必修 第三册4 电容器的电容优秀第2课时学案设计

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一、平行板电容器的电容
1．在探究影响平行板电容器电容大小的因素的实验中静电计在实验中的作用是什么？
答案 反映两极板之间的电压，电压越大，静电计的指针偏转的角度就越大。
2．如图，实验中待测电容器所带的电荷量是否变化？实验中怎样知道电容器电容变大还是变小？
答案 实验中待测电容器所带的电荷量保持不变。静电计的指针偏转角度变大说明电容器电压变大，所带电荷量保持不变时由C＝eq \f(Q,U)知电容减小，反之亦然。
3．利用平行板电容器进行实验
(1)如图所示，保持Q和d不变，减小两极板的正对面积S，观察到静电计指针偏角增大，请依据C＝eq \f(Q,U)分析电容C的变化。
(2)如图所示，保持Q和S不变，增大两极板间的距离d，观察到静电计指针偏角增大，分析电容C的变化。
(3)如图所示，保持Q、S、d不变，插入电介质，观察到静电计指针偏角减小，分析电容C的变化。
答案 (1)S减小，电势差U增大，电容C减小。
(2)d增大，电势差U增大，电容C减小。
(3)插入电介质，电势差U减小，电容C增大。
1．平行板电容器电容的决定因素：电容C与两极板间电介质的相对介电常数εr成正比，跟极板的正对面积S成正比，跟两极板间的距离d成反比。
2．平行板电容器电容的决定式：C＝eq \f(εrS,4πkd)，εr为电介质的相对介电常数，k为静电力常量。当两极板间是真空时，εr＝1。
例1 (2022·天津市汇文中学高二阶段练习)关于平行板电容器的电容，下列说法正确的是 ( )
A．跟两极板的正对面积S有关，S越大，C越小
B．跟两极板的间距d有关，d越大，C越小
C．跟两极板上所加电压U有关，U越大，C越大
D．跟两极板上所带电荷量Q有关，Q越大，C越大
答案 B
解析 由电容器的电容决定式C＝eq \f(εrS,4πkd)可知，电容与两极板的正对面积S有关，S越大，C越大，A错误；由电容器的电容决定式C＝eq \f(εrS,4πkd)可知，电容与两极板的间距d有关，d越大，C越小，B正确；电容器的电容与两极板上所加电压U及电容器所带的电荷量Q均无关，C、D错误。
例2 (2022·天津市第二南开中学高二阶段练习)板间距为d的平行板电容器所带电荷量为Q时，两极板间电势差为U1，板间电场强度为E1。现将电容器所带电荷量变为2Q，板间距变为eq \f(1,2)d，其他条件不变，这时两极板间电势差为U2，板间电场强度为E2，下列说法正确的是( )
A．U2＝U1，E2＝2E1 B．U2＝2U1，E2＝4E1
C．U2＝U1，E2＝E1 D．U2＝2U1，E2＝2E1
答案 A
解析 设板间距为d的平行板电容器的电容为C1，则根据C＝eq \f(εrS,4πkd)可得，板间距变为eq \f(1,2)d后，电容器的电容为C2＝2C1，根据电容器电容的定义式C＝eq \f(Q,U)，可得板间距变为eq \f(1,2)d后，两极板间电势差为U2＝eq \f(2Q,C2)＝eq \f(2Q,2C1)＝U1，则板间距变为eq \f(1,2)d后，两极板间电场强度为E2＝eq \f(U2,\f(1,2)d)＝eq \f(2U1,d)＝2E1，故选A。
1．公式C＝eq \f(Q,U)和C＝eq \f(εrS,4πkd)的比较
2.电容器容纳电荷的本领由eq \f(Q,U)来量度，由本身的结构(如平行板电容器的εr、S、d等因素)来决定。
二、平行板电容器的两类动态问题
1．两类基本问题
(1)电容器始终与电池两极相连，让电容器的某一物理量发生变化，求其他物理量的变化。处理原则：电容器上的电压不变。
