人教版 (2019)必修 第三册第十二章 电能 能量守恒定律3 实验：电池电动势和内阻的测量第2课时学案

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一、伏阻法测电动势和内阻
1．实验思路
由E＝U＋Ir＝U＋eq \f(U,R)r知，改变电阻箱阻值，测出多组U、R值，通过公式或图像可求出E、r。实验电路如图所示。
2．实验器材
电池、电压表、电阻箱、开关、导线。
3．数据处理
(1)计算法：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝U1＋\f(U1,R1)r,E＝U2＋\f(U2,R2)r))解方程组可求得E和r。
(2)图像法：由E＝U＋eq \f(U,R)r得：eq \f(1,U)＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,E)·eq \f(1,R)。故eq \f(1,U)－eq \f(1,R)图像的斜率k＝eq \f(r,E)，纵轴截距为eq \f(1,E)，如图。
由图像的斜率和截距求解。
4．误差分析
电压表的分流造成电动势的测量值偏小，内阻的测量值偏小。
例1 (2023·萝北县高级中学高二开学考试)某中学课外兴趣小组测量手机电池的电动势和内阻的实验原理图如图甲所示，已知电池的电动势约为3 V、内阻小于1 Ω，现提供的器材如下：
A．手机电池；
B．电压表V1(量程为0～15 V，内阻约为10 kΩ)；
C．电压表V2(量程为0～3 V，内阻约为10 kΩ)；
D．电阻箱R(0～99.9 Ω)；
E．定值电阻R01＝2 Ω；
F．定值电阻R02＝100 Ω；
G．开关和导线若干。
(1)如果要准确测量电池的电动势和内阻，电压表应选择 ；定值电阻R0应选择 。(均选填实验器材前的标号)
(2)兴趣小组一致认为用线性图像处理数据便于分析，于是在实验中改变电阻箱的阻值R，记录对应电压表的示数U，获取了多组数据，画出的eq \f(1,U)－eq \f(1,R)图像为一条直线，如图乙所示，若把流过电阻箱的电流视为干路电流，则可得该电池的电动势E＝ V，内阻r＝_______ Ω。(结果均保留两位有效数字)
(3)若考虑电压表的分流作用，则该实验中电动势的测量值与真实值相比 (选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
答案 (1)C E (2)3.3 0.25 (3)偏小
解析 (1)由题意知电池电动势约为3 V，要准确测量电池的电动势和内阻，电压表应选择量程为3 V的V2，故电压表应选择C；R02＝100 Ω的定值电阻阻值太大，使得电压表指针的偏角太小，且在改变电阻箱阻值时，电压表的示数变化不明显，故定值电阻选择阻值较小的R01，故定值电阻R0应选择E；
(2)由闭合电路欧姆定律得U＝E－eq \f(U,R)(r＋R0)，
整理得eq \f(1,U)＝eq \f(r＋R0,E)·eq \f(1,R)＋eq \f(1,E)
结合题图乙可得0.3 V －1＝eq \f(1,E)，则E≈3.3 V，
斜率k＝eq \f(r＋R0,E)＝eq \f(3－0.3,4.0) A－1＝0.675 A－1
解得r＝0.25 Ω
(3)考虑到电压表的分流作用，则
E＝U＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(U,R)＋\f(U,RV)))(R0＋r)，
故电动势的测量值与真实值相比偏小。
针对训练1 要测量一电源的电动势E(小于3 V)和内阻r(约1 Ω)，现有下列器材：理想电压表(3 V和15 V两个量程)、电阻箱R(0～999.9 Ω)、定值电阻R0＝3 Ω、开关和导线。某同学根据所给器材设计了如图甲的实验电路：
(1)电路中定值电阻R0的作用是
。
