2024年江苏省四校联合高考数学适应性试卷

这是一份2024年江苏省四校联合高考数学适应性试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
2．（5分）已知，是两个不共线的单位向量，向量λμ（λ，μ∈R）．“λ＞0，且μ＞0”是“•（）＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝4，则a17+a18+a19+a20＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．（5分）设i为虚数单位，若复数为纯虚数，则a＝（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
5．（5分）甲、乙、丙、丁四人参加垃圾分类竞赛，四人对于成绩排名的说法如下
甲：乙在丙之前
乙：我在第三；
丙：丁不在第二或第四
丁：乙在第四
若四人中只有一人说法是错误的，则甲的成绩排名为（ ）
A．第一名B．第二名C．第三名D．第四名
6．（5分）已知P为抛物线x2＝4y上的一点，过P作圆x2+（y﹣3）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则cs∠APB的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）若全集为U，定义集合A与B的运算：A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，则（A⊗B）⊗B＝（ ）
A．AB．BC．A∩∁UBD．B∩∁UA
8．（5分）设，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．a＜c＜b
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）若m，n为正整数且n＞m＞1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（6分）设函数f（x）＝2sin2x﹣3sin|x|+1，则（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）的最小值为
D．f（x）在[﹣π，π]上有4个零点
（多选）11．（6分）已知定圆M：（x﹣1）2+y2＝16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为 ．
13．（5分）围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大小为n的眼有an口气，大小为n+1的眼有an+1口气，则an与an+1满足的关系是a1＝1，a2＝2，，则an的通项公式为 ．
14．（5分）A，B，C，D四点均在同一球面上，∠BAC＝120°，△BCD是边长为2的等边三角形，则△ABC面积的最大值为 ，四面体ABCD体积最大时球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A﹣CD﹣P为直二面角．
（1）求证：PB⊥PD；
（2）当PC＝PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
16．（15分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率p0＝0.006；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设X表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．
（1）求X的概率分布；
（2）求X的数学期望．
参考数据：0.99490≈0.582．
17．（15分）已知函数f（x）＝ax﹣elgax﹣e，其中a＞1．
（1）若a＝e，证明f（x）≥0；
（2）讨论f（x）的极值点的个数．
18．（17分）已知等轴双曲线C的顶点分别为椭圆Γ：的焦点F1，F2．
（1）求C的方程；
（2）若Q为C上异于顶点的任意一点，直线QF1，QF2与椭圆Γ的交点分别为P，R与M，N，求|PR|+4|MN|的最小值．
19．（17分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如AB＝﹣BA）为A，B，C，D四点的交比，记为（A，B；C，D）．
（1）证明：；
（2）若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：（A1，B1；C1，D1）＝（A2，B2；C2，D2）；
（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若△EFG与△E′F′G′的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则△EFG与△E′F′G′对应边的交点在一条直线上．
2024年江苏省四校联合高考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【解答】解：水平放置的平面图形的面积与斜二测画法所得直观图的面积之比是2，
所以用斜二测画法作一个五边形的直观图，其直观图的面积是原来五边形面积的倍，
即倍．
故选：D．
