江苏省宿迁市沭阳如东实验学校2023-2024学年九年级上学期9月学情检测数学试题（原卷版+解析版）

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（总分：150分 时间：120分钟 日期：）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上.）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．
【详解】解：A．是一元一次方程，故A不符合题意；
B．是一元二次方程，故B符合题意；
C．是分式方程，故C不符合题意；
D．是二元一次方程，故D不符合题意；
故选择：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2. 平面内，若⊙O的半径为2，OP＝，则点P在⊙O（ ）
A. 内B. 上C. 外D. 内或外
【答案】A
【解析】
【分析】根据半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，可得答案．
【详解】解：由题意得，d＝，r＝2．
∵d＜r，
∴点P在⊙O内，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解点与圆的位置关系是解题的关键．
3. 若方程x2－2x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞1B. k＝1C. k＜1D. k≤1
【答案】D
【解析】
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4k≥0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ＝22﹣4k≥0，
解得k≤1．
故答案选：D
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4. 一元二次方程配方后可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5. 下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ； ④长度相等的两条弧是等弧
A. 3个B. 2个C. 1个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的性质以及垂径定理对每个选项一一判断即可.
【详解】同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，结论①错误；平分弦的直径不一定垂直于弦，结论②错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，结论③错误；长度相等的两条弧不一定是等弧，结论④错误.不正确的有①②③④.
故选D.
【点睛】本题主要考查圆的性质，熟记相关概念是解题的关键.
6. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．
【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．
7. 如图，四边形内接于，则的半径为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，，根据圆内接四边形的性质可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接，，
∵四边形内接于，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴的半径为：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及圆周角定理是解题的关键．
8. 对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（ ）
A. 只有①B. 只有②④C. 只有①②③D. 只有①②④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案．
【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意；
②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意；
③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；
④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意．
正确的结论为②④，
故选：B．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上）
9. 方程的根是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
10. 若方程有解，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】这个式子先移项，变成（x+3）2=-a，再根据方程（x+3）2+a=0有解，则-a是非负数，从而求出a的取值范围．
【详解】解：∵方程（x+3）2+a=0有解，
∴-a≥0，则a≤0．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一个数的平方一定是非负数．
11. 如图，是的外接圆，，E是的中点，连接并延长交于点D，连接，则的度数为__________．

【答案】##59度
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理；
连接，根据圆内接四边形的性质得到，然后根据垂径定理的推论可求出的度数．
【详解】解：连接，

四边形是圆内接四边形，，
，
是的中点，
，
，
故答案为：．
12. 已知 是方程的两根，则的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】先由根与系数的关系得出，，再将变形为，然后代入数值计算即可．
【详解】解：∵是方程的两根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，对要求的式子利用完全平方公式进行适当变形是解题的关键．
13. 已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解_____．
【答案】x3＝0，x4＝﹣3．
【解析】
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知整体法的应用.
14. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则__________．

【答案】寸
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；
连接，根据垂径定理，由可求出的长，设的半径为x，则，表示出，在中，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可．
【详解】解：连接，

∵寸，
∴寸，
设的半径为x，则，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
∴寸，
故答案为：寸．
15. 已知代数式，则A的最小值为 _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用；
先利用配方法把代数式配成完全平方式形式，再根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：，
∵，
∴，即A的最小值为，
故答案为：．
16. 如图，是外一点，过引的切线、，若，则________度．

【答案】
【解析】
【分析】根据切线的性质得到，根据四边形的内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵、是的切线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查直线与圆的位置关系，四边形内角和定理，理解切线的性质是解题关键．
17. 若实数a是一元二次方程x2-3x+1=0的一个根，则a3+的值为______．
【答案】21
【解析】
【分析】将a代入方程可得a2-3a+1=0，a2=3a-1，a2+1=3a，1=3a-a2，可得a3+=a（3a-1）+=3a2-a+=3（3a-1）-a+=9a-3-a+24-8a，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵实数a是一元二次方程x2-3x+1=0的一个根，
∴a2-3a+1=0，a2=3a-1，a2+1=3a，1=3a-a2，
∴a3+
=a（3a-1）+
=3a2-a+
=3（3a-1）-a+
=9a-3-a+24-8a
=21．
故答案为21．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是求出a2=3a-1，a2+1=3a，1=3a-a2，利用整体法代值计算，此题难度较大．
18. 如图，在中，、为中线，连接，若，，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】作的外接圆，根据三角形的中位线定理可得，则当最大时，最大，当为的外接圆的直径时，最大，继而解即可求解．
【详解】解：如图，作的外接圆，
∵、为中线，
∴
当最大时，最大，
∴当为的外接圆的直径时，最大，
此时如图，
∵，
∴
∵，
∴，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，解直角三角形，三角形的外接圆，直径所对的圆周角是直角，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；（2）利用公式法求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
【点睛】本题考查解一元二次方程．根据方程形式选择合适的求解方法正确计算是解题的关键．
20. 如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理的推论；
由弦相等得到，推出，得到，再利用等腰三角形的判定得出结论．
【详解】证明：，
，
，即，
，
．
21. （1）如图1，请只用无刻度直尺找出的外心点；并直接写出其外接圆半径 ；
（2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心．

