江苏省宿迁市沭阳如东实验学校2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学试题（原卷版+解析版）

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（总分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数是二次函数，故本选项符合题意；
C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数．
2. 小红连续天的体温数据如下（单位相）：，，，，．关于这组数据下列说法正确的是（ ）
A. 中位数是B. 众数是C. 平均数是D. 极差是
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数、中位数的概念求得众数和中位数，根据平均数和方差、极差公式计算平均数和极差即可得出答案．
【详解】A．将这组数据从小到大的顺序排列：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6，
则中位数为36.3，故此选项错误
B．36.2出现了两次，故众数是36.2，故此选项正确；
C．平均数为()，故此选项错误；
D．极差为36.6-36.2=0.4()，故此选项错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中位数、众数、平均数和极差，熟练掌握它们的计算方法是解答的关键．
3. 如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（ ）
A. 24°B. 26°C. 48°D. 66°
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用圆周角求解．
【详解】解：∵点A是的中点，
∴，
∴∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4. 如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质可知，由此可得，根据扇形面积公式即可得出结论．
【详解】由旋转得：∠B1AB＝60°，
∵，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解决本题的的关键根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积．
5. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A. 平均分不变，方差变大B. 平均分不变，方差变小
C. 平均分和方差都不变D. 平均分和方差都改变
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．
【详解】解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
故选：B．
【点睛】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6. 下列四个命题：①垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④任意三角形是内心总是在三角形的内部；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等．其中真命题的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角，三角形的外接圆及其内心，外心等知识．根据垂径定理，圆周角，三角形的外接圆及其内心，外心性质对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，①正确，故符合要求；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，②错误，故不符合要求；
三角形有且只有一个外接圆，③正确，故符合要求；
任意三角形是内心总是在三角形的内部，④正确，故符合要求；
三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，⑤错误，故不符合要求；
故选：C．
7. 已知抛物线与轴的公共点是，，将该抛物线向右平移个单位长度与轴的交点坐标为，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用点平移的规律得到点，向右平移个单位长度后对应点的坐标为，，利用交点式，设平移后的抛物线解析式为，接着把把代入求得，于是原抛物线的解析式可设为，然后化为一般式得到、、的值，从而可计算出的值．
【详解】解：点，向右平移个单位长度后对应点的坐标为，，
设平移后的抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
原抛物线的解析式为，
即，
，，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数(是常数，)与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数图象与几何变换．
8. 关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（ ）
A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解：与是“同族二次方程”，
，
，解得：，
，
代数式取的最大值是，
故选：A．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上）
9. 从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是____．
【答案】
【解析】
【详解】分析：
由题意可知，从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中是有理数的有3种，由此即可得到所求概率了.
详解：
∵从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中有理数有0，3.14，6共3个，
∴抽到有理数的概率是：．
故答案为．
点睛：知道“从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果”并能识别其中“0，3.14，6”是有理数是解答本题的关键.
10. 已知一元二次方程有一个根为，则另一根为________．
【答案】4
【解析】
【分析】先把x=2代入一元二次方程，即可求出c，然后根据一元二次方程求解即可．
【详解】解：把x=2代入得
4﹣12+c=0
c=8，
x1=2，x2=4，
故答案为4
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是求出c的值．
11. 若关于x一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
12. 如图，点A、B、C、D在上，，，则_________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和，平行线性质，等腰三角形性质，连接，根据圆周角定理得到，利用平行线性质求出的度数，根据等边对等角，最后根据三角形内角和求出结果即可．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
在中，
，
故答案为：．
