2024八年级数学下册第18章勾股定理学情评估试卷（安徽专版沪科版）

这是一份2024八年级数学下册第18章勾股定理学情评估试卷（安徽专版沪科版），共11页。

第18章学情评估一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝10，AO＝6，则OB的长为(　　)A．5 B．6 C．8 D．102．下列四组数据，不能构成直角三角形的是(　　)A．1，eq \r(2)，eq \r(3) B．6，8，10 C．5，12，13 D.eq \r(3)，2，eq \r(5)3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是(　　)A．8 B．16 C．20 D．25(第3题)　(第4题)　(第6题)4．如图，P是平面直角坐标系内一点，则点P到原点的距离是(　　)A．3 B.eq \r(2) C.eq \r(7) D.eq \r(5)5．若△ABC的三边a，b，c满足c2－(a＋b)·(a－b)＝0，则△ABC是(　　)A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，AD＝3，若∠B＝90°，则∠BCD的度数为(　　)A．100° B．120° C．135° D．145°7．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”大意为：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里(1里＝500米)，问这块沙田的面积为多少？则这块沙田的面积为(　　)A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米8．在△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，则AB边上的高是(　　)A.eq \f(36,5) B.eq \f(12,25) C.eq \f(9,4) D.eq \f(3 \r(3),4)9．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3，BC＝5，则AE的长是(　　)A．1.5 B．2.4 C．3.4 D．1.6(第9题)　　(第10题)10．如图，正方形ABCD的边长为3 eq \r(2)，E，F是对角线AC上的三等分点，P是边AB上一动点，则PE＋PF的最小值是(　　)A．5 B.eq \r(10) C．3 eq \r(2) D．2 eq \r(5)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知△ABC的三边长分别为eq \f(3,2)，eq \f(5,2)，2，则△ABC的面积为________．12．如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射后，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为________．(第12题)　(第13题)　(第14题)13．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛藤生长在木头下端A点，缠绕木头7周，葛梢与木头上端B点刚好齐平(如图)，问葛藤有多长？则葛藤的长是__________尺．(注：1丈等于10尺，葛藤缠绕木头以最短的路径向上长，误差忽略不计)14．如图，在四边形ABCD中，AC和BD是其对角线，∠BAD＝90°，AB＝AD＝2，∠ABC＝135°.(1)BD的长为________；(2)若BC＝eq \r(2)，则BDAC＝________．三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)15．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD的长．(第15题)16．如图，有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合下列要求的图形(所画图形的顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合)：(1)在图①中画一个一条直角边长为4，面积为6的直角三角形；(2)在图②中画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；(3)在图③中画一个面积为5的等腰直角三角形；(4)在图④中画一个一边长为2 eq \r(2)，面积为6的等腰三角形．(第16题)四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)17．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进，乙渔船沿南偏东30°的方向以每小时15海里的速度前进，两艘渔船同时出发，2小时后，甲渔船到达M岛，乙渔船到达P岛．求P岛与M岛之间的距离．(第17题)18.如图，旗绳AC自由下垂时，比旗杆AB长2米，如果将旗绳斜着拉直，下端在地面上，距旗杆底部的距离BC＝6米，求旗杆AB的高度．(第18题) 五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)19．如图，将竖直放置的长方形框ABCD推倒至长方形A′B′C′D′的位置，长方形ABCD的长和宽分别为a，b，AC的长为c.(1)请用只含a，b的代数式表示S△ABC，S△C′A′D′和S直角梯形A′D′BA；用只含c的代数式表示S△ACA′；(2)请利用(1)的结论证明勾股定理．(第19题)20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4 eq \r(5)，CD＝8.(1)求∠ADC的度数；(2)求四边形ABCD的面积．(第20题)六、(本题满分12分)21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．(第21题)七、(本题满分12分)22．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，c为最长边长，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为__________三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为__________三角形；(2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形；(3)若a＝2，b＝4，那么当c分别满足什么条件时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？八、(本题满分14分)23．定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．(1)在你学过的四边形中，写出两种勾股四边形的名称；(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°.①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．(第23题)答案一、1.C　2.D　3.C　4.A　5.A　6.C7．A　8.A　9.D10．D　思路点睛：作点E关于边AB所在直线的对称点E′，连接FE′交AB于点P，连接AE′，此时PE＋PF有最小值，最小值为E′F的长．二、11.eq \f(3,2)　12.eq \r(41)　13.2914．(1)2 eq \r(2)　(2)2eq \r(5)三、15.解：在Rt△ACD中，CD＝eq \r(AC2－AD2)＝eq \r(132－122)＝5.BC＝14，BD＝BC－CD＝14－5＝9.16．解：(1)如图①所示．(2)如图②所示．(3)如图③所示．(4)如图④所示．(第16题)四、17.解：由题意可知，∠MBP＝180°－60°－30°＝90°，BM＝8×2＝16(海里)，BP＝15×2＝30(海里)，所以MP＝eq \r(BM2＋BP2)＝34(海里)．答：P岛与M岛之间的距离为34海里．18．解：设旗杆的高度为x米，根据题意，得(x＋2)2＝x2＋62，解得x＝8.答：旗杆AB的高度为8米．五、19.(1)解：S△ABC＝eq \f(1,2)ab，S△C′A′D′＝eq \f(1,2)ab，S直角梯形A′D′BA＝eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)＝eq \f(1,2)(a＋b)2，S△ACA′＝eq \f(1,2)c2.(2)证明：由题意可知S△ACA′＝S直角梯形A′D′BA－S△ABC－S△C′A′D′＝eq \f(1,2)(a＋b)2－eq \f(1,2)ab－eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)(a2＋b2)．又因为S△ACA′＝eq \f(1,2)c2，所以a2＋b2＝c2.20．解：(1)如图，连接BD.(第20题)∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形．∴∠ADB＝60°，DB＝AB＝4.∵42＋82＝(4 eq \r(5))2，∴DB2＋CD2＝BC2.∴∠BDC＝90°.∴∠ADC＝60°＋90°＝150°.(2)如图，过点B作BE⊥AD，垂足为点E.∵∠A＝60°，∴∠ABE＝30°.∴AE＝eq \f(1,2)AB＝2.∴BE＝eq \r(42－22)＝2 eq \r(3).∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝eq \f(1,2)×4×2 eq \r(3)＋eq \f(1,2)×4×8＝4 eq \r(3)＋16.六、21.解：如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，连接PE，∴易得△PCE为等腰直角三角形，BE＝PA＝3，∴∠CPE＝45°，PE2＝2PC2＝8，BE2＝9.又∵PB2＝1，∴PE2＋PB2＝BE2，∴∠BPE＝90°，∴∠BPC＝45°＋90°＝135°.(第21题)七、22.解：(1)锐角；钝角(2)＞；＜(3)∵c为最长边长，2＋4＝6，∴4≤c＜6.a2＋b2＝22＋42＝20.当a2＋b2＞c2时，c2＜20，易得4≤c＜2 eq \r(5)，∴当4≤c＜2 eq \r(5)时，△ABC是锐角三角形；当a2＋b2＝c2时，c2＝20，∴c＝2 eq \r(5)，∴当c＝2 eq \r(5)时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2＜c2时，c2＞20，易得2 eq \r(5)