四川省宜宾市叙州区第二中学2023届高三二诊模拟文科数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，请将答题卡交回.
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合然后用交集的定义即可求解
【详解】因为，
所以
故选：C
2. 复数满足，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
，故选A.
3. 采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用．制造业PMI高于时，反映制造业较上月扩张；低于，则反映制造业较上月收缩．下图为我国2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数（PMI）统计图．
根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（ ）
A. 2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩
B. 2021年第四季度各月制造业在逐月扩张
C. 2022年1月至4月制造业逐月收缩
D. 2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，将各个月的制造业指数与比较，即可得到答案.
【详解】对于A项，由统计图可以得到，只有9月份的制造业指数低于，故A项错误；
对于B项，由统计图可以得到，10月份的制造业指数低于，故B项错误；
对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于，故C项错误；
对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势，且在2022年6月PMI超过，故D项正确.
故选：D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】时，有，则有；
时，有，即，不一定满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5. 人们用分贝(dB)来划分声音等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度(单位:)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ）
A. 1倍B. 10倍
C. 100倍D. 1 000倍
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数运算即可求解.
【详解】设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为，
根据题意得＝，解得，，解得，所以
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.
故选: B.
6. 设为等差数列，公差，为其前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用得出的等式，求得的值，化简变形后可求得的值.
【详解】由得，，解得，
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列相关项的计算，解答的关键就是利用已知条件得出关于的方程，解出的值，利用基本量法求解，考查计算能力，属于基础题.
7. 已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.
【详解】解：选项A中直线，还可能相交或异面，
选项B中，还可能异面，
选项C，由条件可得或．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.
8. 若直线过点，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先由直线方程求出截距分别为和，结合直线过，可得，由基本不等式“1”的妙用即可求解
【详解】因为直线，当时，，当时，，所以该直线在x轴与y轴上的截距分别为b，a，又直线过点，所以，即，所以，当且仅当时等号成立．所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4.
故选：D．
9. 若，则（ ）．
A. 5B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数基本关系式即可求解.
【详解】因为，
所以，
再由，
解得，，
知与同号
所以，
故选：C.
10. 已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A. 为函数的一个周期
B. 是函数图象的一个对称中心
C. 函数在区间上单调递增，则实数的最大值为
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象
【答案】C
【解析】
【分析】根据周期函数的定义判断A，根据正弦函数的性质判断B，C，根据函数图象变换结论及偶函数定义判断D.
【详解】对于选项：由已知可得，
所以，
所以为函数的一个周期，故A正确；
对于选项B：令，解得，
当时，，所以点是曲线的一个对称中心，故B正确；
对于选项C：由，得，
令，得，
因为在区间上单调递增，所以实数的最大值为，故C错误；
对于选项D：将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到的图象，
因为，所以函数为偶函数，故D正确.
故选：C.
11. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面成角．则四面体外接球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中线面位置关系，可以确定四面体的外接球球心为线段的中点，再根据题中的数据求解出外接球的半径，最后根据球的体积公式计算体积，即可求解.
【详解】由题意，在四棱锥中，平面，
可得即为直线与平面所成的角，所以，
所以为等腰直角三角形，故，
在中，可得，
又由，，，，可得，
所以，可得，
取的中点，可得，
即外接球半径为，
所以四面体外接球的体积为.
故选：C.
12. 已知函数是上的奇函数，当时，.若，则（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由解析式可得对任意的恒成立，进而求方程在上的解，利用奇函数的性质可得出的值.
【详解】当时，，
，.
当时，由，得或，得或（舍去），
函数是奇函数，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性解方程，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 若实数满足则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先画出可行域，再根据中的几何意义求最小值.
【详解】根据满足的条件画出图形是以三点，，为顶点的三角形及其内部，

当直线过点时，取得最小值，
所以的最小值是．
故答案为：
14. 函数是偶函数，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数为偶函数，是奇函数，利用诱导公式把变为，即可解得.
【详解】因为是偶函数，故,解得，，所以.
故答案为：.
15. 双曲线 ​的左顶点为​， 右焦点​， 若直线​与该双曲线交于​两点，​为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________
【答案】2
【解析】
【分析】先由​为等腰直角三角形，得到​，解得​，直接求出离心率.
【详解】联立 ​， 可得​， 则​，
因为点 ​关于​轴对称， 且​为线段​的中点， 则​.
又因为 ​为等腰直角三角形， 所以，​， 即​，
即 ​， 所以，​， 可得​，
因此， 该双曲线的离心率为 ​．
故答案为：2
16. 各项均为正数的等比数列的首项为，其前项和为，且.若数列满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，根据题意得出关于的方程，求出正数的值，进而可求得等比数列的通项公式，令可求得的值，再令，由可得出，两式相减可得出在时的表达式，再对的值进行检验，综合可得出数列的通项公式.
【详解】设数列的公比为，则，由已知得，
解得（舍去）或，，
对任意的，.
当时，，得；
当时，由得，
两式相减得，.
满足.
因此，对任意的，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用前项和求通项，同时也考查了等比数列通项的求解，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必做题：共60分.
