中考数学复习指导：图形变换下最值问题的求解策略

这是一份中考数学复习指导：图形变换下最值问题的求解策略，共4页。
一、选择适当的自变量，建立二次函数确定最值
例1 如图l，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB,OD在x轴上．已知点A(l，2)，过A.C两点的直线分别交x轴y轴于点E,F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O,A,C三点．
(1)、(2)略；
(3)若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为5，试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解析 本题关键是用代数式表示出S，困难是选择什么量作为自变量．如图2，设△AOB平移至△A'O'B'的位置，A'B'交x轴于点T，交OC于点Q， A'O'交x轴于点K，交OC于点R．由待定系数法可求得直线AC,OA,OC的函数解析式分别是
y＝－x＋3，y＝2x，y＝x．
设A'（a，－a＋3），则Q(a，)．
由AO∥A'O'，可设直线A'O'的函数关系式为y＝2x＋t，
将A'（a，－a＋3）代入，得t＝3－3a，
∴y＝2x＋3－3a．与y＝x联立，
解得点R的坐标是（2a－2，a－1），
可得S＝S△QOT－S△ROK
＝－（a－）2＋．
∴当a＝时s有最大值，即在线段AC上存在点A'（，），使s取得最大值．
评析 本题以抛物线为背景，在三角形平移过程中研究变量之间的变化规律，探索性强．学生要顺利完成此题，需要在复杂的图形中排除干扰，选择合适的变量作为自变量，并还要用它表示出相关变量建立函数关系式，因此，本题区分度较好．
二、选择适当的自变量，建立一次函数确定最值
例 2.如图3，在长方形纸片ABCD中，AB＝8 cm，AD＝6 cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图3(1)，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片△EBC(余下部分不再使用)；

第二步：如图3(2)，沿△EBC的中位线CH将纸片剪成两部分，并在线段CH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图3(3)，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与CE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小
值为_______cm，最大值为_______cm．
解析 所拼成的四边形M1M2N2N1，如图4所示．由旋转知M1N1＝M2N＝MN，N1N2＝BA'＋NC＝BC．而由三角形中位线的性质知M1M2＝2GH＝BC，即N1N2＝M1M2，四边形M1M2N2N1是平行四边形，其周长为2BC＋2MN＝12＋2MN，显然该周长是MN的一次函数．根据“垂线段最短”，当MN与BC垂直时MN最小（也就是GH与BC之间的距离），最小为4 cm，故所求周长的最小值为20 cm．
在图3(1)中，若E与A重合，EB边的中点G与AB边的中点重合，此时CG＝2，即为MN的最大值；若E与D重合，MN的最大值同样是2，故所求周长的最大值为(12＋2)cm．
评析 本题通过剪、旋转、拼等活动考查学生的动手操作和空间想象能力．利用中心对称的性质容易将拼成的平行四边形的周长化归为关于MN的一次函数，但点E的任意性易被忽略，如果不在矩形中探究MN的不同位置关系，确定其长度的最值很容易失误．
例3 如图5，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E．这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B,E,F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的 “折痕三角形”．
(1)、(2)略；
(3)在矩形ABCD中，AB＝2．BC＝4，该矩形是否存在面积最大的“折痕BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？
解析 探求△BEF面积的最大值，按已知条件显然要按照点F的位置分两种情况讨
论．
①当点F在边BC上（如图5）时，
S△BEF＝AB·BF＝BF，
∴当F与C重合时，BF最长为4，面积最大为4．此时CE＝CO＝4，CD＝2，
∴DE＝2，AE＝4－2，
∴点E的坐标为（4－2，2）．
②当点F在边DC上（如图6）时，
过点，作FG∥BC交AB于点G，交BE于点H．则
S△BEF＝S△EFH＋S△BFH
＝FH·AG＋FH·BG
＝AB·FH．
而FH≤FG＝4，
∴当G与H重合，即F为AD边的中点时，FH达到最大值4，即BEF面积达到最大值4，此时点E与A重合，坐标为(0，2)．
综上，存在最大面积是4的“折痕BEF”，E的坐标是(0，2)或（4－2，2）．
评析 本题要求学生灵活选用适当变量表示△BEF面积，有较强的挑战性．如果照常设E(m，2)，F(4，n)，由EF2＝BF2可得到n与m间的一个关系式，再用矩形面积减去几个直角三角形面积，则会得到△BEF面积是m的三次函数，显然超出初中学生的能力范围．
三、直观分析目标变量，建立不等式组确定最值
例4 在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
(1)、(2)略；
(3)如图7，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
解析 点P的运动方式是在线段AC上作直线运动的同时，还绕点B旋转，点P到定点E和B的距离都在改变．不妨以退求进，将点P固定在AC的某个位置，则其对应点P．在以B为圆心、BP1长为半径的圆上（如图8）运动，这样所求的最值转化为定点E到此圆上的哪一点最近或最远．于是，有
BP1－BE≤EP1≤BP1＋BE
（当点P1与点E.B共线时等号成立），
即BP1－2≤EP1≤BP1＋2．
再让点P在AC上运动起来，此时半径BP1的最大值为BC的长，最小值为点B到直
线AC的距离（即为BCsin45°＝）．由上面的不等式组看出：EP1长度的最大值为7，最小值为－2．
评析 在三角形绕其顶点旋转状态下，再内置一动点P于其一边上，提升了难度，也增加了区分度．尤其是第(3)问，采用 “以静制动，动静结合”的策略，更易把握EP．长度的变化规律，有利于培养学生思维的灵活性与创新性．