(2)电容器和电源连接后再断开，电容器不充、放电而让某一物理量发生变化，求其他物理量的变化。处理原则：电容器上的电荷量不变。
2．平行板电容器动态问题的分析方法
抓住不变量，分析变化量，紧抓三个公式：
C＝eq \f(Q,U)、E＝eq \f(U,d)和C＝eq \f(εrS,4πkd)
3．平行板电容器的两类典型问题基本思路
(1)U不变的情形
由C＝eq \f(εrS,4πkd)→C∝eq \f(εrS,d)，可知C随d、S、εr的变化而变化
由Q＝UC＝Ueq \f(εrS,4πkd)→Q∝eq \f(εrS,d)，可知Q随d、S、εr的变化而变化
由E＝eq \f(U,d)→E∝eq \f(1,d)，可知E随d的变化而变化
(2)Q不变的情形
由C＝eq \f(εrS,4πkd)→C∝eq \f(εrS,d)，可知C随d、S、εr的变化而变化
由U＝eq \f(Q,C)＝eq \f(4πkdQ,εrS)→U∝eq \f(d,εrS)，可知U随d、S、εr的变化而变化
由E＝eq \f(U,d)＝eq \f(Q,Cd)＝eq \f(4πkQ,εrS)→E∝eq \f(1,εrS)，可知E随S、εr的变化而变化，但与d无关，不随d的变化而变化
例3 (多选)(2023·北方民族大学附属中学高二阶段练习)随着生活水平的提高，电子秤已经成为日常生活中不可或缺的一部分，电子秤的种类也有很多，如图所示是用平行板电容器制成的电子秤及其电路简图。称重时，把物体放到电子秤面板上，压力作用会导致平行板上层膜片电极下移。则放上物体( )
A．稳定后电容器的电容增大
B．稳定后极板间电场强度增大
C．膜片电极下移过程中G表中有从b流向a的电流
D．稳定后电容器的带电荷量变小
答案 ABC
解析 平行板上层膜片电极下移，则d减小。由平行板电容器电容的表达式C＝eq \f(εrS,4πkd)，可知d减小，C增大，而电容器两端的电压不变，由E＝eq \f(U,d)，可知电场强度增大，A、B正确；根据Q＝CU可知平行板电容器带电荷量增大，则继续充电，由电路图可知G表中有从b流向a的电流，C正确，D错误。
例4 (多选)(2023·永安市第九中学高二阶段练习)一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地，在两极板间有一正电荷，电荷量足够小，固定在P点，如图所示。若保持负极板不动，将正极板移到图中虚线位置，则( )
A．静电计指针偏角变小
B．两极板间的电场强度保持不变
C．P点的电势变大
D．在P点的正电荷电势能保持不变
答案 BD
解析 由题意知：平行板电容器充电后与电源断开，电容器的带电荷量Q不变，根据C＝eq \f(εrS,4πkd)，以及两板间距d变大，可知C减小，根据Q＝CU可知，U变大，即静电计指针偏角变大，选项A错误；由C＝eq \f(εrS,4πkd)、C＝eq \f(Q,U)、E＝eq \f(U,d)，可得推论公式E＝eq \f(4πkQ,εrS)，可知板间电场强度E不变，故B正确；则由U＝Ed知，P与负极板间的电势差不变，则P点的电势不变，正电荷在P点的电势能不变，故C错误，D正确。
针对训练 (2022·华中师范大学第一附属中学光谷分校高二阶段练习)如图所示，两块较大的金属板A、B平行放置并与一电源相连，其中A板接地(取大地电势φ＝0)。开关S闭合后，两板间有一质量为m、电荷量为q的油滴恰好处于静止状态。以下说法正确的是( )
A．保持S闭合，若将A板向上平移一小段位移，则油滴向下加速运动，G中有a→b的电流
B．保持S闭合，若将A板向左平移一小段位移(油滴仍处于两极板之间)，则油滴仍然静止，G中有b→a的电流