2．（5分）已知，是两个不共线的单位向量，向量λμ（λ，μ∈R）．“λ＞0，且μ＞0”是“•（）＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：已知，是两个不共线的单位向量，向量λμ（λ，μ∈R），
则，，
当λ＞0，且μ＞0时，
则λ+μ﹣（λ+μ）＝0，
当•（）＞0时，
不妨设λ＞0，μ＝0，显然满足“•（）＞0”，
即当•（）＞0时，可能有λ＞0，μ＝0，
即“λ＞0，且μ＞0”是“•（）＞0”的充分而不必要条件．
故选：A．
3．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝4，则a17+a18+a19+a20＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12，S20﹣S16……也成等差数列，
其首项S4＝1，第二项S8﹣S4＝3，则其公差d＝3﹣1＝2，
则S20﹣S16＝1+2（5﹣1）＝9，故a17+a18+a19+a20＝9．
故选：C．
4．（5分）设i为虚数单位，若复数为纯虚数，则a＝（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
【解答】解：∵为纯虚数，
∴，解得a＝1．
故选：B．
5．（5分）甲、乙、丙、丁四人参加垃圾分类竞赛，四人对于成绩排名的说法如下
甲：乙在丙之前
乙：我在第三；
丙：丁不在第二或第四
丁：乙在第四
若四人中只有一人说法是错误的，则甲的成绩排名为（ ）
A．第一名B．第二名C．第三名D．第四名
【解答】解：①如果只有甲说的是错误的，丙和丁的说法矛盾，不合题意；
②如果只有乙说的是错误的，甲和丁的说法矛盾，不合题意；
③如果只有丙说的是错误的，乙和丁的说法矛盾，不合题意；
④如果只有丁说的是错误的，顺序为丁、甲、乙、丙，符合题意．
故选：B．
6．（5分）已知P为抛物线x2＝4y上的一点，过P作圆x2+（y﹣3）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则cs∠APB的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示：
因为∠APB＝2∠APC，sin∠APC，
设P（t，），则|PC|2＝t2+（3）29（t2﹣4）2+8，
当t2＝4时，|PC|取得最小值2，此时，∠APB最大，cs∠APB最小，
且（cs∠APB）min＝1﹣2sin2∠APC＝1﹣2×（）2．
故选：C．
7．（5分）若全集为U，定义集合A与B的运算：A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，则（A⊗B）⊗B＝（ ）
A．AB．BC．A∩∁UBD．B∩∁UA
【解答】解：由题意得，A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，即图中的区域I，Ⅲ，
则（A⊗B）⊗B为图中区域I和Ⅱ，即为A．
故选：A．
8．（5分）设，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．a＜c＜b
【解答】解：，
设h（x）＝x﹣sinx，x∈（0，+∞），则h′（x）＝1﹣csx≥0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（0）＝0，
所以x＞sinx在（0，+∞）上恒成立，则，即，
设g（x）＝x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），
则在（0，+∞）上恒成立，
则g（x）＞g（0）＝0，则x＞ln（x+1）在（0，+∞）上恒成立，
令，则，则a＞b，
设，
则在（0，1]上恒成立，
所以f（x）在（0，1]上单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，
即在（0，1]上恒成立，
令，则，所以，即c＞a，
所以c＞a＞b．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）若m，n为正整数且n＞m＞1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由组合数的性质可得，故A正确．
，故B错误．
由m，n为正整数且n＞m＞1，mmm•，
而（n﹣1）•（n﹣1）•（n﹣1）•，故C错误．
mn（n﹣1）（n﹣2）••••••（n﹣m+1）+mn（n﹣1）（n﹣2）••••••（n﹣m+2）＝n（n﹣1）（n﹣2）••••••（n﹣m+2）[（n﹣m+1）+m]
＝（n+1）n（n﹣1）••••••（n﹣m+2），
而（n+1）n（n﹣1）••••••（n﹣m+2），
故有m，故D正确．
故选：AD．
（多选）10．（6分）设函数f（x）＝2sin2x﹣3sin|x|+1，则（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）的最小值为
D．f（x）在[﹣π，π]上有4个零点
【解答】解：∵f（x）＝2sin2x﹣3sin|x|+1的定义域为R，且满足f（﹣x）＝f（x），
∴f（x）是偶函数，A正确；
又当x∈（0，）时，t＝sinx∈（0，）单调递增，
f（x）＝2sin2x﹣3sinx+1＝2（sinx）2可化为g（t）＝2（t）2，其对称轴方程为t，
g（t）在（0，）上单调递减，由复合函数的单调性可知，f（x）在（0，）上单调递减，
