高中物理人教版 (2019)必修 第三册第十章 静电场中的能量3 电势差与电场强度的关系优秀学案

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一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
如图甲所示，在电场强度为E的匀强电场中，A、B是相距为d且沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
甲
(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；
(2)通过A、B间的电势差计算静电力所做的功；
(3)比较两次计算功的大小并总结电势差与电场强度的关系；
(4)如果A、B两点不在同一条电场线上(如图乙)，上述结论还成立吗？请尝试进行论证。
乙
答案 (1)WAB＝Fd＝qEd。
(2)WAB＝qUAB。
(3)两次计算功的大小相等，UAB ＝ Ed。
(4)WAB＝Flcs θ＝Fd＝qEd，WAB＝qUAB ，UAB＝Ed。故仍成立。
1．匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积，即UAB＝Ed，如果匀强电场中两点连线不沿电场方向，d的取值应为在电场方向的投影距离。
2．公式：E＝eq \f(UAB,d)。
(1)在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。
(2)电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
(3)电场强度单位的换算：1 V/m＝1 N/C。
(1)由公式E＝eq \f(UAB,d)得电场强度跟两点的电势差成正比，跟两点的距离成反比。( × )
(2)匀强电场中沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等。( √ )
(3)匀强电场中电势降低的方向必是电场强度方向。( × )
例1 (2022·罗平县第二中学高二期末)如图所示，匀强电场电场强度大小E＝100 V/m，A、B两点相距10 cm, A、B连线与电场线夹角为60°，则UBA为( )
A．5 V B．5eq \r(3) V
C．－5 V D．－5eq \r(3) V
答案 C
解析 根据沿电场方向电势降低可知B点电势低于A点电势，则UBA为负值，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系可得UBA＝－EdABcs 60°＝－5 V，故选C。
电势差的三种求解方法
1．应用定义式UAB＝φA－φB来求解。
2．应用关系式UAB＝eq \f(WAB,q)来求解。
3．应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解。
例2 如图所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm。
(1)求P板及A点的电势。
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
答案 (1)－50 V －30 V (2)－10 V
解析 板间电场强度方向水平向左，可知Q板电势最高，Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值。
(1)电场强度大小E＝eq \f(U,d)＝eq \f(50,10×10－2) V/m＝5×102 V/m
Q、A间电势差U1＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
所以A点电势φA＝－30 V，同理可求得P板电势φP＝U2＝－50 V
(2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离d ″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d＝(10－4) cm－5 cm＝1 cm
电场强度大小E′＝eq \f(U,d″)＝eq \f(50,5×10－2) V/m＝1.0×103 V/m
Q、A间电势差U1′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2 V＝10 V，所以A点电势φA′＝－10 V。
例3 如图所示，A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，eq \x\t(BC)＝20 cm。把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A点移到B点，静电力做的功为零；从B点移到C点，静电力做的功为－1.73×10－3 J，则该匀强电场的电场强度大小和方向是( )
A．865 V/m，垂直AC向左
B．865 V/m，垂直AC向右