【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点；
（2）在弧上任取三点，，，连接，，分别作弦，的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心，于是得到结论．
【详解】解：（1）如图（1）所示，点即为所求；外接圆半径；

故答案为：；
（2）如图（2）所示：即为所求．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．
22. 如图，是的直径，点A，C在上，，交于点E．若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了半圆（或直径）所对的圆周角是直角，圆周角定理；根据圆周角定理得到，，由得到，然后根据三角形外角的性质计算的度数．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
23. 关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
【答案】（1）见详解；（2）k＜-1
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−3）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝-3，x2＝-k，根据方程有一根大于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】（1）证明：∵在方程中，△＝（k＋3）2−4×1×3k＝k2−6k＋9＝（k−3）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴x1＝-3，x2＝-k．
∵方程有一根大于1，
∴-k＞1，解得：k＜-1，
∴k的取值范围为k＜-1．
【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根大于1，找出关于k的一元一次不等式．
24. 阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解．
问题：（1）方程的解是，______，______．
（2）求方程的解．
拓展：（3）用“转化”思想求方程的解．
【答案】（1），3；（2），，；（3）
【解析】
【分析】（1）各项都有x，提出公因式x，括号内用十字相乘法因式分解，方程变为，解之即可，
（2）方程，化为一般形式，各项都有x，提出公因式x，括号内用十字相乘法因式分解，方程变为解之即可，
（3），方程两边平方，整理得，利用十字相乘法分解为，解之求出x，要注意无理方程的条件限定，进行取舍即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；3．
（2）方程，可化为，
，
．
∴或或，
∴，，．
（3），方程两边平方，得，
即，，
∴或，，．
∵得，
∴是原方程解．
【点睛】本题考查因式分解法解高次方程与无理方程问题，掌握因式分解的方法，和使无理方程有意义的条件，会用因式分解法解方程是解题关键．
25. 如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作的延长线于点E，已知DA平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和AD的长．
【答案】（1）见解析 （2）5，
【解析】
【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明即可解决问题；
（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
【小问1详解】
证明：如下图，连接OA，
∵，
∴．
∵DA平分，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵OA是半径，
∴是切线；
【小问2详解】
解：如上图，取CD中点F，连接OF，
∴于点F，
∴四边形AEFO是矩形．
∵，
∴．
在Rt△OFD中，，
∴，
在Rt△AED中，
，，
∴，
∴的长是．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
26. 某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱．
（1）求七，八两月的月平均增长率；
（2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？
【答案】（1）
（2）5元
【解析】
【分析】（1）设七，八两月的月平均增长率为，利用八月的销售量六月的销售量七，八两月的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该水果每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【小问1详解】
设七，八两月的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：七，八两月的月平均增长率为．
【小问2详解】
设该水果每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：当该水果每箱降价5元时，超市九月获利4250元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27. 如图1，在中，，，厘米，点从点开始沿边向点以每秒2厘米的速度移动，同时点从点开始沿边向点以每秒1厘米的速度移动，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求：
（1）点从点出发，经过几秒的面积等于1平方厘米？
（2）是否存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，若存在，求出经过几秒相切？若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点是内的一个动点，且满足，求线段的最小值．
【答案】（1）经过1秒的面积等于平方厘米；
（2）经过秒相切；
（3）线段的最小值
【解析】
【分析】（1）首先设经过x秒的面积等于平方厘米，然后利用面积列出方程，求解即可；
（2）首先假设存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，然后根据相切的性质和勾股定理，列出方程，求解即可；
（3）首先由得出，将其转化为点M在以为直径的圆在内的弧上，则当B，M，O三点共线时最小，即可得解.
小问1详解】
设经过x秒的面积等于平方厘米，则，，,
由题意，得
∴
化简得：
∴．
答：经过1秒的面积等于平方厘米；
【小问2详解】
假设存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，如图设其切点为H，
∵与圆P相切，
∴
∵
∴
∴，
在中，
∴
解得：
由于点P的运动时间最大为2秒，故x2舍去
所以经过秒相切；
【小问3详解】
∵
∵，
∴
∴点M在以为直径的圆在内的弧上，如图所示：
∴当B，M，O三点共线时最小
，
∴
即线段的最小值．
【点睛】此题主要考查勾股定理、切线的性质、一元二次方程的应用和圆的综合问题，解题关键是利用动点构建方程，求解即可．
28. 【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
【答案】感知：；探究：见解析；应用：．
【解析】
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；
探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证；
应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．
【详解】感知：
由圆周角定理可得，
故答案为：；
探究：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴，，
，
是等边三角形，
，
，
即；
应用：
延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解．