北师大版4 二次函数的应用课后作业题

这是一份北师大版4 二次函数的应用课后作业题，文件包含专题25实际问题与二次函数十大题型北师大版原卷版docx、专题25实际问题与二次函数十大题型北师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc32716" 【题型1 利用二次函数求最大利润】 PAGEREF _Tc32716 \h 1
\l "_Tc3106" 【题型2 利用二次函数求最优方案】 PAGEREF _Tc3106 \h 7
\l "_Tc23931" 【题型3 利用二次函数求最大面积】 PAGEREF _Tc23931 \h 11
\l "_Tc6865" 【题型4 利用二次函数求最小周长】 PAGEREF _Tc6865 \h 18
\l "_Tc20830" 【题型5 利用二次函数解决拱桥问题】 PAGEREF _Tc20830 \h 24
\l "_Tc6655" 【题型6 利用二次函数解决隧道问题】 PAGEREF _Tc6655 \h 30
\l "_Tc4978" 【题型7 利用二次函数解决图形运动问题】 PAGEREF _Tc4978 \h 36
\l "_Tc9347" 【题型8 利用二次函数解决运动员空中跳跃轨迹问题】 PAGEREF _Tc9347 \h 42
\l "_Tc21184" 【题型9 利用二次函数解决球类运行的轨迹问题】 PAGEREF _Tc21184 \h 49
\l "_Tc22187" 【题型10 利用二次函数解决喷头喷出的球的轨迹问题】 PAGEREF _Tc22187 \h 53
【题型1 利用二次函数求最大利润】
【例1】（2023春·广东茂名·九年级校考开学考试）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
(1)当x>4时，若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
(2)当04时，总利润
W=10(14-x)+[17-(x-4)]x，
整理得W=-x2+11x+140，
∵-10，则x+4x⩾ （当且仅当x= 时取“=” )；
（2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测；
（3）当x>-1时，求y=x2+3x+1的最小值．
【答案】（1）4，2；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）根据题意，由a+b⩾2ab，当且仅当a=b时，等号成立；即可解决问题；
（2）设矩形的长、宽分别为x、y，由题意得xy=9，再根据公式证明当x=y时，x+y有最小值，进而得结论；
（3）把y=x2+3x+1转化为y=x+1+4x+1-2的形式，再根据公式进行解答便可．
【详解】解：（1）∵x>0，
∴4x>0，
∴当x=4x时，即x=2时，
∴x+4x⩾2x·4x，即x+4x⩾4；
故答案为4；2．
（2）设矩形的长、宽分别为xm、ym，由题意得xy=9，则
x+y⩾2xy，即x+y⩾6，
当x=y=3时，x+y取最小值为6，
此时矩形的周长最小为：2(x+y)=12；
∵x=y时，矩形变为正方形，
∴铁丝围一个面积为9m2且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小；
（3）y=x2+3x+1=x+1-12+3x+1=x+12-2x+1+4x+1=x+1+4x+1-2，
∵x>-1，
∴x+1>0，4x+1>0，
∴y⩾2(x+1)·4x+1-2，即y⩾2，
∴当x+1=4x+1时，即x=1时，
y取最小值为：2．
【点睛】本题是一个阅读材料题，主要考查了完全平方公式的应用，不等式的性质，二次函数的应用，关键是读懂题意，弄清解答的理论依据，学会对新知识进行拓展应用，难度较大，第（3）题关键是把求出函数表达式转化为两个恰当的正实数的和形式，才能应用公式．
【变式4-3】（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，二次函数y=x2﹣4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．
（1）点A的坐标为 ，线段OB的长= ；
（2）设点C的横坐标为m．
①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；
②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．
【答案】（1） A（4，0），52；（2）①m=5-22；②当m=2-22时，△ACD的周长最小，这个最小值为8．
【分析】（1）根据y=x2﹣4x中，令y=0，则0=x2﹣4x，可求得A（4，0），解方程组y=xy=x2-4x，可得B（5，5），进而得出OB的长；
（2）①根据C（m，m），F（m，m2﹣4m），可得CF=m﹣（m2﹣4m），根据D（m+2，m+2），E（m+2，（m+2）2﹣4（m+2）），可得DE=m+2-[（m+2）2﹣4（m+2）]，最后根据当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，求得m的值即可；