13. 某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是_____分．
【答案】88
【解析】
【详解】解：∵笔试按60%、面试按40%计算，
∴总成绩是：90×60%+85×40%=88（分），
故答案为：88．
14. 函数与坐标轴有两个公共点，求k的值_______．
【答案】0或或或4
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据，分两种情况分别求解，当时再根据与坐标轴交点的情况，分两种情况进行求解即可．
【详解】解：当时，，为一次函数，与坐标轴有两个公共点，符合题意；
当时，
函数与坐标轴有两个公共点，
当函数与y轴有一个公共点，与x轴有一个公共点时，
，解得：或，
当函数与x轴有两个公共点时，其中一个原点，此时，
综上所述，满足条件的k有0，，，4，
故答案为：0或或或4．
15. 如图在中，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D当线段最短时，的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，，则点在以为直径的圆上运动，如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短，由题意知，，由勾股定理得，，则，证明，可求，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，
如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短，
由题意知，，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理．确定点的运动轨迹是解题的关键．
16. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤，正确的结论的个数是______．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线与x轴的交点个数即可得结论；④根据抛物线的对称轴和x等于1时函数值小于0即可得结论；⑤根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论.
【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向下，交于y轴上半轴，
，，
对称轴，
，即，
，
，故①错误，②正确；
抛物线与轴有个交点，
，故③正确；
当时，，
即，
，
，故④正确；
当时，y有最大值，
时，的值最大，
当时，，
，
即，故⑤错误，
综上所述，正确的结论有：②③④，
故答案为：②③④．
17. 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+x+2上有一动点P，直线y=﹣x﹣2上有一动线段AB，当P点坐标为_____时，△PAB的面积最小．
【答案】（-1，2）
【解析】
【分析】因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，平移直线与抛物线的切点即为P点，然后求得平移后的直线，联立方程，解方程即可．
【详解】因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，
若直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点，
设平移后的直线为y=-x-2+b，
∵直线y=-x-2+b与抛物线y=x2+x+2相切，
∴x2+x+2=-x-2+b，即x2+2x+4-b=0，
则△=4-4（4-b）=0，
∴b=3，
∴平移后的直线为y=-x+1，
解得x=-1，y=2，
∴P点坐标为（-1，2），
故答案为（-1，2）．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及解方程等，理解直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点是解题的关键．
18. 已知点均在抛物线上，其中．若，则m的取值范围是_______________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由题意可得，抛物线的对称轴为直线，为顶点，由，可知图象开口向上，当时，成立； 当，且时，成立；当时，不成立；然后求解作答即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，为顶点，
∵，
∴图象开口向上，
当时，成立；
当，且时，即，成立；
当时，，不成立；
综上，且，
故答案为：且．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法求解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，，，
，
，
，；
【小问2详解】
，
，
，．
20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为非负整数，且该方程的两个根都是整数，求的值．
【答案】（1）
（2）2或1
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式直接确定的取值范围即可；
（2）结合（2）中确定的的取值范围，结合为非负整数，直接代入进去的值，然后解方程并结合题意即可获得答案．
【小问1详解】
解：根据题意，关于的一元二次方程有两个实数根，
则，
解得 ；
【小问2详解】
由（1）可知，，且为非负整数，
∴或1或0，
当时，方程为，解得，符合题意，
当时，方程为，解得，，符合题意，
当时，方程为，解得，，不符合题意，
综上所述，的值为2或1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题关键．
21. 某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
（1）表格中的________，________；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动次数的众数为________，中位数为________；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
【答案】（1）4，5；（2）4次；4次；（3）90人．
【解析】
【分析】（1）观察所给数据即可得到a，b的值；
（2）根据众数和中位数的概念求解即可；
（3）用300乘以样本中参加志愿者活动的次数为4次的百分比即可得到结论．
【详解】解：（1）根据所给数据可知，参加3次志愿活动的有4人，参加5次志愿活动的有5人，
所以，a=4，b=5
故答案为：4，5；
（2）完成表格如下
由表格知，参加4次志愿活动的的人数最多，为6人，
∴众数是4次
20个数据中，最中间的数据是第10，11个，即4，4，
∴中位数为（次）
故答案为：4次；4次；
（3）20人中，参加4次志愿活动的有6人，所占百分比为，
所以，
∴该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为：（人）
答：该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为90人．
【点睛】本题考查众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22. 已知二次函数的图像与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为．