(2)请根据图甲电路，在图乙中用笔画线代替导线连接电路。
(3)该同学调节电阻箱阻值R，读出对应的电压表示数U，得到两组数据：R1＝2 Ω时，U1＝2.37 V，R2＝4 Ω时，U2＝2.51 V。由这两组数据可求得电源的电动势E＝ V，内阻r＝ Ω。(结果均保留三位有效数字)
答案 (1)保护电源，防止短路 (2)见解析图
(3)2.94 1.21
解析 (1)若无R0存在，当R调节到阻值为0时，外电路短路，有烧坏电源的危险，故R0的作用是保护电源，防止短路。
(2)如图所示，电压表选择3 V量程，开关置于干路。
(3)根据闭合电路欧姆定律，当电阻箱读数为R1＝2 Ω时E＝U1＋eq \f(U1,R1＋R0)r
当电阻箱读数为R2＝4 Ω时E＝U2＋eq \f(U2,R2＋R0)r
联立以上两式得E≈2.94 V，r≈1.21 Ω。
二、安阻法测电动势和内阻
1．实验思路
如图所示，由E＝IR＋Ir知，改变电阻箱的阻值，测出多组I、R的值，通过图像就可求出E、r的值。
2．实验器材
电池、电流表、电阻箱、开关、导线。
3．数据处理
(1)计算法：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝I1R1＋I1r,E＝I2R2＋I2r))解方程组求得E、r。
(2)图像法：由E＝I(R＋r)得eq \f(1,I)＝eq \f(1,E)R＋eq \f(r,E)
eq \f(1,I)－R图像的斜率k＝eq \f(1,E)，纵轴截距为eq \f(r,E)(如图甲)
又R＝E·eq \f(1,I)－r
R－ eq \f(1,I)图像的斜率k＝E，纵轴截距为－r(如图乙)。
由图像的斜率和截距求解。
4．误差分析
电流表的分压引起系统误差，电动势的测量无偏差，内阻的测量值偏大(r测＝r真＋RA)。
例2 (2023·巍山彝族回族自治县第二中学高二月考)为了测量四节干电池组成的电池组的电动势E和内阻r，某同学设计了如图甲所示的实验电路。器材如下：
A．电池组(四节干电池：电动势约为6 V，内阻约为4 Ω)
B．电阻箱(最大阻值99.9 Ω)
C．电流表A1(量程3 A、内阻为0.5 Ω)
D．电流表A2(量程0.6 A、内阻为1 Ω)
E．定值电阻R01＝50 Ω
F．定值电阻R02＝5 Ω
G．开关一只，导线若干
(1)为提高实验的精确度，电流表应选用 ；定值电阻应选用 。(均选填器材前的标号)
(2)断开开关S，调整电阻箱的阻值，再闭合开关S，读取并记录电流表的示数及电阻箱接入电路中的阻值。多次重复上述操作，可得到多组电流值I及电阻箱的阻值R，并以eq \f(1,I)为纵坐标，以R为横坐标，作出两者的关系图线如图乙所示(该图线为一直线)。
(3)根据图乙中所得图线，可求得电池组的电动势E＝ V，内阻r＝ Ω。(结果均保留两位有效数字)
答案 (1)D F (3)6.1 4.0
解析 (1)定值电阻R01的阻值过大，若选择E，则回路中电流不超过Imax＝eq \f(E,R01＋r)≈0.11 A
此时无论选择哪个电流表，都不能使其指针偏转达到量程的二分之一，从而造成读数误差较大，所以定值电阻应选F。
在这种情况下，回路中电流不超过
Imax′＝eq \f(E,R02＋r)≈0.67 A，所以电流表应选择D。
(3)根据闭合电路欧姆定律得
E＝I(r＋R0＋RA＋R)，
整理可得eq \f(1,I)＝eq \f(1,E)R＋eq \f(r＋R0＋RA,E)
故以eq \f(1,I)为纵坐标，以R为横坐标，得到题图乙所示图线，图线的斜率为
k＝eq \f(1,E)＝eq \f(1.98－1.65,2) V－1＝0.165 V－1
图线纵轴截距为b＝eq \f(r＋R0＋RA,E)＝1.65 A－1，
解得E≈6.1 V，r＝4.0 Ω。
针对训练2 一同学测量某干电池的电动势和内阻。
(1)如图所示是该同学正准备接入最后一根导线(图中虚线所示)时的实验电路。请指出图中在器材操作上存在的两个不妥之处 ； 。