②先过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，得出AC=DG，再作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，根据当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，可得此时AC+AD最短，然后求得直线A'G的解析式为y=-9-427x+4，解方程组可得D、C的坐标，最后根据两点间距离公式，求得△ACD的周长的最小值．
【详解】（1）∵y=x2﹣4x中，令y=0，则0=x2﹣4x，
解得：x1=0，x2=4，
∴A（4，0），解方程组y=xy=x2-4x，
可得：x=0y=0或x=5y=5，
∴B（5，5），
∴OB=52+52=52．
故答案为（4，0），52；
（2）①∵点C的横坐标为m，且CF∥DE∥y轴，
∴C（m，m），F（m，m2﹣4m）．
又∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，
∴D（m+2，m+2），E（m+2，（m+2）2﹣4（m+2）），
∴CF=m﹣（m2﹣4m），DE=m+2-[（m+2）2﹣4（m+2）]．
∵当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，
∴m﹣（m2﹣4m）=m+2-[（m+2）2﹣4（m+2）]，
解得：m=5-22；
②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，
∴AC=DG，
作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，
∴当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，此时AC+AD最短．
∵A（4，0），AG=CD=2，
∴A'（0，4），G（4+2，2），
设直线A'G的解析式为y=kx+b，则4=b2=（4+2）k+b，
解得：k=-9-427b=4，
∴直线A'G的解析式为y=-9-427x+4，
解方程组y=xy=-9-427x+4，
可得：x=2+22y=2+22，
∴D（2+22，2+22）．
∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，
∴C（2-22，2-22），
∴点C的横坐标m=2-22．
∵AD=A'D，AC=DG，CD=AG=2，
∴△ACD的最小值为A'G+AG=(4+2)2+(4-2)2+2=6+2=8，
故当m=2-22时，△ACD的周长最小，这个最小值为8．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的计算，两点间的距离公式，待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据平行四边形的对边相等以及两点之间线段最短进行计算求解．解题时注意方程思想和数形结合思想的运用．
【题型5 利用二次函数解决拱桥问题】
【例5】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽AB为8米．AB上的点E到点A的距离AE=1米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF=74米．他们以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)求拱桥顶面离水面AB的最大高度．
(3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．请通过计算说明该游船是否能安全通过．
【答案】(1)该抛物线所对应的函数表达式为y=-14x2+2x
(2)拱桥顶面离水面AB的最大高度为4米
(3)该游船能安全通过，理由见解析
【分析】(1) 设抛物线解析式为y=ax2+bxa≠0，将8,0，1,74代入上式，确定a、b的值即可．
(2) 把抛物线的解析式化为顶点式，求出抛物线的最大值即可．
(3) 根据对称性，确定船左侧的坐标，根据解析式，计算函数值，比较与安全距离2+0.5=2.5米的大小，大于则安全通过，小于或等于，都不安全．
【详解】（1）设y=ax2+bxa≠0，将8,0，1,74代入上式，
得64a+8b=0a+b=74，
解得a=-14b=2，
∴该抛物线所对应的函数表达式为y=-14x2+2x．
（2）y=-14x2+2x=-14x-42+4，
当x=4时，ymax=4．
∴拱桥顶面离水面AB的最大高度为4米．
（3）∵游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米，游船从拱桥下面正中间通过，
∴船离点A的距离为4-4÷2=2米．
把x=2代入y=-14x2+2x中，
y=-14×22+2×2=3．
∵2+0.5=2.518，
∴这艘船能从该抛物线形拱桥下方顺利通过．
【点睛】本题考查了二次函数与实际问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）如图1，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为12m，在距离D点3m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．如图2，桥面上方有3根高度均为5m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2m，下面结论正确的是 (填写正确结论序号)．