C．若将S断开，则油滴立即向下做匀加速直线运动
D．若将S断开，再将B板向下平移一小段位移，则油滴仍然保持静止，但油滴的电势能减小
答案 B
解析 保持S闭合，若将A板向上平移一小段位移，可知极板间距离变大，极板间电压不变，根据E＝eq \f(U,d)，可知电场强度变小，油滴受到的静电力变小，油滴向下加速运动；根据C＝eq \f(εrS,4πkd)、C＝eq \f(Q,U)，可知电容变小，电容器所带电荷量减小，G中有b→a的电流，A错误；保持S闭合，若将A板向左平移一小段位移，可知极板间距离不变，极板间电压不变，根据E＝eq \f(U,d)，可知电场强度不变，油滴受到的静电力不变，油滴仍然静止，根据C＝eq \f(εrS,4πkd)、C＝eq \f(Q,U)，由于正对面积减小，可知电容变小，电容器所带电荷量减小，G中有b→a的电流，B正确；若将S断开，电容器电荷量不变，极板间电压不变，板间电场强度不变，油滴受到的静电力不变，油滴仍然静止，C错误；若将S断开，再将B板向下平移一小段位移，可知极板间距离变大，电容器所带电荷量不变，根据C＝eq \f(εrS,4πkd)，C＝eq \f(Q,U)，E＝eq \f(U,d)＝eq \f(Q,Cd)＝eq \f(Q,\f(εrS,4πkd)d)＝eq \f(4πkQ,εrS)，可知板间电场强度不变，油滴受到的静电力不变，油滴仍然静止，由于油滴所在位置与A板距离不变，可知油滴所在位置与A板间的电势差不变，且A板接地，可知油滴所在位置的电势不变，故油滴的电势能不变，D错误。
课时对点练
考点一 平行板电容器的电容
1．(2023·皮山县高级中学高二期末)以下措施中，可以增大平行板电容器电容的是( )
A．增大两板带电荷量
B．增大两板间电压
C．增大两板间的距离
D．增大两板正对面积
答案 D
解析 平行板电容器电容与电荷量和板间电压无关，根据C＝eq \f(εrS,4πkd)可知，要增大电容，可减小两板间的距离或增大两板正对面积，或在两板间插入电介质，故选D。
2．(多选)有一个真空平行板电容器，两极板间距离为d，正对面积为S，充以电荷量Q后，两极板间电压为U，为使电容器的电容加倍，可采用的办法是( )
A．将电压变为eq \f(U,2)
B．将带电荷量变为2Q
C．将极板间的距离变为eq \f(d,2)
D．两极板间充满相对介电常数为2的电介质
答案 CD
解析 电容器的电容与电容器极板上所带的电荷量和两极板间电压无关，选项A、B错误；根据C＝eq \f(εrS,4πkd)可知，选项C、D正确。
考点二 平行板电容器的两类动态分析
3．(多选)(2023·仲元中学高二期中)如图所示平行金属板A、B组成的电容器，充电后与静电计相连。实验中极板所带电荷量不变，下列说法正确的是( )
A．在A、B两板间平行插入厚度小于极板间距的陶瓷板，电容C变小
B．在A、B间紧贴极板平行插入厚度小于极板间距的铝板，静电计指针张角变大
C．将B板向上平移少许，静电计指针张角变大
D．将B板向左平移少许，两极板间电场强度不变
答案 CD
解析 在两板间平行插入厚度小于极板间距的陶瓷板，相对介电常数变大，根据电容公式C＝eq \f(εrS,4πkd)可得电容变大，A错误；在A、B间紧贴极板平行插入厚度小于极板间距的铝板，相当于减小极板间距离，可知电容增大，根据U＝eq \f(Q,C)以及带电荷量不变，电容增大，可知电势差减小，静电计指针张角变小，B错误；将B板向上平移少许，正对面积减小，电容减小，同理可知电势差变大，静电计指针张角变大，C正确；根据公式C＝eq \f(εrS,4πkd)，U＝eq \f(Q,C)，E＝eq \f(U,d)，联立可得E＝eq \f(4πkQ,εrS)，可知将B板向左平移少许，极板间距改变，电场强度不变，D正确。
