中考数学复习指导：旋转变换在解题中的妙用

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初中数学中蕴含着许多数学思想和方法，灵活运用好这些思想与方法，才能帮助我们解决问题．本文以旋转变换为例，与大家一起感受将图形旋转的思想方法是如何帮助我们聚集条件，搭建桥梁，从而顺利解题的．
一、利用旋转变换，把分散的条件集中到一个三角形中
例1 如图1，在△ABC中，CD为AB边上的中线，且AC＝3，BC＝4，CD＝，试判断△ABC的形状．
分析 本题给出的条件CD与AC.BC间并不在同一三角形中，条件显得分散．但如果把△BCD绕D点旋转180°后，已知的三条线段就都能集中到△ACM中，从而通过旋转集中了条件．

例2 如图2，在正方形ABCD中，P为其内部一点，且AP＝1，BP＝，PC＝，求∠APB度数．
分析 显然已知P点到顶点A,B,C的距离，三个条件也是过于分散，但如果把△ABP绕B点顺时旋转90°，到△BMC处，则三个条件就可转化到△PMC中，从而由直角三角形性质可求出∠PMC,∠BMP的度数．
二、利用旋转变换，把分散的线段集中到一条直线上
例3 如图3，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，E,F分别在BC与CD上，求证：EF＝BE＋DF．

分析 将△ADF旋转到△ABM的位置即可求解．
例4 D是正△ABC外一点，且∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，E,F在AB,AC上．求证：EF＝BE＋CF．
分析 通过旋转可把BE与CF集中到同一直线AC上，然后由△MDF≌△FDE可得所求结论．
三、利用旋转变换，把不规则的图形变成规则的图形
例5 在△ABC中，∠C＝90°，O为AB中点，将△ABC绕O点逆时针旋转90°，得△DEF，若AC＝6，求重叠部分面积．
分析 两直角重叠部分为不规则四边形，若用常规方法，则要先求△BPQ面积，再
求△BOR面积，然后相减得出重叠部分面积，显然比较麻烦，若用旋转则可达到意想不到的简化效果，作OM⊥PQ,ON⊥BC，把△POM旋转到△RON位置，则不规则的重叠部分变成了正方形MONQ，由OM为中位线，得
ON＝AC＝3，从而S阴＝9．
例6 在Rt△ABC中，D,E,F分别在上，且DECF为正方形，AD＝6，BD＝8，求S阴．
分析 本题若从常规角度思考则感觉条件似乎不充分，无从下手，但若把△AED绕D点顺时旋转90°，则可得阴影部分面积就是△A'BD的面积，且A'D＝AD＝6，∠A'DB＝90，从而有，
S阴＝6·8·＝24．