在点A和点B之间时，设点C表示的数为c，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴点C表示的数为．
（3）解：①∵t秒后，甲球对应的数为：，
∴甲球与原点的距离为：；
乙球的运动情况分两种情况：
（Ⅰ）当时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，
则t秒后，乙球折返前对应的数为：，
∴乙球到原点的距离为：；
（Ⅱ）当时，乙球从原点O处开始一直向右运动，
∵折返前运动用时3秒，
∴折返后实际运动时间为秒，
则t秒后，乙球折返后对应的数为：，
此时乙球到原点的距离为：；
故答案为：；或；
②∵甲、乙两球到原点的距离相等：
（Ⅰ）当时，由上一问可得：，
解得：；
（Ⅱ）当时，由上一问可得：，
解得：；
综上所述，当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
【点睛】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的运用，以及数轴上两点间的距离，渗透分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．
44．(1)4，图见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）根据新定义“n元理想长方形”的操作步骤即可得出答案；
（2）根据已知得出符合条件的一共有4种情况：①是剪出三个边长为a的正方形，剩下一个边长为a的正方形；②是剪出2个边长为a的正方形，剩下长为a，宽为的长方形，再剪出一个长为的正方形即可；③是剪出一个边长为a的正方形，剩下一个长为a，宽为的长方形，再剪2个长为的正方形即可；④是剪出一个边长为a的正方形，剩下一个长为a，宽为的长方形，再剪出一个边长为的正方形，剩下一个长为，宽为的长方形，再剪一个边长为的正方形即可；分别画出图像得解．
【详解】（1）解：如图2所示，它是4元理想长方形，
故答案为：4；
（2）解：长方形的一边长为20，另一边长为a的三元理想长方形有以下四种：
①是剪出三个边长为a的正方形，剩下一个边长为a的正方形；
，
；
②是剪出2个边长为a的正方形，剩下长为a，宽为的长方形，再剪出一个长为的正方形；
，
；
③是剪出一个边长为a的正方形，剩下一个长为a，宽为的长方形，再剪2个长为的正方形；
，
；
④是剪出一个边长为a的正方形，剩下一个长为a，宽为的长方形，再剪出一个边长为的正方形，剩下一个长为，宽为的长方形，再剪一个边长为的正方形；
，
；