2024年湖南省长沙一中高考数学适应性试卷

这是一份2024年湖南省长沙一中高考数学适应性试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）现有随机选出的20个数据，统计如下，则（ ）
7 24 39 54 61 66 73 82 82 82
87 91 95 8 98 102 102 108 114 120
A．该组数据的众数为102
B．该组数据的极差为112
C．该组数据的中位数为87
D．该组数据的80%分位数为102
2．（5分）已知椭圆的两焦点分别为F1、F2．若椭圆上有一点P，使∠F1PF2＝120°，则△PF1F2的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn．若，S4＝15，则S2023＝（ ）
A．22023﹣1B．22022﹣1C．22023D．22022
4．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥n，且n⊂α，则m∥αB．若m⊥n，且n⊂α，则m⊥α
C．若m∥α，且m∥β，则α∥βD．若m⊥α，且m⊥β，则α∥β
5．（5分）设集合A＝{a，b，c}，其中a，b，c为自然数且a+b+c＝100，则符合条件的集合A的个数为（ ）
A．833B．884C．5050D．5151
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设A（1，0），B（3，4），，动点P满足，则tan∠PCA最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上的点，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，∠ADB＝∠EDC＝α，则csα＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知直线l：y＝kx+m与椭圆C：至多有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．正切函数是周期函数，最小正周期为π
B．正切函数的图象是不连续的
C．直线是正切曲线的渐近线
D．把的图象向左、右平行移动kπ个单位，就得到y＝tanx的图象
（多选）10．（6分）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点．若z1i（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ）
A．z2的虚部为B．点B在第二象限
C．D．
（多选）11．（6分）已知定义域为R的函数f（x），满足f（x+y）＝f（x）f（y）﹣f（2﹣x）f（2﹣y），且f（0）≠0，f（﹣2）＝0，则（ ）
A．f（2）＝1B．f（x）是偶函数
C．[f（x）]2+[f（2+x）]2＝1D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）若命题“∃a＜0，”是假命题，则实数b的取值范围为 ．
13．（5分）在三棱锥B﹣ACD中，平面ABD⊥平面ACD，O是AD的中点，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，则点D到平面ABC的距离为 ，点O到平面ABC的距离为 ．
14．（5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（x）＝axex﹣ln（ax）和图象上的动点，若对任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，则实数m的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）每年4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣．为了鼓励同学们阅读四大名著，学校组织了相关知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望．
16．（15分）如图在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．
（1）求证：直线A1C⊥平面BDD1B1；
（2）求直线A1C和BC1夹角的余弦值．
17．（15分）已知函数．
（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，求a的最小值；
（2）若函数G（x）＝f（x）+g（x）的图象与y＝ax有且只有一个交点，求a的取值范围．
18．（17分）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点（0，﹣1）的直线l与双曲线的右支相切于点P，与OP平行的直线l′与双曲线交于A，B两点，与直线l交于点M．是否存在实数λ，使得PM2＝λ•MA•MB？若存在，求实数λ的值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）已知集合A＝{a1，a2，a3…an}⊆N*，其中n∈N且n≥3，a1＜a2＜a3＜…＜an，若对任意的x，y∈A（x≠y），都有|x﹣y|，则称集合A具有性质Mk．
（1）集合A＝{1，2，a}具有性质M3，求a的最小值；
（2）已知A具有性质M15，求证：；
（3）已知A具有性质M15，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由．
2024年湖南省长沙一中高考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）现有随机选出的20个数据，统计如下，则（ ）
7 24 39 54 61 66 73 82 82 82
87 91 95 8 98 102 102 108 114 120