4.如图所示为一种电容传声器。b是固定不动的金属板，a是能在声波驱动下沿水平方向振动的金属膜片，a、b构成一个电容器。其工作原理是当声波作用于金属膜片时，金属膜片发生相应的振动，于是就改变了它与固定极板b间的距离，从而使电容发生变化，而电容的变化可以转化为电路中电信号的变化，闭合开关K，若声源S发出声波使a向右运动时( )
A．电容器的电容减小
B．a、b板之间的电场强度减小
C．电容器极板上的电荷量增大
D．流过电流表的电流方向为自右向左
答案 C
解析 声源S发出声波使a向右运动时，两极板间距减小，根据C＝eq \f(εrS,4πkd)可知，电容器的电容变大，选项A错误；根据E＝eq \f(U,d)可知，两板间距减小，则a、b板之间的电场强度变大，选项B错误；根据Q＝CU可知，电容器极板上的电荷量增大，选项C正确；电容器充电，则流过电流表的电流方向为自左向右，选项D错误。
5.(2023·运城市高二期中)如图所示，平行板电容器的两极板A、B接于电源两极，一个带正电小球悬挂在电容器内部。闭合开关S，电容器充电，这时悬线偏离竖直方向的夹角为θ，下列说法正确的是( )
A．保持开关S闭合，将A板向上移动少许，则θ减小
B．保持开关S闭合，将A板水平向左远离B板，则θ不变
C．断开开关S，将A板水平向左远离B板时，则θ不变
D．断开开关S，将A板向上移动少许，则θ减小
答案 C
解析 若保持S闭合，则电容器两极板之间的电压保持不变，因此根据E＝eq \f(U,d)可知，将A板向上移动少许，距离d不变，电场强度不变，则静电力不变，θ不变；将A板水平向左远离B板时，距离d增大，电场强度减小，则静电力减小，θ减小，故A、B错误；若断开S，电容器带电荷量保持不变，由C＝eq \f(εrS,4πkd)，C＝eq \f(Q,U)，E＝eq \f(U,d)可得E＝eq \f(4πkQ,εrS)，将A板水平向左远离B板时，由于Q、S、εr不变，只是d变化，所以电场强度不变，故静电力不变，则θ不变；将A板向上移动少许时，Q、εr不变，S减小，则电场强度增大，故静电力增大，则θ增大，故C正确，D错误。
6.(2023·惠州市实验中学高二期中)近年来医用口罩需求陡增，熔喷布是医用口罩的最核心的材料。工厂在生产熔喷布时为了实时监控其厚度，通常要在生产流水线上设置如图所示传感器，其中A、B为平行板电容器的上、下两个极板，上下位置均固定，且分别接在恒压直流电源的两极上，G是灵敏电流计。熔喷布匀速从两极板间穿过，当熔喷布的厚度变薄时会导致相对介电常数变小，则熔喷布( )
A．突然变薄，电容器两端电压会变大
B．突然变薄，电容器的电容会变大
C．突然变厚，A、B两个极板间的电场会变弱
D．突然变厚，会有自b向a的电流
答案 D
解析 由于电容器接在恒压直流电源的两极上，因此熔喷布变薄或变厚，电容器两端电压都不会变，A错误；由电容器电容的决定式C＝eq \f(εrS,4πkd)可知，当熔喷布的厚度变薄时，导致相对介电常数εr变小，电容器的电容C变小，B错误；由于电容器接在恒压直流电源的两极上，两个极板间的电压不变，上、下两个极板的上下位置均固定，由E＝eq \f(U,d)可知，A、B两个极板间的电场强度不变，C错误；当熔喷布变厚时，导致相对介电常数εr变大，电容C变大，电压U不变，由Q＝CU，可知电容器的两极板所带电荷量Q增加，则会有自b向a的充电电流流过灵敏电流计，D正确。