①图1抛物线型拱桥的函数表达式y=-16x2．
②图2右边钢缆抛物线的函数表达式y=13(x-3)2+2．
③图2左边钢缆抛物线的函数表达式y=13(x+3)2+2．
④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3m．
【答案】①②③④
【分析】①利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；②由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(3,2)，然后利用待定系数法求函数解析式；③用与②相同的方法即可求出函数解析式；④彩带的长度为L m，利用L13(x-3)2+2-(-16x2)=12(x-2)2+3，由函数的性质即可得出结论．
【详解】解：根据题意可知点F的坐标为3,-1.5，
可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1=a1x2，
将F3,-1.5代入y1=a1x2有：-1.5=9a1，
解得a1=-16，
∴y1=-16x2，故①正确；
由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为3,2，可设其表达式为y=a2(x-3)2+2，
将H0,5代入其表达式有：5=a2(0-3)2+2，
解得a2=13，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y=13(x-3)2+2，故②正确；
同理可知，③正确；
设彩带的长度为Lm，
则L=13(x-3)2+2--16x2=13x2-2x+5+16x2=12x2-2x+5=12(x-2)2+3．
∵12>0，
∴当x=2时，L最小，最小值为3．故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解．
【变式5-3】（2023春·安徽阜阳·九年级统考期末）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度OC=5m，跨度AB=20m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．
(3)已知公园要进行改造，在原位置上将拱桥ACB改造为圆弧AC'B，跨度AB不变，且（2）中“脚手架”矩形EFGH仍然适用（E，F打桩位置不变，H，G依然在拱桥上），求改造后拱桥的高度OC'（结果精确到0.1m，参考数据：170.56≈13.06）．
【答案】(1)y=-120x2+5
(2)“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为4m
(3)改造后拱桥的高度OC'为4.7m
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+c，把B10,0，C0,5代入计算即可求解；
（2）设点G的坐标为t,-120t2+5，根据题意得HG=2t，GF=-120t2+5，又∵EH+HG+GF=18.4m，∴2t+2-120t2+5=18.4，解之求得t1=6，t2=14（不合题意，舍去），即可得HG=12m，GF=3.2m，则EO=12HG=6m，由AE=AO-EO即可求解；
（3）取GH中点K，在CO延长线上取圆心M，连接MG，MB，设OM长为xm，由勾股定理得GK2+KM2=OM2+OB2，即62+x+3.22=x2+102，解得x=8.4，所以OM=8.4m，C'M=MB=62+11.62=170.56≈13.06m，然后由OC'=C'M-OM，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+c，经过B10,0，C0,5，
∴100a+c=0c=5，解得a=-120c=5，
∴抛物线的解析式为y=-120x2+5．
（2）解：设点G的坐标为t,-120t2+5，
根据题意得HG=2t，GF=-120t2+5，
∵EH+HG+GF=18.4m，
∴2t+2-120t2+5=18.4，
解得t1=6，t2=14（不合题意，舍去），
∴HG=12m，GF=3.2m，
∴EO=12HG=6m，
∴AE=AO-EO=4m．
答：“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为4m．
（3）解：如图，取GH中点K，在CO延长线上取圆心M，连接MG，MB，
设OM长为xm，
在Rt△MKG中，GK2+KM2=GM2，
在Rt△OMB中，OM2+OB2=MB2，
∴GK2+KM2=OM2+OB2，即62+x+3.22=x2+102，
解得x=8.4，
∴OM=8.4m，C'M=MB=62+11.62=170.56≈13.06m，
∴OC'=C'M-OM≈13.06-8.4≈4.7m，
答：改造后拱桥的高度OC'为4.7m．
【点睛】本题考查二次函数的应用，勾股定理，圆的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象性质是解题的关键．
【题型6 利用二次函数解决隧道问题】
【例6】（2023·北京海淀·九年级期末）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式y=ax-h2+ka