A．该组数据的众数为102
B．该组数据的极差为112
C．该组数据的中位数为87
D．该组数据的80%分位数为102
【解答】解：将数据按从小到大的顺序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，
对于A，出现次数最多的是82，所以众数是82，故A错误；
对于B，极差为120﹣7＝113，故B错误；
对于C，∵20×50%＝10，第10个数和第11个数的平均数为中位数，即，故C错误；
对于D，∵20×80%＝16，第16个数和第17个数的平均数为80%分位数，即，故D正确．
故选：D．
2．（5分）已知椭圆的两焦点分别为F1、F2．若椭圆上有一点P，使∠F1PF2＝120°，则△PF1F2的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：已知椭圆的两焦点分别为F1、F2，
椭圆上有一点P，使∠F1PF2＝120°，
由椭圆焦点三角形面积公式得S＝b2tan60°，
所以．
故选：D．
3．（5分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn．若，S4＝15，则S2023＝（ ）
A．22023﹣1B．22022﹣1C．22023D．22022
【解答】解：由题意，设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），
∵，∴（a6﹣4a4）（a6+a4+2）＝0．
∵an＞0，∴a6+a4+2≠0，∴a6﹣4a4＝0，∴，解得q＝2（负值舍去），
∴，∴a1＝1，∴．
故选：A．
4．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥n，且n⊂α，则m∥αB．若m⊥n，且n⊂α，则m⊥α
C．若m∥α，且m∥β，则α∥βD．若m⊥α，且m⊥β，则α∥β
【解答】解：如图所示正方体，
对于A，若m，n，α对应直线AB，CD与平面ABCD，符合条件，但m⊂α，故A错误；
对于B，若m，n，α对应直线AB，CB与平面ABCD，符合条件，但m⊂α，故B错误；
对于C，若m，α，β对应直线AB与平面HGCD，平面HGFE，符合条件，但β∩α＝HG，故C错误；
对于D，若m⊥α，且m⊥β，又α，β是两个不同的平面，则α∥β，故D正确．
故选：D．
5．（5分）设集合A＝{a，b，c}，其中a，b，c为自然数且a+b+c＝100，则符合条件的集合A的个数为（ ）
A．833B．884C．5050D．5151
【解答】解：将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有种结果，
因为a+b+c＝100，所以a、b、c中含有两个0，1，2，…，50各有3种结果，
所以a、b、c三个数各不相等的结果共有5151﹣3×51＝4998个，
因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，
所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为4998÷6＝833个．
故选：A．
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设A（1，0），B（3，4），，动点P满足，则tan∠PCA最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设点P（x，y），则，，
所以，
整理可得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，
所以动点P的轨迹是以D（2，2）为圆心，2为半径的圆，
因为，，
所以D，A，C三点共线，如图所示，
当PC与圆相切时，∠PCA为锐角且最大，此时tan∠PCA最大，∠PCA即∠PCD，
由题知，，此时，
所以．
故选：B．
7．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上的点，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，∠ADB＝∠EDC＝α，则csα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由D是BC的中点，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，
设CE＝x，则BD＝1，AE＝3x，AB＝2x，
在△ABC中，可得，即sinB＝2sinC，
在△ABD中，可得，
在△CED中，可得，
上面两式相除可得2••，
即AD＝4DE．
在△ABD中，4x2＝1+AD2﹣2ADcsα＝1+16DE2﹣8DEcsα，
在△CDE中，x2＝1+DE2﹣2DEcsα，
即有4+4DE2＝1+16DE2，解得DE，AD＝2，
则x2＝12csαcsα．
在△ADE中，9x2＝AD2+DE2﹣2AD•DE•cs（π﹣2α）
＝42×2cs2α2cs2α＝4cs2α，
可得9csα＝4cs2α，
化为4cs2α+9csα﹣9＝0，
解得csα（﹣3舍去）．
故选：D．
8．（5分）已知直线l：y＝kx+m与椭圆C：至多有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．D．
【解答】解：将y＝kx+m代入椭圆，得（5k2+4）x2+10kmx+5m2﹣20＝0，
因为直线l：y＝kx+m与椭圆C：至多有一个公共点，
所以100k2m2﹣4（25k2m2﹣100k2+20m2﹣80）⩽0，
即m2⩾5k2+4，
将代入上式得：，
化简得：，
由于该关于k的不等式要有解，
所以40z2﹣20（﹣2z2+8）⩾0，
即z2﹣2⩾0，
解得：．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．正切函数是周期函数，最小正周期为π