C．500 V/m，垂直AB斜向下
D．1 000 V/m，垂直AB斜向下
答案 D
解析 把正电荷从A点移到B点，静电力做的功为零，说明直线AB是一条等势线，电场强度方向应垂直于AB，选项A、B错误；UBC＝eq \f(WBC,q)＝eq \f(－1.73×10－3,1×10－5) V＝－173 V，B点电势比C点电势低173 V，因电场线指向电势降低的方向，所以电场强度方向垂直于AB斜向下，电场强度大小E＝eq \f(UCB,\x\t(BC)sin 60°)＝eq \f(173,0.2×\f(\r(3),2)) V/m≈1 000 V/m，选项D正确，C错误。
二、利用公式E＝eq \f(U,d)定性分析非匀强电场
运用E＝eq \f(U,d)怎样解释电场线密的地方等差等势线也密？
答案 由E＝eq \f(U,d)知，U一定时，E越大，d越小，故电场线密的地方等差等势线也密。
例4 如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa＝20 V，φb＝50 V，则a、b连线的中点c的电势φc应为( )
A．φc＝35 V B．φc>35 V
C．φc＜35 V D．无法判断φc的高低
答案 B
解析 由题图知，ac段电场线比bc段电场线密，则ac段电场强度较大，根据公式U＝Ed可知，c、a间电势差Uca大于b、c间电势差Ubc，即φc－φa>φb－φc，φc>eq \f(φa＋φb,2) ＝35 V，故选B。
UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。
例5 (多选)如图所示，一个电场的电场线分布关于y轴对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN，P点在y轴的右侧，MP⊥ON，则( )
A．M点的电势比P点的电势高
B．将负电荷由O点移动到P点，静电力做正功
C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D．在O点由静止释放一个不计重力带正电的粒子，该粒子将沿y轴做直线运动
答案 AD
解析 分别过M、P点作等势线，可得到过P点的等势线在过M点的等势线上方，因沿着电场线方向电势降低，则有φM>φP，A对；将负电荷由O点移到P点，由于UOP>0，则W＝qUOPEC B．φA>φB>φC
C．UAB>UBC D．UAB＝UBC
答案 ABC
解析 由电场线的疏密程度可知电场强度大小关系为EA>EB>EC，A正确；A、B、C三点在同一条电场线上，根据沿着电场线的方向电势逐渐降低，有φA>φB>φC，B正确；电场线密集的地方电势降低较快，由U＝Ed知UAB>UBC，C正确，D错误。
7．(2022·临颍县南街高级中学高二期末)如图所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径之比为1∶2∶3。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势分别为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势( )
A．一定等于6 V B．一定低于6 V
C．一定高于6 V D．无法确定
答案 B
解析 根据点电荷电场强度公式可知，EA＞EB＞EC，又AB＝BC，由U＝Ed可以判断UAB＞UBC，所以φB＜6 V，故选B。
8.(2023·晋城市第二中学校高二阶段练习)如图所示，匀强电场中有一圆心角为120°的扇形OAB，电场方向平行于扇形平面，O点为扇形的圆心，C点为AB弧的中点，半径OA＝OB＝0.1 m。将一点电荷从A点以某一初速度射出，此后能以相同大小的速度经过B点，若再将一个电荷量为2×10－7 C的负点电荷由O点移到C点，克服静电力做功1×10－6 J。不计点电荷的重力，则( )
A．电场强度的大小为50 V/m，方向由A指向B
B．电场强度的大小为50eq \r(3) V/m，方向由A指向B
C．电场强度的大小为50 V/m，方向由O指向C
D．电场强度的大小为50eq \r(3) V/m，方向由O指向C
答案 C
解析 点电荷从A点以某一初速度射出，此后能以相同大小的速度经过B点，根据动能定理有UABq＝ΔEk＝0，可得A、B两点处的电势差等于零，即A、B两点的电势相同，如图连接AB为一等势线，过O点作AB的垂线为电场强度方向所在的直线，因为将一个电荷量为2×10－7 C的负点电荷由O点移到C点，克服静电力做功1×10－6 J，所以可得电场强度方向由O指向C，OC间电势差为UOC＝eq \f(W,q)＝eq \f(－1×10－6,－2×10－7) V＝5 V，所以E＝eq \f(UOC,OC)＝eq \f(5,0.1) V/m＝50 V/m，故选C。
9.如图所示，匀强电场的电场强度大小E＝4×105 V/m，A、B两点相距0.2 m，两点连线与电场线方向的夹角是60°，下列说法正确的是( )
A．若取A点的电势为0，则B点的电势φB＝4×104 V
