河南省南阳市西峡县第二高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（1-8单选，9-12多选）
1. 等差数列中，，，则的通项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.
【详解】设等差数列的公差为，
依题意，解得，
所以.
故选：A
2. 已知随机变量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项分布的均值和方差公式求解即可得，再求解，根据对立事件的概率和为1求解即可
【详解】因为，故，故，因为，解得.故，故
故选：B
3. 在线性回归方程中，为回归系数，下列关于的说法中不正确的是（ ）
A. 为回归直线的斜率
B. ，表示随增加，值增加，，表示随增加，值减少
C. 是唯一确定的值
D. 回归系数的统计意义是当每增加（或减少）一个单位，平均改变个单位
【答案】C
【解析】
【分析】利用回归直线方程的特点逐项判断即得.
【详解】对于A，线性回归方程中的为回归直线的斜率，A正确；
对于B，，表示随增加，值增加，，表示随增加，值减少，B正确；
对于C，是由总体的一个样本利用一定的方法计算得到的，选择不同的样本
或不同的计算方法得到的一般是不同的，C错误；
对于D，回归系数的统计意义是当每增加（或减少）一个单位，平均改变个单位，D正确.
故选：C
4. 某企业生产某种产品，其广告层面的投入为x（单位：百万元），该企业产生的利润为y（单位：百万元），经统计得到如下表格中的数据：经计算广告投入x与利润y满足线性回归方程：，则t的值为（ ）
A. 45B. 50C. 56.5D. 65
【答案】B
【解析】
【分析】计算，利用在回归直线上，求出，然后根据数据求解即可.
【详解】解：由题意可知：，且回归直线上，所以代入可得，
即，解得：.
故选：B
5. 已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1，…通项公式的是
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】
直接代入检验，用各个表达式去求出数列的前几项，比较即得．
【详解】检验知①②③都是所给数列的通项公式。
故选：A.
【点睛】本题考查数列的通项公式，给出表达式是否是数列的通项公式，只要代入检验即可．
6. 已知数列为等差数列，，，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可求出等差数列的首项和公差，可求出的通项公式，再由等差数列的前项和公式结合绝对值的定义即可得出答案.
【详解】因为数列为等差数列，，，设的首项为，公差为，
所以，得，，所以，
所以时，；时，
所以，
，
故选：C．
7. 用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ）
A. 12B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，可根据，先计算出，然后把样本中心点带入线性回归方程为中计算出，从而得到线性回归方程，然后将方程化为指数形式，通过待定系数法分别对应出、的值，即可完成求解.
【详解】由已知，，所以，
，，所以
，
由题意，满足线性回归方程为，所以，所以，
此时线性回归方程为，即，
可将此式子化为指数形式，即为，
因为模型为模型，所以，，
所以.
故选：B.
8. 已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ ）
A. B. C. (-1，1)D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题在恒成立，即 ，讨论为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出.
【详解】数列是单调递减数列，在 恒成立，
即恒成立，
即，
当为奇数时，则恒成立，
单调递减， 时，取得最大值为 ，
，解得；
当为偶数时，则恒成立，
单调递增， 时，取得最小值为20，
，解得，
综上，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出恒成立，需要讨论 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方.
9. 为了对变量与的线性相关性进行检验，由样本点、、、求得两个变量的样本相关系数为，那么下面说法中错误的有
A. 若所有样本点都在直线上，则
B. 若所有样本点都在直线上，则
C. 若越大，则变量与的线性相关性越强
D. 若越小，则变量与的线性相关性越强
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相关系数与变量与的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误.
【详解】若所有样本点都在直线上，且直线斜率为负数，则，A、B选项均错误；
若越大，则变量与的线性相关性越强，C选项正确，D选项错误.
故选：ABD.
【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.
10. 已知无穷等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. 数列单调递减B. 数列没有最小项
C. 数列单调递减D. 数列有最大项
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先判断数列的单调性，即可判断A、B，再根据等差数列求和公式及二次函数的性质判断C、D.