B．正切函数的图象是不连续的
C．直线是正切曲线的渐近线
D．把的图象向左、右平行移动kπ个单位，就得到y＝tanx的图象
【解答】解：因为tan（x+π）＝tanx，对任意x∈R且，k∈Z成立，
所以y＝tanx是周期函数，最小正周期为π，故A项正确；
因为正切函数的定义域为{x|x∈R且，k∈Z}，
所以正切函数的图象被直线隔开，
图象不连续且以直线为渐近线，故B、C两项正确；
把的图象向左、右平行移动kπ（k∈Z）个单位，
就得到y＝tanx的图象，但条件中少了k∈Z，故D项不正确．
故选：ABC．
（多选）10．（6分）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点．若z1i（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ）
A．z2的虚部为B．点B在第二象限
C．D．
【解答】解：因为z1i对应的点（，），|z1|＝1，
设向量与x轴正方向的夹角为θ，则tanθ，即，
向量绕绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，
所以（2cs（），2sin（）＝（﹣1，），
则z2＝﹣1，即z2的虚部为，A错误；
点B（﹣1，）在第二象限，B正确；
因为z1+z2（）i，
所以|z1+z2|，C错误；
因为||2，D正确．
故选：BD．
（多选）11．（6分）已知定义域为R的函数f（x），满足f（x+y）＝f（x）f（y）﹣f（2﹣x）f（2﹣y），且f（0）≠0，f（﹣2）＝0，则（ ）
A．f（2）＝1B．f（x）是偶函数
C．[f（x）]2+[f（2+x）]2＝1D．
【解答】解：对于A项，由f（x+y）＝f（x）f（y）﹣f（2﹣x）f（2﹣y），
令x＝y＝1，则f（2）＝[f（1）]2﹣[f（1）]2＝0，故A项错误；
对于B项，令x＝y＝0，则f（0）＝[f（0）]2﹣[f（2）]2＝[f（0）]2，
因f（0）≠0，故f（0）＝1，
令y＝2，则f（x+2）＝f（x）f（2）﹣f（2﹣x）f（0）＝﹣f（2﹣x）①，
知函数f（x）关于点（2，0）成中心对称，
令x＝y＝2，则f（4）＝[f（2）]2﹣[f（0）]2＝﹣1，
令y＝4，则f（x+4）＝f（x）f（4）﹣f（2﹣x）f（﹣2）＝﹣f（x）②，
由①可得：f（x+4）＝﹣f（﹣x）③，由①③可知：f（﹣x）＝f（x），
且函数f（x）的定义域为R，则函数f（x）是偶函数，故B项正确；
对于C项，令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）f（﹣x）﹣f（2﹣x）f（2+x），
因为f（0）＝1，f（﹣x）＝f（x），f（x+2）＝﹣f（2﹣x），
代入上式中得，[f（x）]2+[f（2+x）]2＝1，故C项正确；
对于D项，由上可知：f（x+4）＝﹣f（x），则f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
故函数f（x）的一个周期为8．
令x＝2，y＝1，则f（3）＝f（2）f（1）﹣f（0）f（1）＝﹣f（1），即有f（3）+f（1）＝0，
因函数f（x）是偶函数，故有f（﹣3）+f（﹣1）＝0，
由函数f（x）的一个周期为8，则f（5）+f（7）＝f（﹣3）+f（﹣1）＝0，
由上知：f（2）＝0，f（4）＝﹣1，f（6）＝f（﹣2）＝0，f（8）＝f（0）＝1，
于是：f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝0+0+（﹣1）+0+0+1＝0，
则，故D项正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）若命题“∃a＜0，”是假命题，则实数b的取值范围为 [﹣2，+∞） ．
【解答】解：因为命题“∃a＜0，”是假命题，
所以命题“∀a＜0，”是真命题，
当a＜0时，，
当且仅当，即a＝﹣1时等号成立，
所以，
所以b≥﹣2，
所以实数b的取值范围是[﹣2，+∞），
故答案为：[﹣2，+∞）．
13．（5分）在三棱锥B﹣ACD中，平面ABD⊥平面ACD，O是AD的中点，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，则点D到平面ABC的距离为 ，点O到平面ABC的距离为 ．
【解答】解：以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴，建系如图，
则A，B，C，D，O（0，0，0），
∴，，，（0，，0），
设为平面ABC的一个法向量，
则，取，
∴点D到平面ABC的距离为．
点O到平面ABC的距离为．
故答案为：；．
14．（5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（x）＝axex﹣ln（ax）和图象上的动点，若对任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，则实数m的最大值为 ．
【解答】解：设P（k，akek﹣ln（ak）），（a，k＞0），Q（t，），（t＞1），
则|PQ|2＝（t﹣k）2，
令h（t）＝t，t∈（1，+∞），
h′（t）＝1，
令u（t）＝t22ln（t﹣1），
u′（t）＝2t0，
∴函数u（t）在t∈（1，+∞）上单调递增，
∵u（2）＝0，
∴函数h（t）在t＝2时取得极小值即最小值，h（2）＝2．
令v（k）＝akek﹣ln（ak）﹣k，k∈（0，+∞），
v′（k）＝a（k+1）ek1＝（k+1）（aek），k∈（0，+∞），
函数y＝aek在k∈（0，+∞）上单调递增，
∴存在k0＞0，使得a0，可得，k0＝﹣ln（ak0），
∴函数v（k）在k＝k0时取得极小值即最小值，
v（k0）＝1+k0﹣k0＝1．
∴|PQ|2，
∴|PQ|，