(2)实验测得的电阻箱阻值R和理想电流表示数I，以及计算出的eq \f(1,I)数据见下表：
根据表中数据，在图上作出R－eq \f(1,I)关系图像。
由图像可计算出该干电池的电动势为 V(结果保留三位有效数字)；内阻为 Ω(结果保留两位有效数字)。
答案 (1)开关未断开 电阻箱阻值为零
(2)见解析图 1.37(1.34～1.40均可) 1.2(1.0～1.4均可)
解析 (1)在电学实验中，连接电路时应将开关断开，电阻箱的阻值调为最大，确保实验仪器、仪表的安全。
(2)根据闭合电路欧姆定律得
E＝I(R＋r)
即R＝E·eq \f(1,I)－r，
即R－ eq \f(1,I)图像为直线。
描点连线后图像如图所示。
根据图像可知r＝1.2 Ω
图像的斜率为电动势E，
在R－ eq \f(1,I)图像上取两点(1.2,0.40)、(5,5.60)
则E＝eq \f(5.60－0.40,5－1.2) V≈1.37 V。
课时对点练
1．(多选)(2022·邯郸一中高二学业考试)利用电流表和电压表测定一节干电池的电动势和内阻，要求尽量减小实验误差。在测定电源的电动势和内阻的实验中，待测电池、开关和导线配合下列哪组仪器，不可以达到测定目的( )
A．一只电流表和一个滑动变阻器
B．一只电流表和一只电压表
C．一只电流表和一个电阻箱
D．一只电压表和一个电阻箱
答案 AB
解析 测定电源的电动势和内阻的原理是闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir，用电压表测量路端电压U、用电流表测量电流I，利用滑动变阻器调节外电阻，改变路端电压和电流，实现多次测量，即由一个电压表、一个电流表和一个滑动变阻器组合可测量电源的电动势和内阻；也可以在没有电压表的情况下，用一个电流表和一个电阻箱组合测量，电阻箱可以读出阻值，可达到测定目的；也可以用电压表和电阻箱组合，但不能用一个电流表和一个滑动变阻器组合测量电动势和内阻，一个电压表和一个电流表无法进行多次测量，故选A、B。
2．(2023·玉溪市江川区第二中学高二开学考试)某物理兴趣小组的同学利用实验测量电池的电动势和内阻，实验的主要操作如下：
(1)先用电压表直接接在电池两极粗测电池的电动势，这样测出的电动势比真实值 (选填“偏大”或“偏小”)。
(2)再按图甲接好电路进行实验，记下电阻箱和电压表对应的一系列读数R、U ，并计算得到下表所列数据。
(3)在图乙上画出eq \f(1,U) － eq \f(1,R)图像。
(4)根据(3)所画的图像可算出电池的电动势为 V，电池的内阻为 Ω。(结果均保留三位有效数字)
答案 (1)偏小 (3)见解析图
(4)1.67(1.55～1.75均可) 1.39(1.26～1.40均可)
解析 (1)用电压表直接接在电池两极测电池的电动势，实际上测量的是路端电压，故测量值偏小。
(3)将表格中数据在坐标中描点并画出图线，如图所示。
(4)由闭合电路欧姆定律得：U＝eq \f(E,R＋r)R，可得 eq \f(1,U)＝eq \f(r,E)·eq \f(1,R)＋eq \f(1,E)
可知，图线的纵截距表示电动势的倒数，图线的斜率k＝eq \f(r,E)
图线的纵截距为0.6，所以电动势为1.67 V，图线的斜率为k＝eq \f(2.1－0.6,1.8－0)＝eq \f(r,E)＝eq \f(r,1.67)，
解得r≈1.39 Ω。
3．某同学设计如图所示电路用来测量电源的电动势和内阻，其中电流表内阻为RA，量程为0～0.6 A。
(1)实验前，应先将电阻箱电阻调到 (选填“最大值”“最小值”或“任意值”)。
(2)改变电阻箱的阻值R，分别测出通过电流表的电流I。下列两组R的取值方案中(单位为Ω)，比较合理的方案是 (填“1”或“2”)。
(3)根据实验数据描点，绘出的eq \f(1,I)－R图像是一条直线。若直线的斜率为k，在eq \f(1,I)坐标轴上的截距为b，则该电源的电动势E＝ ，内阻r＝ (用k、b和RA表示)。