由A知，f（x）是偶函数，故f（x）在上单调递增，B正确；
由B知，当x≥0时，f（x）＝2sin2x﹣3sinx+1＝2（sinx）2（当且仅当sinx时取等号），
∴f（x）的最小值为，C正确；
∵当0≤x≤π时，令f（x）＝2sin2x﹣3sinx+1＝（sinx﹣1）（2sinx﹣1）＝0，得sinx＝1或sinx，
则x，或x，或，
∴f（x）在[﹣π，π]上有6个零点，D错误．
故选：ABC．
（多选）11．（6分）已知定圆M：（x﹣1）2+y2＝16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
【解答】解：因为Q是线段PA的中垂线上的点，所以|QA|＝|PQ|，
若A在圆M内部，且不为圆心，则|MA|＜4，|QM|+|QA|＝|QM|+|QP|＝4，
此时点Q的轨迹是以M、A为焦点的椭圆，故A正确．
若A在圆M外部，则||QA|﹣|QM||＝||PQ|﹣|QM||＝|PM|＝4，|MA|＞4，
此时点Q的轨迹是以M，A为焦点的双曲线，故B正确．
若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，即Q的轨迹为点M．
若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，
此时点Q的轨迹是以M为圆心，以2为半径的圆，故D正确．
根据以上的分析可知：不论点Q与圆M是何种位置关系，点Q的轨迹都不可能是抛物线，故C错误．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为 7.5 ．
【解答】解：根据题意得：，解得x＝7，
∴这组数据的中位数为：．
故答案为：7.5．
13．（5分）围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大小为n的眼有an口气，大小为n+1的眼有an+1口气，则an与an+1满足的关系是a1＝1，a2＝2，，则an的通项公式为 ．
【解答】解：已知，
则an+1﹣an＝n﹣1，
即n≥3时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a3﹣a2）+a2＝（n﹣2）+（n﹣3）+...+1+2，
又n＝2时，a2＝2满足上式，
n＝1时，a1＝1不满足上式，
即．
故答案为：．
14．（5分）A，B，C，D四点均在同一球面上，∠BAC＝120°，△BCD是边长为2的等边三角形，则△ABC面积的最大值为 ，四面体ABCD体积最大时球的表面积为 ．
【解答】解：①因为∠BAC＝120°，
所以，
又BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cs120°，
即4＝AB2+AC2+AB•AC≥2AB•AC+AB•AC＝3AB•AC，
所以，
所以，
即△ABC面积的最大值为，
②过A作AH⊥BC，垂足为H，
，
则△ABC面积的最大时，AH最大，AH的最大值为，
此时△ABC为等腰三角形，H为BC中点，
，，
则当AH⊥平面BCD时，h最大，此时面ABC⊥面BCD，
如图，
设O为四面体ABCD外接球的球心，O1，O2分别为△ABC，△BCD的外接圆的圆心．
OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面BCD，
在△ABC中，
，
，
∴四面体ABCD外接球的半径，
外接球的表面积为，
故答案为：，．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A﹣CD﹣P为直二面角．
（1）求证：PB⊥PD；
（2）当PC＝PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则BC⊥CD，
由于二面角A﹣CD﹣P为直二面角，则BC⊥平面PCD，
由于PD⊂平面PCD，则PD⊥BC，又PC⊥PD，PC∩BC＝C，PC、BC⊂平面PBC，
则PD⊥平面PBC，由于PB⊂平面PBC，则PB⊥PD．
（2）取CD中点F，连PF、BF，由PC＝PD知PF⊥CD，由于二面角A﹣CD﹣P为直二面角，
则PF⊥平面ABC，于是PF⊥BF，由于底面ABCD是边长为2的正方形，则PF，
BF，于是PB，同理PA，于是，又，设C到平面PAB距离为d，则由VP﹣ABC＝VC﹣PAB得：，于是解得：d，故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为：．
16．（15分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率p0＝0.006；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设X表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．
（1）求X的概率分布；
（2）求X的数学期望．
参考数据：0.99490≈0.582．
【解答】解：（1）某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率p0＝0.006；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立，
设X表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数，