7.(多选)(2023·福州格致中学高二期中)如图是一种通过测量电容器电容的变化，来检测液面高低的仪器原理图，电容器的两个电极分别用导线接到指示器上，指示器可显示电容的大小，下列关于该仪器的说法中正确的有( )
A．该仪器中电容器的两个电极分别是金属芯柱和导电液体
B．芯柱外面的绝缘层越厚，该电容器的电容越大
C．容器中液面升高，相当于两平行板间的距离增大，电容器电容减少
D．如果指示器显示出电容增大了，则说明容器中液面升高了
答案 AD
解析 电容器的两个电极是可以导电的，分别是金属芯柱和导电液体，A正确；芯柱外套的绝缘层越厚，金属芯柱和导电液体之间距离越大，相当于两平行板间的距离增大，电容器电容减小，B错误；容器中液面升高，金属芯柱和导电液体正对面积增大，相当于平行板电容器的正对面积增大，电容器电容增大，C错误，D正确。
8.(多选)(2023·重庆市第七中学校高二期中)加速度的测量可以使用电容式加速度传感器，其结构原理图如图所示，质量块右侧连接轻质弹簧，左侧连接电介质，弹簧与电容器固定在外框上，质量块带动电介质移动改变电容，下列说法正确的是( )
A．电介质插入极板越深，电容器电容越小
B．电介质插入极板越深，电容器电容越大
C．当电介质抽出极板时，电流从a点流向b点
D．当电介质抽出极板时，电流从b点流向a点
答案 BD
解析 根据电容器电容公式C＝eq \f(εrS,4πkd)可知，电介质插入越深，电容器的电容越大，B正确，A错误；根据电容器电容公式C＝eq \f(εrS,4πkd)、C＝eq \f(Q,U)可知，当电介质抽出极板时，电容降低，由于与电源连接，导致电压不变，故电荷量降低，电容器放电，电流从b点流向a点，C错误，D正确。
9.(2022·银川一中期中)如图所示是一个平行板电容器，其电容为C，带电荷量为Q，上极板带正电，两极板间距为d。现将一个带正电且电荷量为q的试探电荷由两极板间的A点移动到B点，A、B两点间的距离为s，AB连线与极板间的夹角为30°，则静电力对该试探电荷所做的功等于( )
A.eq \f(qCs,Qd) B.eq \f(qQs,Cd) C.eq \f(qQs,2Cd) D.eq \f(qCs,2Qd)
答案 C
解析 电容器两极板间电势差为U＝eq \f(Q,C)，电场强度为E＝eq \f(U,d)＝eq \f(Q,Cd)。而A、B两点间电势差为UAB＝Es·sin 30°＝eq \f(Qs,2Cd)，静电力对该试探电荷所做的功为W＝qUAB＝eq \f(qQs,2Cd)，故选C。
10.(多选)(2023·惠来县第一中学高二期中)如图，平行板电容器与直流电源连接，电源正极接地。初始电容器不带电，闭合开关，电路稳定后，一个带电油滴位于电容器中的P点且处于静止状态。下列说法正确的是( )
A．带电油滴带正电
B．保持开关闭合，上极板下移，带电油滴向上运动
C．保持开关闭合，上极板上移，P点电势降低
D．电路稳定后，断开开关，下极板下移，带电油滴保持静止
答案 BCD
解析 电容器上极板与电源正极相连，上极板带正电，油滴受到的静电力方向向上，则油滴带负电，故A错误；保持开关闭合，电容器两极板间电压不变，上极板下移，两板间距离减小，根据E＝eq \f(U,d)可知电场强度增大，则带电油滴向上运动，故B正确；同理，保持开关闭合，电容器两极板间电压不变，上极板上移，两板间距离变大，电场强度变小，P点到下极板的距离不变，根据U＝Ed可知P到下极板的电势差变小，而下极板的电势不变，则P点的电势降低，故C正确；电路稳定后，断开开关，电容器电荷量不变，根据C＝eq \f(εrS,4πkd)、C＝eq \f(Q,U)可得电场强度为E＝eq \f(4πkQ,εrS)，下极板下移，电场强度不变，带电油滴受力情况不变，带电油滴保持静止，故D正确。