答案 (1)最大值 (2)2 (3)eq \f(1,k) eq \f(b,k)－RA
解析 (1)为保护电流表，实验前应将电阻箱的电阻调到最大值。
(2)实验时，若电阻箱的阻值太大，电流很小，实验误差大，所以比较合理的是方案2。
(3)由闭合电路欧姆定律有E＝I(r＋RA＋R)，
整理得eq \f(1,I)＝eq \f(1,E)R＋eq \f(r＋RA,E)，
所以k＝eq \f(1,E)，b＝eq \f(r＋RA,E)，
解得E＝eq \f(1,k)，r＝eq \f(b,k)－RA。
4．(2022·珠海市高二期末)某同学利用电阻箱和内阻很大的电压表测定干电池的电动势和内阻，使用的器材还包括定值电阻(R0＝5 Ω)一个，开关两个，导线若干，实验原理图如图(a)。
(1)在图(b)的实物图中，已正确连接了部分电路，请完成余下电路的连接。
(2)请完成下列主要实验步骤：
A．检查并调节电压表指针指零；调节电阻箱，示数如图(c)所示，读得电阻值是 ；
B．将开关S1闭合，开关S2断开，电压表的示数是1.48 V；
C．将开关S2 ，电压表的示数是1.14 V；断开开关S1。
(3)使用测得的数据，计算出干电池的内阻是 。(计算结果保留两位有效数字)。
(4)由于所用电压表不是理想电压表，所以测得的电动势比实际值偏 (填“大”或“小”)。
答案 (1)见解析图 (2)20 Ω 闭合 (3)0.96 Ω (4)小
解析 (1)根据题图(a)电路图，把题图(b)的实物图补充完整，如图所示
(2)由题图(c)可知，电阻箱的阻值为2×10 Ω＝20 Ω
根据题意可知，将开关S2闭合。
(3)根据(2)中步骤B可知，电池的电动势为E＝U1＝1.48 V，由步骤C，根据闭合电路欧姆定律可知
U2＝eq \f(E,R0＋R＋r)R
代入数据解得r≈0.96 Ω
(4)由于所用电压表不是理想电压表，
则由步骤B根据闭合电路欧姆定律有
U1＝eq \f(RV,R0＋RV＋r)E
可知U17.5 Ω
因此选15.0 Ω。
(3)由闭合电路的欧姆定律可得
E＝U＋eq \f(U,\f(RVR0,RV＋R0))(R＋r)
可得eq \f(1,U)＝eq \f(R0＋RV,ERVR0)·R＋eq \f(1,E)＋eq \f(RV＋R0,ERVR0)r。
(5)由上面公式可得eq \f(R0＋RV,ERVR0)＝k＝eq \f(1,19E)，
eq \f(1,E)＋eq \f(RV＋R0,ERVR0)r＝b＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,19E)
由eq \f(1,U)－R图像计算可得k≈0.034 V－1·Ω－1
b＝0.68 V－1
代入可得E≈1.55 V，r≈1.0 Ω。
(6)如果电压表为理想电压表，则可有
eq \f(1,U)＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,ER0)＋eq \f(1,ER0)R
则此时E′＝eq \f(1,20k)
因此误差为η＝|eq \f(\f(1,20k)－\f(1,19k),\f(1,19k))|×100%＝5%。R/Ω
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
I/A
0.15
0.17
0.19
0.22
0.26
eq \f(1,I)/A－1
6.7
5.9
5.3
4.5
3.8
eq \f(1,U)/(V－1)
0.80
1.07
1.30
1.47
1.80
2.27
eq \f(1,R)/(Ω－1)
0.2
0.5
0.8
1.0
1.5
2.0
方案1
400.0
350.0
300.0
350.0
200.0
方案2
35.0
30.0
25.0
20.0
15.0