将每次祈愿获取五星角色的概率记为p0，X的所有可能取值为1，2，3，…，90，
从而P（X＝1）＝p0，P（X＝2）＝（1﹣p0）p0，，…，，，
所以X的概率分布为；
（2）X的数学期望E（X）＝1×P（X＝1）+2×P（X＝2）+3×P（X＝3）+•••+90×P（X＝90）
，
，

，


，
因为p0＝0.006，所以．
17．（15分）已知函数f（x）＝ax﹣elgax﹣e，其中a＞1．
（1）若a＝e，证明f（x）≥0；
（2）讨论f（x）的极值点的个数．
【解答】（1）证明：当a＝e时，，
当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
从而f（x）≥f（1）＝0；
（2）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
设g（x）＝xaxln2a﹣e，a＞1，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
①当a＞e时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为g（0）＝﹣e＜0，g（1）＝aln2a﹣e＞0
所以函数g（x）在（0，1）内有一个变号零点，
故函数f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极值点；
②当a＝e时，由（1）知，函数f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极值点；
③当1＜a＜e时，，，
因为，所以，，
又g（1）＝aln2a﹣e＜0，
所以函数g（x）在内有一个零点，
所以函数f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极值点，
综上所述，函数f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极值点．
18．（17分）已知等轴双曲线C的顶点分别为椭圆Γ：的焦点F1，F2．
（1）求C的方程；
（2）若Q为C上异于顶点的任意一点，直线QF1，QF2与椭圆Γ的交点分别为P，R与M，N，求|PR|+4|MN|的最小值．
【解答】解：（1）易知c2＝a2﹣b2＝4，
解得c＝2，
即F1（﹣2，0），F2（2，0），
不妨设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2＝d，
因为等轴双曲线C的顶点分别为椭圆Γ的焦点F1，F2，
解得d＝4，
则C的方程为；
（2）不妨设直线QF1的方程为x＝my﹣2，直线QF2的方程为x＝ny+2，P（x1，y1），R（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），
联立，消去x并整理得（m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，
由韦达定理得，，
所以
，
联立，消去x并整理得（n2+3）y2+4ny﹣2＝0，
由韦达定理得，，
所以
，
联立，
解得，
因为点Q在双曲线C上，
所以，
解得，
此时|PR|+4MN|＝2（）

，
当且仅当，即时，等号成立．
故|PR|+4|MN|的最小值为．
19．（17分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如AB＝﹣BA）为A，B，C，D四点的交比，记为（A，B；C，D）．
（1）证明：；
（2）若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：（A1，B1；C1，D1）＝（A2，B2；C2，D2）；
（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若△EFG与△E′F′G′的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则△EFG与△E′F′G′对应边的交点在一条直线上．
【解答】证明：（1）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用，
设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，
则称（分式中各项均为有向线段长度，例如AB＝﹣BA）为A，B，C，D四点的交比，记为（A，B；C，D）．
，
；
（2）

；
（3）设EF与E′F′交于X，FG与F′G′交于Y，EG与E′G′交于Z，
连接XY，FF′与XY交于L，EE′与XY交于M，GG′与XY交于N，
欲证X，Y，Z三点共线，只需证Z在直线XY上，
考虑线束XP，XE，XM，XE′，由第（2）问知（P，F；L，F′）＝（P，E；M，E′），
再考虑线束YP，YF，YL，YF′，由第（2）问知（P，F；L，F′）＝（P，G；N，G′），
从而得到（P，E；M，E′）＝（P，G；N，G′），
于是由第（2）问的逆命题知，EG，MN，E′G′交于一点，即为点Z，
从而MN过点Z，故Z在直线XY上，X，Y，Z三点共线．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/13 17:30:56；用户：高中数学朱老师；邮箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；学号：37103942