11.一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地。两极板间有一个正试探电荷固定在P点，如图所示。以C表示电容器的电容、E表示两极板间的电场强度、φ表示P点的电势、Ep表示正电荷在P点的电势能。若正极板保持不动，将负极板缓慢向右平移一小段距离x0的过程中，各物理量与负极板移动距离x的关系图像正确的是( )
答案 C
解析 由C＝eq \f(εrS,4πkd)可知d减小时，C变大，但不是一次函数关系，A错误；在电容器两极板所带电荷量一定的情况下，U＝eq \f(Q,C)，E＝eq \f(U,d)＝eq \f(4πkQ,εrS)，E与d无关，即与x无关，E－x图像为平行于横轴的直线，B错误；在负极板接地的情况下，设P点最初到负极板的距离为l，则负极板向右平移后P点的电势为φ＝E(l－x)，即φ－x图像为向下倾斜的直线，C正确；正试探电荷在P点的电势能Ep＝qφ＝qE(l－x)，即Ep－x图像为向下倾斜的直线，D错误。
12.如图所示，水平金属板A、B分别与电源两极相连，带电油滴处于静止状态。现将B板右端向下移动一小段距离，两金属板表面仍均为等势面，则该油滴( )
A．仍然保持静止
B．竖直向下运动
C．向左下方运动
D．向右下方运动
答案 D
解析 两极板平行时带电油滴处于平衡状态，则重力大小等于静电力大小，当B板右端向下移动一小段距离，油滴处板间距离增大，电场强度减小，静电力小于重力。由于电场线垂直于金属板表面，所以油滴处的电场线如图所示，所以重力与静电力的合力偏向右下方，故油滴向右下方运动，选项D正确。
13.(多选)如图所示，平行板电容器与直流电源、理想二极管(正向电阻为零，可以视为短路，反向电阻无穷大，可以视为断路，图中向下为二极管正向)连接，电源负极接地。初始电容器不带电，闭合开关稳定后，一带电油滴位于电容器中的P点且处于静止状态。下列说法正确的是( )
A．将下极板下移，则P点的电势升高
B．将上极板下移，则P点的电势不变
C．减小极板间的正对面积，带电油滴保持静止，但P点的电势会降低
D．减小极板间的正对面积，带电油滴将向上运动
答案 AD
解析 二极管具有单向导电性，闭合开关后电容器充电，电容器的电容C＝eq \f(εrS,4πkd)，C＝eq \f(Q,U)，极板间的电场强度E＝eq \f(U,d)，整理可得E＝eq \f(U,d)＝eq \f(4πkQ,εrS)。将下极板下移，d变大，由C＝eq \f(εrS,4πkd)可知C变小，由于二极管具有单向导电性，电容器不能放电，由E＝eq \f(4πkQ,εrS)可知电容器两极板间的电场强度不变，P与下极板间距离增大，两者间的电势差增大，则P点电势升高，故A正确；将上极板下移，d变小，由C＝eq \f(εrS,4πkd)可知C变大，两极板电势差不变，根据E＝eq \f(U,d)知两板间电场强度变大，P点与下极板之间距离不变，根据UP下＝EdP下，可知下极板与P点间的电势差变大，下极板电势不变，则P点电势升高，故B错误；根据C＝eq \f(εrS,4πkd)，减小极板间的正对面积，电容C减小，由于二极管具有单向导电性，而题图中电容器只能充电，不能放电，由E＝eq \f(4πkQ,εrS)可知电容器两极板间的电场强度变大，油滴所受静电力变大，带电油滴将向上运动；P点与下极板间的距离不变，E变大，则P点电势会升高，故C错误，D正确。C＝eq \f(Q,U)
C＝eq \f(εrS,4πkd)
特点
定义式
决定式
意义
对某电容器Q∝U，但eq \f(Q,U)＝C不变，反映电容器容纳电荷的本领
反映了影响电容大小的因素
适用范围
任何电容器
平行板电容器