2024年江苏省南通市如皋市高考数学诊断试卷（1月份）

这是一份2024年江苏省南通市如皋市高考数学诊断试卷（1月份），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）在等比数列{an}中，a1+ax＝82，a3ax﹣2＝81，且前x项和Sx＝121，则此数列的项数x等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
4．（5分）有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法．
A．72B．144C．108D．96
5．（5分）已知△ABC的边BC的中点为D，点E在△ABC所在平面内，且，若，则x+y＝（ ）
A．5B．7C．9D．11
6．（5分）已知函数y＝f（x）的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（ ）
A．线段（不包含端点）
B．椭圆一部分
C．双曲线一部分
D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
7．（5分）已知，，则（ ）
A．3B．﹣3C．D．2
8．（5分）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点P（x1，y1）是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知复数z1，z2是关于x的方程x2+bx+1＝0（﹣2＜b＜2，b∈R）的两根，则（ ）
A．
B．
C．|z1|＝|z2|＝1
D．若b＝1，则
（多选）10．（6分）若函数，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图像关于直线对称
C．f（x）的最小值为﹣1
D．f（x）的单调递减区间为
（多选）11．（6分）设a为常数，，f（x+y）＝f（x）f（a﹣y）+f（y）f（a﹣x），则（ ）
A．
B．恒成立
C．f（x+y）＝2f（x）f（y）
D．满足条件的f（x）不止一个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ．
13．（5分）已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 时，圆锥的体积最大，最大值为 ．
14．（5分）函数的最小值 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．
16．（15分）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；
（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BB1＝2BC＝2，∠CBB1＝2∠CAB，且平面ABC⊥平面B1C1CB．
（1）求证：平面ABC⊥平面ACB1；
（2）设点P为直线BC的中点，求直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值．
18．（17分）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
（1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；
（2）已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2．
19．（17分）对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量．
设k∈R，，，定义加法和数乘：，．
对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数k1，k2，…，ks，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（1）对n＝3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；
②，，；
③，，，．
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（3）已知m（m⩾2）个向量，，…，线性相关，但其中任意m﹣1个都线性无关，证明：
①如果存在等式，则这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，同时成立，其中l1≠0，则．
2024年江苏省南通市如皋市高考数学诊断试卷（1月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为：（0，），
故选：D．
2．（5分）在等比数列{an}中，a1+ax＝82，a3ax﹣2＝81，且前x项和Sx＝121，则此数列的项数x等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：在等比数列{an}中，a1ax＝a3ax﹣2＝81，
所以a1，ax是方程x2﹣82x+81＝0的两个根，所以，或．
当a1＝1，ax＝81时，，解得q＝3，
由，解得x＝5．
当a1＝81，ax＝1时，，解得，
由，解得x＝5．
故选：B．
3．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．
故选：B．
4．（5分）有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法．
A．72B．144C．108D．96
【解答】解：根据题意，先排其余的3辆车全排列，有6种情况，
排好后，有4个空位，在其中选出2个，安排货车甲和乙车，有12种安排方法，
则有6×12＝72种安排方法．
故选：A．
5．（5分）已知△ABC的边BC的中点为D，点E在△ABC所在平面内，且，若，则x+y＝（ ）
A．5B．7C．9D．11
【解答】解：∵，，
∵，∴，
∴，
∴，即，
平面向量基本定理知，，解得：，∴x+y＝11．
故选：D．
6．（5分）已知函数y＝f（x）的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（ ）