【详解】解：数列的前项和为，，由于，故数列为单调递减数列，
且数列为无穷等差数列，故数列没有最小项，故A正确、B正确；
又，，二次函数开口向下，对称轴为，
故数列有最大项，没有最小项，故D正确，
因为，无法判断与的大小，即的取值，故无法判断数列的增减性，故C错误．
故选：ABD．
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．设事件A表示由从甲袋中取出的球是红球，事件B表示从乙袋中取出的球是红球，则事件A与事件B相互独立
B. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，则该班学生此次数学考试的成绩在115分以上的有3人
C. 已知事件A与B相互独立，当时，若，则
D. 指数曲线两边同时取自然对数进行线性变换后得到的经验回归方程为，则函数的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.根据是否等于，判断A；
B.根据正态分布对称性，求，再求人数；
C.由条件可知，即可求解；
D.将指数曲线，两边取对数，得到回归直线方程，可得，，求得后，再根据基本不等式求最小值.
【详解】对于A，因为，，，，所以事件A与事件B不相互独立，故A错误．
对于B，因为数学考试的成绩服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，
因为，所以，
所以该班学生此次数学考试的成绩在115分以上的有（人），故B正确．
对于C，因为事件A与B相互独立，且，
则，即，由对立事件的概率公式得，故C正确．
对于D，将两边同时取对数，得，由于指数曲线进行线性变换后得到的经验回归方程为，则，，，即，则，当且仅当时，等号成立，故D正确．
故选:BCD．
12. 如图，已知点P是椭圆上第一象限内的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，圆心在y轴上的动圆T始终与射线，相切，切点分别为M，N，则下列判断正确的是（ ）
A.
B.
C. 面积的最大值为
D. 当点P坐标为时，则直线PT的斜率是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据椭圆的定义及圆外一点切线长性质可判断A，结合基本不等式可判断B，利用椭圆焦点三角形的角度与面积关系可判断C，根据角平分线定理可求解直线与轴交点坐标，从而可求直线的斜率来判断D.
【详解】解：已知椭圆椭圆，则，所以左右焦点为，
对于A，如下图，连接，
点P是椭圆上第一象限内的动点，所以，又圆心在y轴上，所以，
动圆T始终与射线，相切，切点分别为M，N，所以，且，所以，切线长
所以由图可得：，则，故A正确；
对于B，因为，所以，当且仅当时等号成立，
又P是椭圆上第一象限内的动点，所以，故，由于，故，故B不正确；
对于C，取椭圆的上顶点为，连接，
由椭圆可知，，所以，故，
由于P是椭圆上第一象限内的动点，所以，则，于是可得面积，
故面积没有最大值，故C不正确；
对于D，连接，设与轴的交点为，如下图：
设，由题可得直线为的平分线，所以由角平分线定理可得：，即，整理得，
因为当点P坐标为时，，
所以，则，所以直线PT的斜率，故D正确.
故选：AD.
二、填空题
13. 已知椭圆的焦距等于2，则实数的值为________．
【答案】3或5
【解析】
【分析】讨论焦点在轴和焦点在轴上两种情况计算可得.
【详解】若椭圆的焦点在轴上，则由已知得，得；
若椭圆的焦点在轴上，则由已知得，得．
综上，知所求实数的值为3或5.
故答案为：3或5.
14. 若数列为，，，，…，则是这个数列的第________项．
【答案】26
【解析】
【分析】该数列的指数是等差数列，运用等差数列通项公式求出82对应的项数即可.
【详解】易发现该数列指数呈现等差关系，
设数列7，10，13，16，…，为数列，
则数列是以7为首项3为公差的等差数列，
其通项公式为，令，解得；
故答案为：26.
15. 数列满足，，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用累加法即可得到答案.
【详解】因为，
所以当时，有，
因此有：，
即
，
当时，适合上式，
所以，
故答案为：3.
16. 已知数列，都是等差数列，，分别是它们的前项和，并且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列下标和的性质和等差数列的求和公式即可得出结果.
【详解】由等差数列基本性质得
.
故答案为：.
三、解答题
17. 已知等差数列中，，．求的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列的性质得到公差，从而求出通项公式.
【详解】等差数列中，
，解得：，
，解得：，
故公差，
故通项公式.
18. 在等差数列中，，，其前项和为．
（1）求出时的最大值；
（2）求
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）求出等差数列的首项和公差，可再求出，解不等式即得；
（2）由确定哪些项小于0，哪些项大于0，根据绝对值的性质分类可求和．
【小问1详解】
设等差数列的首项为，公差为，
∵，∴，
∴，
∴，解得，
∴，
令，∴，因为
∴的最大值为．
【小问2详解】
∵，，
∴，
由，得，
∵，，
∴数列中，前项小于，第项等于，以后各项均为正数，
当时，，
当时，，
综上，．
19. 2022年重庆半程马拉松将于11月13日在巴南举行，为了了解广大市民对于马拉松运动是否喜爱､随机抽取了400名市民作问卷调查，结果如下表：
在随机抽取的400名市民中，抽到女性的概率是.
