广东省揭阳市惠来县明德学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查开平方、开立方、以及有理数的乘方运算，根据相关的运算法则对各项进行计算，并对运算结果进行判断，即可解题．
【详解】解：A 、表示的是4的算术平方根，是正数，所以，A项运算错误，不符合题意；
B、，B项运算正确，符合题意；
C、先算乘方，再取相反数，结果为，C项运算错误，不符合题意；
D 、，D项运算错误，不符合题意．
故选：B．
2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 11，60，61B. 4，5，6C. 12，35，36D. 15，16，17
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股数．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】解：A、∵，∴这组数是勾股数；
B、∵，∴这组数不是勾股数；
C、∵，∴这组数不是勾股数；
D、∵，∴这组数不是勾股数．
故选：A．
3. 若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义及性质即可得出答案．
【详解】解：∵ 是整数，且n为正整数，
∴ n≥0，即：n+5≥5，
则5+n=9，16 ，
即n=4，11 ，
∴正整数n的最小值是4，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，注意：n是正整数可以得出n≥0，n+5是一个完全平方数．
4. 如果最简二次根式与和是同类二次根式，那么a的值是（）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了同类二次根式和最简二次根式．解题的关键是掌握同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解．
【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，
解得：，
故选：A．
5. 下列函数中，是一次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的定义，对选项逐个判断即可，形如（）的函数为一次函数．
【详解】解：A、该函数不是一次函数，故本选项错误，不符合题意；
B、该函数不一次函数，故本选项错误，不符合题意；
C、该函数不是一次函数，故本选项错误，不符合题意；
D、该函数符合一次函数的定义，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可．
【详解】A、，故A项错误；
B、，故B项正确；
C、，故C项错误；
D、，故D项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质进行计算是解题的关键．
7. 点的坐标满足，那么点在（ ）
A. 纵轴上B. 横轴上
C. 原点D. 纵轴或横轴上
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质、平面直角坐标系中点的坐标特征等知识，确定，是解题关键．根据非负数的性质可得，，即可获得答案．
【详解】解：由，得
，，
∴点在原点．
故选：C．
8. 若+|y+7|+（z﹣7）2＝0，则的平方根为（ ）
A. ±2B. 4C. 2D. ±4
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴的平方根为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键．
9. 横坐标为3的点一定在( )
A. 与x轴平行，且与x轴的距离为3的直线上
B. 与y轴平行，且与y轴的距离为3的直线上
C. 与x轴正半轴相交，与y轴平行，且与y轴的距离为3的直线上
D. 与y轴正半轴相交，且与x轴的距离为3的直线上
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分析每个选项所在的直线，即可解答
【详解】A:所给直线方程为y=3, 与x轴平行,故错误
B: 所给直线方程为x=3，与y轴平行，可能在负半轴上，故错误
C: 所给直线方程为x=3，与x轴正半轴相交，与y轴平行，故正确
D. 所给直线方程y=3, 与y轴正半轴相交，故错误
故选C
【点睛】此题考查直线方程与点的关系，难度不大
10. 在矩形中，，，点P是线段上一个动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连结、，若P、E、D三点在同一条直线上，则的长度是（ ）
A. 1B. 1.5C. 2D. 0.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，根据矩形的性质和折叠的性质得到，利用勾股定理算出，设，则，，在中，根据勾股定理建立方程求解，即可解题．
【详解】解：当P、E、D三点在同一条直线上，如图所示：
在矩形中，，，，
根据折叠的性质，可得，，，
，
在中，根据勾股定理，得，
设，则，，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11. 的算术平方根为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案．
【详解】，9的算术平方根为
的算术平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
12. 比较大小：4______（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的大小比较，比较容易，由可得，从而即可得解．
【详解】解：∵,
∴，
故答案为：．
13. 等腰三角形的周长是20，底边长与腰长的函数关系式是_____（同时写出的取值范围）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式；三角形三边关系；等腰三角形的性质，根据等腰三角形的底边长周长腰长，可以得出关系式，三角形三边关系可得自变量的取值．
【详解】解：等腰三角形的腰长为，底边长为，周长为20，
，
，
解得：．
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点是___________ ．
【答案】（-3，-2）
【解析】
【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得.