A．线段（不包含端点）
B．椭圆一部分
C．双曲线一部分
D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
【解答】解：因为函数y＝f（x）的图象恰为椭圆x轴上方的部分，
所以，
因为f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比数列，
所以有f2（s）＝f（s﹣t）•f（s+t），且有﹣a＜s＜a，﹣a＜s﹣t＜a，﹣a＜s+t＜a成立，
即﹣a＜s＜a，﹣a＜t＜a成立，
由，
化简得：t4＝2a2t2+2s2t2⇒t2（t2﹣2a2﹣2s2）＝0⇒t2＝0，或t2﹣2a2﹣2s2＝0，
当t2＝0时，即t＝0，因为﹣a＜s＜a，所以平面上点（s，t）的轨迹是线段（不包含端点）；
当t2﹣2a2﹣2s2＝0时，即t2＝2a2+2s2，
因为﹣a＜t＜a，所以t2＜a2，而2a2+2s2＞a2，所以t2＝2a2+2s2不成立，
故选：A．
7．（5分）已知，，则（ ）
A．3B．﹣3C．D．2
【解答】解：因为，
所以，即，
因为，所以，
所以，
所以，
所以3．
故选：A．
8．（5分）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点P（x1，y1）是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设半焦距为c，延长F2M交PF1于点N，由于PM是∠F1PF2的平分线，F2M⊥PM，
所以△NPF2是等腰三角形，所以|PN|＝|PF2|，且M是NF2的中点．
根据双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2a，即|NF1|＝2a，由于O是F1F2的中点，
所以MO是△NF1F2的中位线，所以，
又双曲线的离心率为，所以，b＝1，所以双曲线C的方程为，
所以，，双曲线C的渐近线方程为，
设T（u，v），T到两渐近线的距离之和为S，则，
由，即u2+v2＝8，
又T在上，则，即u2﹣2v2＝2，解得u2＝6，v2＝2，
由，故，即距离之和为．
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知复数z1，z2是关于x的方程x2+bx+1＝0（﹣2＜b＜2，b∈R）的两根，则（ ）
A．
B．
C．|z1|＝|z2|＝1
D．若b＝1，则
【解答】解：由题意知，Δ＝b2﹣4＜0，所以x，
不妨设z1i，，
所以，选项A正确；
由z1z2＝1，得，
当b≠0时，∉R，选项B错误；
计算|z1|＝|z2|1，选项C正确；
b＝1时，，
所以，
，，同理，选项D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（6分）若函数，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图像关于直线对称
C．f（x）的最小值为﹣1
D．f（x）的单调递减区间为
【解答】解：由sinx＞0，csx＞0得f（x）的定义域为．
对于A：当时，不在定义域内，
故f（x+π）＝f（x）不成立，易知f（x）的最小正周期为2π，故选项A错误；
对于B：又，
所以f（x）的图像关于直线对称，所以选项B正确；
对于C：因为，设t＝sin2x，
所以函数转化为g（t）＝t•lg2t+（1﹣t）•lg2（1﹣t），t∈（0，1），g′（t）＝lg2t﹣lg2（1﹣t），
由g′（t）＞0得，，g′（t）＜0得．
所以g（t）在上单调递减，在上单调递增，
故，即f（x）min＝﹣1，故选项C正确；
对于C：因为g（t）在上单调递减，在上单调递增，由t＝sin2x，
令得，又f（x）的定义域为，
解得，
因为t＝sin2x在上单调递增，
所以f（x）的单调递减区间为，
同理函数的递增区间为，所以选项D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（6分）设a为常数，，f（x+y）＝f（x）f（a﹣y）+f（y）f（a﹣x），则（ ）
A．
B．恒成立
C．f（x+y）＝2f（x）f（y）
D．满足条件的f（x）不止一个
【解答】解：令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0）f（a），结合f（0），解得f（a），故A正确；
令y＝0，原式化为f（x）＝f（x）f（a）+f（0）f（a﹣x），
代入可得f（x）＝f（a﹣x），所以原式即：f（x+y）＝2f（x）f（y），故C正确；
再令y＝x得f（2x）＝2[f（x）]2≥0，即函数值非负，
令y＝a﹣x，可得f（a）＝2[f（x）]2，即f（x）（负值舍去），故B正确；
所以仅有一个函数关系式f（x）满足条件，故D错误．
故答案为：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 a＝0或a ．
【解答】解：由题意，方程ax2﹣3x+2＝0，a∈R的解至多有1个
①a＝0时，方程﹣3x+2＝0，只有一个解；
②a≠0时，方程ax2﹣3x+2＝0，a∈R的解至多有1个
则Δ＝9﹣8a≤0，∴a
综上所述，a的取值范围是a＝0或a
故答案为：a＝0或a
13．（5分）已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 时，圆锥的体积最大，最大值为 ．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线与底面所成的角为，易知．
圆锥的体积为，
令x＝sinθ，x∈（0，1），则y＝（1﹣sin2θ）sinθ＝﹣x3+x，y'＝﹣3x2+1，
当y'＞0时，，当y'＜0时，，
即函数y＝﹣x3+x在上单调递增，在上单调递减，
即，此时．
故答案为：；．
14．（5分）函数的最小值 ．
【解答】解：f（x）
（）（6sin2x+3+6cs2x+4）
（25+916）（25+2），
当且仅当916，即sin2x，cs2x时取等号．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．
【解答】解：（1）；
∴f′（x）；
∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处取得极值；
∴f′（1）＝0⇒a＝2；
（2）∴f（x）＝2lnxx+1；
∴f′（x）；
∴x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）的单调递增；
x＞1或0＜x时，f′（x）＜0，函数f（x）的单调递减；
故函数f（x）的单调递增区间为：（，1）；
递减区间：（0，）和（1，+∞）；
极大值f（1）＝2ln11＝0；
极小值f（）＝2ln1＝2﹣2ln3．
16．（15分）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；
（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
【解答】解：（1）X的可能取值为1，2，3，
，
，
故抽取次数X的概率分布为：
；
（2）每次检验取到新球的概率均为，
故X～，
所以．
17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BB1＝2BC＝2，∠CBB1＝2∠CAB，且平面ABC⊥平面B1C1CB．
（1）求证：平面ABC⊥平面ACB1；
（2）设点P为直线BC的中点，求直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：因为AC＝2BC＝2，所以BC＝1
因为2∠CAB，所以∠CAB．
在△ABC中，，即，
所以sinB＝1，即AB⊥BC．……（2分）
又因为平面ABC⊥平面B1C1CB，平面ABC∩平面B1C1CB＝BC，
AB⊂平面ABC，
所以AB⊥平面B1C1CB．
又B1C⊂平面B1C1CB，所以AB⊥B1C，
在△B1BC中，B1B＝2，BC＝1，∠CBB1，
所以B1C2＝B1B2+BC2﹣2B1B•BC•cs3，即B1C，
所以B1C⊥BC．
而AB⊥B1C，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，
所以B1C⊥平面ABC．
又B1C⊂平面ACB1，所以平面ABC⊥平面ACB1．
（2）在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，
以C为坐标原点，分别以CA，CE，CB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（，，0），A（2，0，0），B1（0，0，），
所以P（，，0），A1（，，），
所以（，，），
平面ACB1的一个法向量为（0，1，0），……（10分）
设直线A1P与平面ACB1所成的角为α，
则直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值为：
sinα＝|cs，|．
18．（17分）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
（1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；
（2）已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2．
【解答】解：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），
由，两式相减，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），
所以，所以y1+y2＝2，
由题意可知，y1+y2+y3＝0，所以y3＝﹣2，则x3＝1，
由x1+x2+x3＝3，所以x1+x2＝2，所以，线段AB的中点（1，1），
因此，直线AB的方程为y﹣1＝2（x﹣1），整理得2x﹣y﹣1＝0，
因此，直线AB的方程2x﹣y﹣1＝0；
证明：（2）由（1）可知x1+x2+x3＝3，则x2+x3＝3﹣x1，①
由．y1+y2+y3＝0，y1＝﹣（y2+y3），
平方可得，当且仅当y2＝y3时取等号，显然y2≠y3，
所以，即x1＜2（x2+x3），
将①代入可得x1＜2（3﹣x1），解得x1＜2，
所以点A的横坐标小于2．
19．（17分）对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量．
设k∈R，，，定义加法和数乘：，．
对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数k1，k2，…，ks，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（1）对n＝3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；
②，，；
③，，，．
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（3）已知m（m⩾2）个向量，，…，线性相关，但其中任意m﹣1个都线性无关，证明：
①如果存在等式，则这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，同时成立，其中l1≠0，则．
【解答】解：（1）对于①设，则可得k1+2k2＝0，所以，线性相关；
对于②设 则可得k1+2k2+5k3＝0，k1+2k2+k3＝0，k1+2k2+4k3＝0，
所以k1+2k2＝0，k3＝0，所以线性相关；
对于③，设，则可得k1+k2+k4＝0，k1+k3+k4＝0，k2+k3+k4＝0
解得，所以，，线性相关；
（2）设，
则，
因为向量，，线性无关，所以k1+k3＝0，k1+k2＝0，k2+k3＝0，解得k1＝k2＝k3＝0，
所以向量，， 线性无关；
（3）①，如果某个ki＝0，i＝1，2，……，m，
则，
因为任意m﹣1个都线性无关，所以k1，k2，……，ki﹣1，ki+1，……，km都等于0，
所以这些系数k1，k2，……，km或者全为零，或者全不为零，
②因为l1≠0 所以l1，l2，……，lm全不为零，
所以由，可得，
代入，可得 ，
所以，
所以，……，，
所以
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