17. 在新型冠状病毒疫情期间，某高中学校实施线上教学，为了解线上教学效果，随机抽取了100名学生对线上教学效果进行评分(满分100分)，记低于80的评分为“效果一般”，不低于80分为“效果较好”.
（1）请补充完整列联表；通过计算判断，有没有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关？
（2）根据（1）中列联表的数据，在评分为“效果较好”的学生中按照性别用分层抽样的方法抽取了6名学生.若从这6名学生中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名学生中恰好有1名男生的概率.
附表及公式：
其中，.
【答案】（1）列联表答案见解析，有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件补充列联表，然后根据表中数据计算出的值，对比附表数据，然后作出判断；
（2）先根据分层抽样计算出男生、女生人数并对男女生进行标记，列出“从名学生中随机抽取名”的所有基本事件，分析满足“抽取的两名学生中恰有名男生”的基本事件，根据基本事件数之比求解出对应概率.
【详解】（1）补充后的列联表为：
，
因此，有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关.
（2）因为“效果较好”的男生和女生的人数之比为，即为，
所以抽取的名同学中，男生有名，记为，，
女生有名，记为，，，，
从这人中选取人的所有基本事件有：，，，，
，，，，，，，，
，，，共个.
其中恰好一个男生的基本事件有：，，，
，，，，，共个.
所以，抽取的名学生中恰好有名男生的概率为.
18. 在中,角的对边分别为,,,已知.
（1）求;
（2）若,点在边上且,,求.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】(1)在中,将正弦定理代入中,移项化简可得解出即可;
(2)先用余弦定理得三角形边之间关系,再根据等面积法,可得之间关系,两式联立即可得出边长.
【小问1详解】
解:由题知,,
在中,由正弦定理得:
,
因为,
所以,
故,
即,
因为,
所以;
【小问2详解】
中,由余弦定理得:
,
因为,
所以,
将,,带入可得:
,
所以,
解得:(舍)或.
19. 如图，在五面体中，是边长为的等边三角形，四边形为直角梯形，∥，，，．
（1）若平面平面，求证：；
（2）为线段上一点，若三棱锥的体积为，试确定点的位置，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）是线段的中点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由∥结合线面平行的判定可得∥平面，再由线面平行的性质可证得结论，
（2）取的中点O，连接，，可得平面，从而可得平面，然后利用等体积法可求得点到直线的距离，再由直角梯形的性质可得点到直线的距离，从而可得是线段的中点
【小问1详解】
证明：∥，
而平面，平面，
∥平面，
又∵平面平面，平面，
∥．
【小问2详解】
是线段的中点．
理由如下：取的中点O，连接，．
，，
又，，
平面．
∥
四边形是平行四边形．
∥，平面．
．
又，，
平面，
，
，．
设点到直线的距离为，
，．
在直角梯形中，，，，
故是线段的中点．
20. 已知，动点在：上运动.线段的中垂线与交于.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设、、三点均在曲线上，且，（为原点），求的范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据中垂线性质得到，判断为椭圆，代入数据得到答案.
（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，设，联立方程得到，，计算得到答案.
【详解】（1）
点轨迹是以、为焦点椭圆.
，，，.
（2）当斜率存在时，设
，令两根为，.
由.
，.
代入，，即.
故.
，，.
当轴时，易求，范围是.
【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长范围，其中忽略掉斜率不存在的情况是容易犯的错误，意在考查学生的应用能力和计算能力.
21. 已知().
（1）当，证明：函数有个零点；(参考数据)
（2）若函数在单调递减，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，判断单调性与最值，然后再计算与，根据零点存在定理即可证明函数有个零点；（2）对函数求导，讨论与两种情况，利用参变分离法得在上恒成立，令新函数，求导，判断单调性以及最小值，即可得的取值范围.
【详解】（1）当，，则，所以时，，当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又，，所以函数在和上分别有一个零点，即函数有个零点；
（2），，当时，，所以函数在上单调递增，不满足题意；当时，由题意，在单调递减，即在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，，所以函数在单调递增，则，所以，故的取值范围为.
【点睛】（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题；（2）若可导函数在指定的区间D上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为（或）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到．
（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；
（2）当时，，曲线的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线 化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.
【详解】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），
两式平方相加得，
所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）当时，曲线的参数方程为为参数），
所以，曲线的参数方程化为为参数），
两式相加得曲线方程为，
得，平方得，
曲线的极坐标方程为，
曲线直角坐标方程为，
联立方程，
整理得，解得或 （舍去），
，公共点的直角坐标为 .
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数，．
（1）解不等式；
（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）通过讨论的范围得到关于的不等式组，解出即可；
（2）根据题意，原问题可以等价函数和函数图象在区间上有交点，结合二次函数的性质分析函数的值域，即可得答案．
【详解】解：（1）可化为，
故，或，或；
解得：，或，或；
不等式的解集为；
（2）由题意：，．
故方程在区间有解函数和函数，图像在区间上有交点
当时，
实数的取值范围是.
【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．效果一般
效果较好
合计
男
20
女
15
55
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
效果一般
效果较好
合计
男
25
20
45
女
15
40
55
合计
40
60
100