B．A、B两点间的电势差是UAB＝4×104 V
C．电荷量q＝＋2×10－4 C的电荷从A点运动到B点电势能增大8 J
D．电荷量q＝－2×10－4 C的电荷从A点运动到B点电势能减小8 J
答案 B
解析 由题图可知，A、B两点间的电势差UAB＝ELcs 60°＝4×105×0.2×0.5 V＝4×104 V，又因为UAB＝φA－φB，故若取A点的电势为0，则B点的电势为φB＝－4×104 V，故A错误，B正确；电荷量q＝＋2×10－4 C的电荷从A点运动到B点，静电力做正功，电荷的电势能减小，故C错误；电荷量q＝－2×10－4 C的电荷从A点运动到B点，静电力做负功，电荷的电势能增大，故D错误。
10.如图所示，有一立方体空间ABCD－EFGH，则下列说法正确的是( )
A．若只在A点放置一正点电荷，则电势差UBCUHG，故A错误；若只在A点放置一正点电荷，由于B、H两点到A点的距离不相等，根据点电荷电场强度公式E＝keq \f(Q,r2)可知，B、H两点的电场强度大小不相等，故B错误；若在A、G两点处放置等量异种点电荷，由于BC与EH平行且相等，结合等势面的分布情况可知UBC＝UEH，故C正确；若在A、E两点处放置等量异种点电荷，等量异种点电荷的电场具有对称性，即上下对称，左右对称，D与H关于AE连线的中垂线上下对称，所以D点与H点电场强度大小相等，同理得H与F两点的电场强度大小相等，则D、F两点的电场强度大小相等，但方向不同，所以电场强度不同，故D错误。
11.(2023·商丘市实验中学高二期中)如图所示，真空中有一匀强电场(图中未画出)，电场方向与圆周在同一平面内，△ABC是圆的内接直角三角形，∠BAC＝60°，O为圆心，半径R＝2 cm。位于A处的粒子源向平面内各个方向发射初动能均为2 eV、电荷量为＋e的粒子，这些粒子会经过圆周上不同的点，其中到达B点的粒子动能为6 eV，到达C点的粒子动能也为6 eV。忽略粒子受到的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
A．UCA＝4 V
B．电场方向由B指向A
C．匀强电场的电场强度大小为200 V/m
D．经过圆周上的所有粒子，动能最大为6 eV
答案 C
解析 根据题意可知到达B点的粒子动能与到达C点的粒子动能相等，所以B、C两点电势相等，BC连线为匀强电场的等势线，根据电场线与等势线相互垂直，且电荷量为＋e的粒子从A点运动到B点动能增大，可知静电力做正功，粒子一定沿着电场线方向运动，由此可判断AB的方向就是该电场的电场强度方向，如图所示。A、B间的电势差为UAB＝eq \f(WAB,q)＝eq \f(ΔEk,q)＝eq \f(6 eV－2 eV,e)＝4 V，根据几何关系可得dAB＝2 cm，电场强度大小为E＝eq \f(UAB,dAB)＝eq \f(4,0.02) V/m＝
200 V/m，故B错误，C正确；因为φB＝φC，可得UCA＝UBA＝－UAB＝－4 V，故A错误；易知整个圆周上D点电势最低，则粒子运动到D点动能最大，大于到达B点的粒子动能6 eV，故D错误。
12.如图所示，把平行板电容器的一个极板P与电源的正极相连，另一极板Q与电源负极相连，Q板接地，两板间产生的电场可看作匀强电场。已知电源电压为100 V，板间的距离d＝20 cm，两板间的A点距P板8 cm。
(1)求两板间的电场强度大小；
(2)将q＝－2.0×10－6 C的试探电荷从A点移到Q板，求静电力做的功；
(3)将Q板向下平移5 cm，则A点的电势将变为多少。
答案 (1)500 V/m (2)－1.2×10－4 J (3)68 V
解析 (1)两板间的电场强度大小E＝eq \f(U,d)＝500 V/m。
(2)U1＝Ed1＝500×(20－8)×10－2 V＝60 V
则静电力做功为W＝qU1＝－1.2×10－4 J。
(3)将Q板向下平移5 cm，则E′＝eq \f(U,d′)＝400 V/m
A点的电势φA＝U2＝E′d2＝68 V。
13.(多选)电荷量为＋Q的点电荷与一无限大接地金属板(电势为零)MN相距为2d，所形成电场的电场线如图所示。图中P点与金属板相距为d，R点与P点关于点电荷对称，且测得P点电势为0.5 V。则下列说法中正确的是( )
A．R点的电场强度大小大于P点的电场强度大小
B．带正电的试探电荷从R点移动到P点，静电力做功等于零
C．点电荷与金属板间的电势差大于1 V
D．金属板表面电势相等
答案 CD
解析 根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小，则R点的电场强度大小小于P点的电场强度大小，A错误；电场线的疏密程度表示电场强度的大小，Q左侧电场强度大小小于右侧的电场强度大小，根据U＝Ed，无穷远处电势为零，则R点电势大于0.5 V，带正电的试探电荷从R点移动到P点，静电力做功不等于零，B错误；P点左侧电场线比较密，则左侧的电场强度较大，根据U＝Ed，则UQP>0.5 V，点电荷与金属板间的电势差大于1 V，C正确；金属板处于静电平衡状态，是等势体，表面是等势面，D正确。