【详解】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，
点P（3，-2）关于y轴的对称点的坐标是（-3，-2），
故答案为：（-3，-2）．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
15. 计算的结果是__________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
16. 如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是____________米．
【答案】8
【解析】
【分析】在图中标出字母，由题意得到米，米，，运用勾股定理AB，最后利用来求解．
详解】解：如下图．
由题意得：米，米，，
∴折断的部分AB的长为：（米），
∴折断前高度为（米）．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，培养学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
17. 观察下列等式：，，……，请从上述等式找出规律，并利用规律计算_________．
【答案】2006
【解析】
【分析】所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：，然后利用平方差公式计算．
【详解】解：，，，
原式
．
故答案为：2006．
【点睛】本题考查了数字型规律，二次根式的混合运算，解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．先进行二次根式的乘法运算，然后化简二次根式后合并即可．
【详解】解：原式
19. 已知，求的值．
【答案】13
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、二次根式的性质等知识，熟练掌握相知识是解题关键．首先根据二次根式有意义的条件可得，进而化简绝对值，可得，然后求解即可．
【详解】解：根据题意，可得，
解得，
∴，
即，
∴，
解得，
经检验为方程的解，
所以的值为13．
20. 若函数是正比例函数，求k的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据正比例函数的概念求解即可，形如的函数为正比例函数．
【详解】解：由题意可得： 解得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了正比例函数的概念，熟练掌握正比例函数的概念是解题的关键．
21. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均落在格点上．
（1）计算线段AB的长度 ；
（2）判断△ABC的形状 ；
（3）写出△ABC的面积 ；
（4）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．
【答案】（1）
（2）直角三角形 （3）5
（4）图形见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）求出BC、AC的长即可判断△ABC的形状；
（3）由（2）可知△ABC是直角三角形，直接利用公式求面积；
（4）分别画出A、B、C关于直线l的轴对称点，再依次链接即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
，
∴
∴△ABC的形状是一个直角三角形
【小问3详解】
由（2）可知△ABC是直角三角形
∴
【小问4详解】
图形如图所示：
【点睛】本题考查网格中作对称及利用勾股定理求边长，属于常规题，解题的关键是熟练在网格中找到线段所在的直角三角形．
22. 已知的立方根是3，的算术平方根3，是的小数部分，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，相加可得结论．
【详解】解：∵的立方根是3，
∴5a+2=27，∴a=5，
∵的算术平方根3，
∴4b+1=9，∴b=2，
∵是的小数部分，
∴
∴a-b+c=5-2+=．
【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
23. 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；
（3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？
【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km；（2）海港会受到此次台风的影响，见解析；（3）台风影响该海港8小时
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理直接求解；
（2）利用等面积法得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出受影响的界点P与Q离点E的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得
答：监测点A与监测点B之间的距离是500 km．
（2）海港C会受到此次台风的影响，理由如下：
∵，
∴
解得：．
∵
∴海港会受到此次台风的影响．
（3）如图，海港C在台风中心从Q点移动到P点这段时间内受影响．
∵
∴在中，，即
解得：PE=100
同理得：
∵台风的速度为25km/h
∴台风影响该海港的时长为：
答：台风影响该海港8小时．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是将实际问题中的各个条件转化为几何语言．
24. 观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：，
…
请回答下列问题：
（1）则第四个等式为______．
（2）用含（为正整数）的式子表示出第个等式为______．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）通过观察所给式子，分子可以写成平方差公式的形式，进而得到答案；
（2）通过观察所给式子，分子可以写成平方差公式的形式，再由数之间的规律，即可求解；
【详解】解：（1）根据题中式子规律可得
（2）．
【点睛】本题考查二次根式的化简，能理解题意，掌握分母有理化的方法化简二次根式是解题的关键．
25. 如图，，两个工厂位于一段直线形河道的异侧，工厂至河道的距离为，工厂至河道的距离为，经测量河道上、两地间的距离为，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂．
（1）设，请用代数式表示的长______；（结果保留根号）
（2）为了使，两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，请在图中画出污水厂位置，并求出排污管道最短长度？
（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你求出的最小值为多少？
【答案】（1）+；
（2）污水厂位置见解析，排污管道最短长度为10km；
（3）13
【解析】
【分析】（1）依据ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE＋BE的长；
（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；
（3）根据AE＋BE＝＋＝AB＝10，可猜想所求代数式的值为13．
【小问1详解】
解：在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE＝，BE＝，
∴AE+BE＝+；
【小问2详解】
解：根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置，如图：
过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1，
∴AF＝AC＋CF＝6，
在Rt△ABF中，BA＝＝＝10，
∴排污管道最短长度10km；
【小问3详解】
解：根据以上推理，可作出下图：
设ED＝x，AC＝3，DB＝2，CD＝12．当A、E、B共线时求出AB值即为原式最小值．
当A、E、B共线时，＝＝13，
即其最小值为13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键．