中考数学复习指导：巧用旋转变换解题

这是一份中考数学复习指导：巧用旋转变换解题，共5页。试卷主要包含了利用旋转构造特殊三角形，利用旋转构造全等三角形，利用旋转构造平行四边形等内容，欢迎下载使用。
旋转变换是图形的基本变换之一，它虽然可以改变图形的位置，但不会改变图形中线段的长度和角的大小，因此，我们可以应用这一性质对某些需要变换的图形进行适当的变换，从而找到解决问题的最佳途径，那么，如何灵活地运用旋转变换解题呢？下面举例说明，希望能够对同学们有所启迪．
一、利用旋转构造特殊三角形
例1 如图1所示，O是等边△ABC内一点，∠AOB＝113°，∠BOC＝123°，求以线段OA,OB,OC为边构成的三角形的各角．
分析 由于OA,OB,OC不在同一个三角形中，考虑到等边三角形每个内角为60°，为此可把OA旋转60°来予以证明．
证明 以A为旋转中心，将OA逆时针旋转60°至AD，连结CD,OD．
二、利用旋转构造全等三角形
例2 如图2所示，以等腰三角形ABC的斜边AB为边向内作等边三角形ABD，连结DC，以DC为边作等边三角形DCE，点B,E在CD的同倾，若AB＝a，则BF＝_______．
分析 因为BE不是直角三角形的边，故不能用勾股定理直接计算，但可通过把△BED以D为旋转中心顺时针旋转60°，得到△ACD，从而可将求BE线段转化为求AC线段的长度．
解 把△BED以D为旋转中心顺时针旋转60°，得到△ACD．△BED≌△ACD．
例3 如图3所示，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上任一点．求证：BD2＋DC2＝2AD2．
分析 (1)考虑到BD,DC,AD不能组成三角形，需进行转化；(2) 2AD2恰为以AD为直角边的等腰直角三角形的斜边的平方，故可把AD旋转90°，予以证明．
证明 以A为旋转中心，把AD逆时针旋转90°到E点，连结DE, CE．
例4 如图4所示，正方形ABCD中，AB＝，点E,F分别在BC，CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF的面积．
分析 一般地，求△AEF的面积，须求△AEF的一边和对应边上的高，而高很难求出．但可通过把△ADF以A为旋转中心顺时针旋转90°得到△ABC．结合已知条件得△AEF≌△AEC，从而使求△AEF的面积转化为求△AEG的面积．
解 把△ADF以A为旋转中心顺时针旋转90°，得到△ABG．则
三、利用旋转构造平行四边形
例5 如图5所示，已知AD为△ABC的中线，E为AC上的一点，连结BE交AD于点F，AE＝FE，试证明BF＝AC．
分析 要证明的BF和AC不在同一基本图形中，故直接证明非常难，必须将边进行适当转化．可将△ABC通过以D为旋转中心顺时针旋转180°，得到△BNC，使四边形ABNC为平行四边形．从而使证明BF＝AC转化为BF＝BN．
解 将△ABC通过以D为旋转中心顺时针旋转180°，得到△BAC，使四边形ABNC为平行四边形．
从以上几例可以看出，在求解几何问题时，如果已知条件中的边、角关系较为分散（即不在同一基础图形中），此时可利用旋转变换，把较为分散的条件转化到同一基础图形中（如正三角形、直角三角形、正方形等等），从而使角、边位置关系得到优化，进而使问题得到解决．其一般步骤为：
(1)确定要旋转的图形和旋转中心；
(2)确定旋转的角度（一般为30°, 60°, 90°, 180°等等）和旋转方向，以便构造新的基本图形（如正三角形、直角三角形、正方形等等）．