（1）求点的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图像；
（2）设一次函数的图像经过两点，请直接写出满足的的取值范围．
【答案】（1），图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴有交点的计算方法，将二次函数一般式变为顶点式即可求解；
（2）根据题意分别求出点的坐标，运用待定系数法可求出一次函数解析式，再与二次函数联立方程组求解，可得交点坐标，并绘图，根据图示即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，令时，则有，解得，，，
∴，
由二次函数可得顶点式为，
∴，图像如图所示：
【小问2详解】
解：由（1）可知，
∵二次函数与轴交于点，
∴，
∵一次函数的图像经过两点，
∴，解得，，
∴一次函数解析式为，
∴一次函数与二次函数联立方程组，
，解得，或，
∴一次函数与二次函数的交点坐标为，，
∴由题意画出直线的图像，如图所示，

∴由图像可得，当时，．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握待定系数求解析式，联立方程组求交点坐标，根据交点坐标求不等式的解集是解题的关键．
23. （1）如图，已知AB、CD是大圆⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中点．连接OM，以O为圆心，OM为半径作小圆⊙O．判断CD与小圆⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O，线段MN，P是⊙O外一点．求作射线PQ，使PQ被⊙O截得的弦长等于MN．
（不写作法，但保留作图痕迹）

【答案】（1）相切，证明见解析；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）过点O作ON⊥CD，连接OA，OC，根据垂径定理及其推论可得∠AMO=∠ONC=90°，AM=CN，从而求证△AOM≌△CON，从而判定CD与小圆O的位置关系；（2）在圆O上任取一点A，以A为圆心，MN为半径画弧，交圆O于点B，过点O做AB的垂线，交AB于点C，然后以点O为圆心，OC为半径画圆，连接PO，取PO的中点D，以点D为圆心，OD为半径画圆，交以OC为半径的圆于点E，连接PE，交以OA为半径的圆于F,H两点，FH即为所求.
【详解】解：（1）过点O作ON⊥CD，连接OA，OC

∵AB、CD是大圆⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中点，ON⊥CD
∴∠AMO=∠ONC=90°，AM=,CN，
∴AM=CN
又∵OA=OC
∴△AOM≌△CON
∴ON=OM
∴CD与小圆O相切
（2）如图FH即为所求
【点睛】本题考查垂径定理及其推论，全等三角形的判定和性质，以及利用垂径定理作图，掌握相关知识灵活应用是本题的解题关键.
24. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明OD//AC，可得OD⊥DF，即可证得结论；
（2）根据外角的性质可得：∠EAB=∠B+∠C= 60°，可得圆心角∠EOB= 2∠EAB= 120°，然后根据弧长公式可求得结果．
【小问1详解】
解：证明：如图，连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD// AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
DF为⊙O的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接OE，
∵∠B=∠C=30°，
∴∠EAB=∠B+∠C=60°，
∴∠EOB=2∠EAB=120°，
∴的长=．
【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、弧长公式的计算等知识点，属于基础题，难度中等．
26. 对于一平面图形而言，若点M、N是该图形上的任意两点，我们规定：线段MN长度的最大值称为该平面图形S的“绝对距离”．例如，圆的“绝对距离”等于它的直径．如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，﹣1）、B（0，1），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的“绝对距离”为d．
（1）写出下列图形的“绝对距离”：
①边长为1的正方形的“绝对距离”： ；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是等边三角形的“绝对距离”： ；
（2）动点C从（﹣5，0）出发，沿x轴以每秒一个单位的速度向右运动，当d＝3时，请求出t的值；
（3）若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在x轴上运动．对于⊙M上任意点C，都有4≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．
【答案】（1）①；②1+；（2）t=5-2或=5+2；（3）圆心M的横坐标x的取值范围为+1≤x≤4或-4≤x≤--1．
【解析】
【分析】（1）由“绝对距离”的定义可求解；
（2）根据“绝对距离”的定义可得AC=BC=3，求出满足条件的点C的坐标即可解决问题（注意有两种情形）；
（3）当点M在y轴的右侧时，连接AM，求出d=4或8时，点M的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可．
【详解】解：（1）①∵边长为1的正方形的“绝对距离”是对角线的长，
∴边长为1的正方形的“绝对距离”=；
②如图1，
∴上方是半径为1的半圆，下方是等边三角形的“绝对距离”是CH，
∴CH=1+，
故答案为：，1+；
（2）如图2中，
∵A（0，-1），B（0，1），
∴OA=OB=1，AB=2，
∵CO⊥AB，
∴CA=CB，
∵d=3，不妨设AC=BC=3，则OC=，
∴t=5-2或=5+2；
（3）如图3中，当点M在y轴的右侧时，连接AM．
∵对于⊙M上任意点C，都有4≤d≤8，
∴当d=4时，点C在x轴上，此时OC=，OM=+1，
当d=8时，AM=7，此时OM=，
∴点M的横坐标+1≤x≤4，
根据对称性，-4≤x≤--1也满足条件．
综上所述，满足条件的圆心M的横坐标x的取值范围为+1≤x≤4或-4≤x≤--1．
【点睛】本题考查了平面图形S的“绝对距离”的定义，等边三角形的性质，勾股定理，圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决问题．
27. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．
（1）求、两点的坐标（用含的式子表示）；
（2）将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当时，这个新函数的函数值随的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围；
（3）已知直线：，点在二次函数的图象上，点的横坐标为，二次函数的图象在、之间的部分记为（包括点，），图象上恰有一个点到直线的距离为，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）当时，，解方程即可求解；
（2）画出函数图象，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；
（3）由题可知，到直线的距离为2的点在直线和上，分别求出， ，画出函数图象，分①当C点在B点左侧，同时C点在直线上方时；②当C点在B点右侧，且在的下方时，两种情况讨论．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）
当时，
即
解得：
∴，
【小问2详解】
解：当时，，
解得或，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
如图1，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；

如图2，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；

综上所述：或时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；
【小问3详解】
解：由题可知，到直线的距离为2的点在直线和上，
当时，，
∴，
如图当点在点左侧，同时点在直线上方时，都符合题意，如图所示，

当在上时，
∴
解得：或
∴
如图所示，当点在上或者的下方时，且在对称轴的右侧时，
解得：或（舍去）

综上所述，或时，图象M上恰有一个点到直线l距离为2；
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．次数
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