中考数学复习指导：相似形中探索猜想问题

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类型1：条件探索猜想型
这类问题一般命题的结论明确，需读者反溯结论成立的条件.可采取逆向思维，由结论成立看需要什么条件，再结合已有的条件，并辅助于图形结构、隐含的条件进行分析探究，方可得到所需的条件.
例1学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件.
（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”.类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”.
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足
的两个直角三角形相似”.请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程.
图1
已知：如图1， .
试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.
分析：我们通过对三角形全等知识的学习与三角形相似知识的探究不难发现，它们之间有着千丝万缕的联系，实际上当两个相似三角形的对应边的比等于1时，这两个三角形就成为全等三角形.本题是要求读者从特殊（全等）到一般（相似）类比探索猜想问题，根据直角三角形全等的判定条件猜想出直角三角形相似的判定条件.为此只需把角的相等条件迁移，将对应边相等改成对应边成比例即可.
解：（1）一个锐角对应相等
两直角边对应成比例
（2）斜边和一条直角边对应成比例
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°， eq \f(AB,A′B′)＝ eq \f(AC,A′C′)．
解法一：设 eq \f(AB,A′B′)＝ eq \f(AC,A′C′)＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′．
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴ eq \f(BC,B′C′)＝ eq \f( eq \r(AB2－AC2), eq \r(A′B′2－A′C′2))＝ eq \f( eq \r(k2A′B′2－k2A′C′2), eq \r(A′B′2－A′C′2))＝k．∴ eq \f(AB,A′B′)＝ eq \f(AC,A′C′)＝ eq \f(BC,B′C′)．
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
解法二：如图，假设AB＞A′B′，在AB上截取AB″＝A′B′，过点B″作B″C″⊥AC，垂足为C″．
C″
C
B
A
C′
B′
A′
B″
∵∠C＝∠AC″B″，∴BC∥B″C″．
∴Rt△ABC∽Rt△AB″C″．∴ eq \f(AC,AC″)＝ eq \f(AB,AB″)．
∵AB″＝A′B′，∴ eq \f(AC,AC″)＝ eq \f(AB,A′B′)．
∵ eq \f(AB,A′B′)＝ eq \f(AC,A′C′)，∴ eq \f(AC,AC″)＝ eq \f(AC,A′C′)．∴AC″＝A′C′．
又∵AB″＝A′B′，∠C′＝∠AC″B″＝90°，
∴Rt△AB″C″≌Rt△A′B′C′．∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
例2.如图2，两点分别在的边上，与不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，．
图2
分析：根据两个三角形相似的条件结合图形发现△ADE与△ACB有一个公共角∠A，所以我们只要补充一个角，或夹这个角的两边对应成比例即可说明△ADE∽△ACB.因为DE与BC不平行因而可补充条件∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD·AB=AE·AC
类型2 存在探究性
所谓“存在性”的问题，就是要求应试者在给定的部分条件下，判断某种数学对象（直线、点、几何图形等）是否存在的命题，这种题型有利于测试学生的猜想、判断、逻辑推理等创造性解决问题的能力.解决此类问题的方法是：先对结论作出肯定存在的假设而后结合题设、定理等进行正确的推理，若得出矛盾的结果，则否定先前假设，说明结论不存在；若推出合理的结果，说明假设成立，进而知结论是存在的.
例3.一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法.请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
如图3-1，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC.
若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD～△ABC（不包括全等）？
请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD～△ABC(不包括全等)的点D的个数.
图3-3
图3-1
D
图3-2
（1）（i）如图3-1，若点D在线段AB上，
由于∠ACB＞∠ABC，可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC, 使得△ACD∽△ABC.
(ii)如图①，若点D在线段AB的延长线上，
则∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，与条件矛盾，因此，这样的点D不存在.
（iii）如图②，若点D在线段AB的反向延长线上，
由于∠BAC是锐角，则∠BAC＜90°＜∠CAD，不可能有△ACD∽△ABC.
因此，这样的点D不存在.
综上所述，这样的点D有一个.
类型3 结论探索性
探索结论型的问题的特点是：命题只给出了明确的条件，隐去了结论，要求考生需结合图形探究、发现、猜测出相应的结论，或变换命题中的部分条件探究对结论的影响；解题时读者必须全方位审题，挖掘、搜集必要的信息进行提炼，大胆推测结论，小心求证.
例1已知：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当= 1时，是 ；②当= 2时，是 ；③当= 3时，是 . 并证明= 2时的结论.
A
B
C
D
E
P
O
图1
分析：（1）观察图形由两个三角形相似的判定条件：“有两个角对应相等的两三角形相似”容易证明△BOP∽△DOE .
（2）①当= 1时，由△BOP∽△DOE可知△BOP≌△DOE，所以BP=DE，又DE=AE，所以AE=BP，又AE//BP，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABPE是平行四边形.
② 直角梯形
③ 等腰梯形
证明：∵k = 2时， ∴ BP = 2DE = AD
又∵AD︰BC = 2︰3 ∴ BC = AD
∴PC = BC - BP =AD - AD =AD = ED
又ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形，又∵∠DCB = 90° ∴四边形PCDE是矩形 ∴ ∠EPB = 90°
又∵ 在直角梯形ABCD中 ，AD∥BC, AB与DC不平行 ∴ AE∥BP, AB与EP不平行
∴是直角梯形
评注：解决本题的关键是通过△BOP∽△DOE，当相似比发生变化，取某些特殊的整数值（K=1，2，3）时找到BP与AD的数量关系，进一步通过计算发现PC与DE数量关系得出四边形PCDE的形状，再结合合情与演绎推理判断四边形ABPE的形状，整个问题以计算为先导，探索发现为目的，推理证明保驾护航，让动态的数学环境出现的几个静态的位置到达问题的高潮（问题的结论），使学生在知识的发生、发展过程中品味到特殊四边形的转化关系，确实是一道训练学生分析、探索思维不可多得美味佳肴.