（1）完成列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱马拉松项目与性别有关联？
（2）现采用分层抽样的方法从接受问卷调查且喜爱马拉松的居民中随机抽取10人认定为该比赛的志愿者，若从这10名志愿者中随机抽取4人进行初级裁判培训，求抽到的4人中至少有2名女士的概率.
附表及公式：
【答案】（1）列联表见详解，不能认为喜爱马拉松项目与性别有关
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意完成列联表，并根据表中数据代入公式求，并与临界值对比分析；（2）先根据分层抽样有求抽取的10人中男女生人数，在利用对立事件求所求事件的概率.
【小问1详解】
∵
∴不能认为喜爱马拉松项目与性别有关
【小问2详解】
随机抽取10人中男生又人，女生
记“抽到的4人中至少有2名女士”为事件，则为“抽到的4人中最多有2名女士”
“抽到的4人中没有女士”的概率为
“抽到的4人中恰有1名女士”的概率为
∴
故抽到的4人中至少有2名女士的概率为.
20. 随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2018年1-8月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据：
（1）根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型与的关系，请用相关系数加以说明（系数精确到0.001）；
（2）建立关于的线性回归方程（系数精确到0.001）；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入费用多少万元（结果精确到0.01）．
参考数据：，，，，，其中，分别为第个月的促销费用和产品销量，．
参考公式：（1）样本相关系数；
（2）对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】（1）散点图见解析，相关系数的值接近于1，说明变量与的线性相关性很强；（2），24.70万元
【解析】
【分析】（1）根据数据绘制散点图，从散点图看出这些点是否大致分布在一条直线附近即可；计算，，求出相关系数，判断两变量线性相关性的强弱；
（2）计算求出回归方程，利用方程求出对应的取值范围即可.
【详解】解：（1）根据数据绘制散点图如下，
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，
所以可用线性回归模型拟合与的关系；
计算，
，
∴相关系数，
由相关系数的值接近于1，说明变量与的线性相关性很强；
（2）计算，
，
∴关于的回归方程为；
令，解得；
即实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用24.70万元．
【点睛】本题主要考查了相关系数的计算与应用，回归方程的求解与应用，考查了学生的运算求解能力.
21. 无穷数列满足：且．
（1）求证：为等差数列；
（2）若为数列中的最小项，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用递推公式证得，根据等差数列的定义即可得出结论；
（2）由于数列是以1为公差的等差数列，所以若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，然后结合题意即可得到，解不等式组即可求出结果.
【详解】（1）因为，则
所以
，
故数列是以1为公差的等差数列；
（2）若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，又数列是递增数列，且为数列中的最小项，所以是数列中的最大负项，从而有，而，则，解得，
故的取值范围为.
22. 如图，已知点是焦点为的抛物线：（）上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为（）．
（1）求抛物线方程；
（2）证明：直线的斜率为定值并求出此定值；
（3）令焦点到直线的距离，求的最大值．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）
【解析】
分析】（1）待定系数法求解抛物线方程；
（2）设出直线方程，联立后得到A点纵坐标，同理得到B点纵坐标，从而求出直线AB的斜率；
（3）在前两问基础上用斜率k表达出，换元后使用基本不等式求出最大值.
【小问1详解】
将点代入抛物线方程可得：，抛物线.
【小问2详解】
设，
与抛物线方程联立可得：，易知，
∴，用代k可得：，
因此，即.
【小问3详解】
由（1）可知，，，，
因此，
到直线AB的距离，
而，
∵
，
∴
，
令，由得，
∴，
当且仅当时取等号，
的最大值为.
【点睛】方法点睛：求解抛物线取值范围问题，把要求解的问题转化为单元问题，常使用的工具有换元，基本不等式，或导函数.
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
t
70
喜爱
不喜爱
合计
男性
120
女性
100
合计
喜爱
不喜爱
合计
男性
120
100
220
女性
80
100
180
合计
200
200
400
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
促销费用
2
3
6
10
13
21
15
18
产品销量
1
1
2
3
3.5
5
4
4.5