江苏省四校2023-2024学年高三下学期期初测试联考数学试卷

这是一份江苏省四校2023-2024学年高三下学期期初测试联考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第I卷(选择题共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合A＝{x∈R|x2－2x－3＜0}，集合B＝{x∈R|lg2(x＋2)＜1}，则A∩B＝
A.(－3,2)B.(－2,3)C.(－2,0)D.(－1,0)
2． 已知复数z满足(1－i)z＝3－i，则复数||＝
A.2B.C.2D.
3． 在∆ABC中，“A＝B”是“cs A＋sin A＝cs B＋sin B”的
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4． 我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3,4,5,6,8,10,12,13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为
A.B.C.D.
5． 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的体积为
A.B.C.D.
6． 若(2－x)10的展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则A＋B＋C＝
A.4095B.4097C.－4095D.－4097
7． 已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最大值为
A.B.C.D.
8． 若x1，x2是关于x的方程3sin2x－cs2x＝a在［0,］内的两根，则tan(x1＋x2)的值为
A.－3B.3D.－D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9． 已知向量a＝(1，－2)，b＝(1,3)，则下列结论正确的是
A.b在a上的投影向量是(1，－2)B.|2a＋b|＝|b|
C.a与b的夹角为D.(a＋b)⊥a
10．以下四个命题表述正确的是
A.直线(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(x∈R)恒过定点(－2,3)
B.圆x2＋y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x－y＋＝0的距离都等于1
C.曲线C1：x2＋y2＋2x＝0与曲线C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝4
D.若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆x2＋y2－6x＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为
11．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f＇(x)，若满足xf(x)＋x2f(x)＝1，且f(1)＝0，则下列说法正确的是
A.f(2)＞f(3)B.若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，则x1＋x2＝2e
C.f(x)的最大值为D.若xf(（x）≥eλ，则λ≤0
第II卷(非选择题共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，且7，a2，a6成等差数列，则S6＝ ▲ .
13．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果．经整理分析后发现，苹果的重量x(单位：kg)近似服从正态分布N(0.4，σ2)，已知P(x＜0.1)＝0.1，P(x＞0.5)＝0.3．若从该苹果园中随机采摘1个苹果，则该苹果的重量在(0.5,0.7］内的概率为 ▲ .
14．在正三棱锥A－BCD中，底面∆BCD的边长为4，E为AD的中点，AB⊥CE，则以AD为直径的球截该棱锥各面所得交线长为 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)
在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cs A＝.
(1)求的值；
(2)若a＝2，∆ABC的面积为，求b的值．
16．(15分)
篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动.
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上2×2列联表，判断是否有99.9％ 把握认为喜爱篮球运动与性别有关；
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1．
①求P3(直接写出结果即可)；
②证明：数列{Pn－}为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
附：χ2＝,n＝a＋b＋c＋d.
17．(15分)
已知函数f(x)＝xex－kx2，k∈R.
(1)当k＝0时，求函数f(x)在［－2,2］上的值域；
(2)若函数f(x)在(0,＋∞)上仅有两个零点，求实数k的取值范围．
18．(17分)
已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且AD＝DE＝2CE＝．现将∆ADE沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥P－ABCE.
(1)若点F在线段AP上，且EF//平面PBC，求的值；
(2)若PB＝，求锐二面角P－EC－A的余弦值.
19．(17分)
在平面直角坐标系xOy中，若在曲线E1的方程F(x，y)＝0中，以(λx，λy)(λ为非零的正实数)代替(x，y)得到曲线E2的方程F(λx，λy)＝0，则称曲线E1、E2关于原点“伸缩”，变换(x，y)→(λx，λy)称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.
(1)已知曲线E1的方程为＝1，伸缩比λ＝，求E1关于原点“伸缩变换”后所得曲线E2的方程；
(2)射线l的方程y＝x(x≥0)，如果椭圆E1：＝1经“伸缩变换”后得到椭圆E2，若射线l与椭圆E1、E2分别交于两点A、B，且|AB|＝，求椭圆E2的方程；
(3)对抛物线E1：x2＝2p1y，作变换(x，y)→(λ1x，λ1y)，得抛物线E2：x2＝2p2y；对E2作变换(x，y)→(λ2x，λ2y)，得抛物线E3：x3＝2p3y；如此进行下去，对抛物线En：x2＝2pny作变换(x，y)→(λnx，λny)， 得抛物线En＋1：x2＝2pn＋1y，…．若p1＝1，λn＝2n，求数列{pn}的通项公式pn.
喜爱篮球运动
不喜爱篮球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
P
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
x0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828