∵对任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，
∴m，即m的最大值为，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）每年4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣．为了鼓励同学们阅读四大名著，学校组织了相关知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，
记“任取1名学生，该生为高一学生”为事件B，
则，，
所以．
（2）由已知可得，高一团体赛获奖的概率，
高二团体赛获奖的概率，
所以X的可能取值为0，1，2．
所以，，
，
则X的分布列为：
∴．
16．（15分）如图在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．
（1）求证：直线A1C⊥平面BDD1B1；
（2）求直线A1C和BC1夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：设，，，则{，，}为空间的一个基底，
则，，，
因为AB＝AD＝AA1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，
所以222＝2，•••1，
所以•（）•（）＝0，•（）•0，
所以A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，
所以A1C⊥平面BDD1B1．
（2）解：由（1）得，
所以•（）•（）••2••2＝2，
||2＝（）2222+2•2•2•4，
所以||＝2，则||2＝（）222+2•6，
所以||，
设与的夹角为θ，则csθ．
所以直线A1C和BC1夹角的余弦值为．
17．（15分）已知函数．
（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，求a的最小值；
（2）若函数G（x）＝f（x）+g（x）的图象与y＝ax有且只有一个交点，求a的取值范围．
【解答】解：（1），F′（x）＝x2+2x+a，
因函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，
所以F′（x）＝x2+2x+a≥0在x∈[1，+∞）恒成立，即a≥﹣3，
∴a的最小值为﹣3；
（2）与y＝ax有且只有一个交点，
即只有一个根，
∴只有一个根，
令，所以h（x）的图象与y＝a的图象只有一个交点，
h′（x）＝x2﹣2x，令h′（x）＞0，解得x＜0或x＞2，
令h′（x）＜0，解得0＜x＜2，
所以h（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递增，（0，2）上单调递减，h（x）的图象如下所示：
∴h（x）极大值＝h（0）＝0，h（x）极小值＝h（2），
又∵h（x）的图象与y＝a的图象只有一个交点，
∴．
18．（17分）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点（0，﹣1）的直线l与双曲线的右支相切于点P，与OP平行的直线l′与双曲线交于A，B两点，与直线l交于点M．是否存在实数λ，使得PM2＝λ•MA•MB？若存在，求实数λ的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意知，，解得c，a，b＝1，
所以双曲线的标准方程为．
（2）不妨设点P在第一象限，其坐标为（x0，y0），则①，
当x＞0时，由，知y，
所以y'，
所以直线l的斜率为，
又直线l经过点P（x0，y0）和点（0，﹣1），所以其斜率为，所以②，
由①②解得x0＝2，y0＝1，即P（2，1），
所以直线l的方程为y+1（x﹣0），即y＝x﹣1，直线OP的斜率为，
设直线l'的方程为yx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，解得x＝2（m+1），y＝2m+1，即M（2（m+1），2m+1），
所以PM2＝[2﹣2（m+1）]2+[1﹣（2m+1）]2＝8m2，
联立，得2mx﹣2m2﹣2＝0，
所以x1+x2＝4m，x1x2＝﹣4（m2+1），
所以（MA•MB）2＝MA2•MB2＝[]•[]＝[]•[]
[（x1﹣xM）（x2﹣xM）]2[x1x2﹣xM（x1+x2）]2[﹣4（m2+1）﹣2（m+1）•4m+4（m+1）2]2＝100m4，
所以MA•MB＝10m2，
因为PM2＝λ•MA•MB，
所以λ，
故存在实数λ，使得PM2＝λ•MA•MB，且λ．
19．（17分）已知集合A＝{a1，a2，a3…an}⊆N*，其中n∈N且n≥3，a1＜a2＜a3＜…＜an，若对任意的x，y∈A（x≠y），都有|x﹣y|，则称集合A具有性质Mk．
（1）集合A＝{1，2，a}具有性质M3，求a的最小值；
（2）已知A具有性质M15，求证：；
（3）已知A具有性质M15，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由．
【解答】（1）解：集合A＝{1，2，a}具有性质M3，
则对任意的x，y∈A（x≠y），都有|x﹣y|，即，
∴，解得a≥6且a∈N*，可得a的最小值是6；
（2）证明：由题意，（i＝1，2，3，…，n﹣1），
又a1＜a2＜⋯＜an，
∴ai+1﹣ai（i＝1，2，3，…，n﹣1），
可得（i＝1，2，3，…，n﹣1），
∴；
（3）解：由（2）知，，又a1≥1，可得1，
因此n＜16，同理，，
又∵ai≥i，∴，则15＞i（n﹣i），（i＝1，2，3，…，n﹣1）也均成立．
当n≥8时，取i＝4，则i（n﹣i）＝4×4＝16＞15，可知n≤7．
又当n≤7时，15，∴n≤7．
因此集合A中元素个数的最大值为7．
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